圓中角的應用

文 /王宗俊

在圓中，圓心角與圓周角是最常見的角.它們與弦、弧和扇形面積的聯系比較密切，是中考命題的重點.下面舉例說明圓中角的各種應用.

一、求角的大小

1.利用圓心角求圓周角

例 1如圖1，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，則∠ADB的度數為（ ）.

A．15° B．25° C．30° D．50°

解析：如圖1，連接OB.

∵OA⊥BC，

圖1

又∵∠AOC=50°，

∴∠AOB=∠AOC=50°，

選B．

2.利用圓周角求圓心角

例 2如圖2，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，則∠OBA的度數是（ ）.

A．64° B．58° C．32° D．26°

∴∠2=∠3．

∵∠2=2∠1=2×32°=64°，

∴∠3=64°.

在Rt△OBE中，∠OEB=90°，

∴∠B=90°-∠3=90°-64°=26°.

選D．

圖2

3.利用直徑所對的圓周角是直角求角

例3如圖3，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，則∠CAB的度數為（ ）.

A．35° B．45° C．55° D．65°

解析：由圓周角定理得∠ABC=∠ADC=35°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°-∠ABC=55°.

選C．

圖3

4.利用圓內接四邊形的對角互補求角

例 4如圖4，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數是（ ）.

A．50° B．60° C．80° D．100°

解析：如圖4，在圓上取一點A，連接AB，AD，

∵ 點A，B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，

∴∠BAD=50°，

∴∠BOD=100°.

選D．

圖4

5.利用圓心角、圓周角求其他角

例5如圖5，AB是⊙O的直徑，MN是⊙O的切線，切點為N，如果∠MNB=52°，則∠NOA的度數為（ ）.

A．76° B．56° C．54° D．52°

解析：∵MN是⊙O的切線，

∴ON⊥NM，

∴∠ONM=90°，

∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，

∵ON=OB，

∴∠B=∠ONB=38°，

∴∠NOA=2∠B=76°．

選A．

圖5

二、求弦長

例 6如圖6，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，則弦BC的長為（ ）.

解析：∵OA⊥BC，

∴∠AOB=2∠CDA=60°，

選D．

圖6

三、求弧長

例7如圖7，AB是⊙O的直徑，點D為⊙O上一點，且∠ABD=30°，BO=4，則的長為（）.

解析：連接OD.

∵∠ABD=30°，

∴∠AOD=2∠ABD=60°，

∴∠BOD=120°，

選D．

圖7

四、求面積

例 8如圖8，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，則陰影部分的面積是（ ）.

解析：∵∠BCD=30°，

∴∠BOD=60°，

∵AB是⊙O的直徑，CD是弦，OA=2，

選B．

圖8