文 /武乾俊
銳角三角函數是各地中考的必考內容,現把銳角三角函數中的易錯題列舉出來,供你學習時參考.
例1 如圖1,兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,則竹竿AB與AD的長度之比為( ).
錯因診斷:對邊與斜邊的比值是這個角的正弦.
圖1
例 2在Rt△ABC中,∠A=90°,,AC=6,則AB=( ).
A.4 B.6 C.8 D.10
錯因診斷:因為∠A=90°,所以BC為斜邊,∠C的對邊AB是直角邊.
正解:在Rt△ABC中,
例3若銳角α滿足且,則α的范圍是( ).
A.30°<α<45° B.45°<α<60°
C.60°<α<90° D.30°<α<60°
∴30°<α<45°.選A.
錯因診斷:當α為銳角時,正弦和正切值隨著角度的增大而增大,而余弦值隨著角度的增大而減?。?/p>
例 4在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,若AB=4,BD=10,sin∠BDC=,則?ABCD的面積是___ .
錯解:由?ABCD中BD=10,可知OD=5.
圖2
錯因診斷:銳角三角函數是在直角三角形中定義的,△OCD不是直角三角形,因此銳角三角函數的邊角關系不成立.把∠BDC放在直角三角形中,才能利用銳角三角函數的知識來求解.
正解:如圖2,過點C作CE⊥BD于點E.
例5已知銳角A滿足關系式2sin2A-7sinA+3=0,則sinA的值為___ .
錯解:由2sin2A-7sinA+3=0,即(sinA-3)(2sinA-1)=0.
∴sinA-3=0或2sinA-1=0,即sinA=3或.
錯因診斷:A為銳角,則0<sinA<1,0<cosA<1,因此sinA=3應舍去,只有一個值sinA=.(正解略)
例 6△ABC中,AB=12,AC=,∠B=30°,則△ABC的面積是___ .
錯解:如圖3,作AD⊥BC,垂足為點D.
在Rt△ABD中,∵AB=12,∠B=30°,
錯因診斷:△ABC不一定是銳角三角形,高AD不一定在△ABC的內部,應分高AD在△ABC內部和在△ABC外部討論.
正解:(1)若高AD在△ABC的內部,如圖3,解法同上;
(2)若高AD在△ABC的外部,如圖4,作AD⊥BC交BC延長線于點D,
圖3
圖4
例7如圖5,為了測量建筑物AB的高度,在D處樹立標桿CD,標桿的高是2m,在DB上選取觀測點E,F,從E處測得標桿和建筑物的頂部C,A的仰角分別為58°,45°,從F處測得C,A的仰角分別為22°,70°.求建筑物AB的高度(精確到0.1m).(參考數據:tan22°≈0.40,tan58°≈1.60,tan70°≈2.75)
圖5
錯解:在Rt△CED中,∠CED=58°,
在Rt△CFD中,∠CFD=22°,
∴EF=DF-DE=3.7.
∴EF=BE-BF=AB-0.4AB=0.6AB,
∴0.6AB=3.7,解得AB=6.2(m).
錯因診斷:在取近似值時,沒有按題目的要求先多取一位,也沒有到最后再按要求取近似值,導致結果有較大的誤差.
正解:在Rt△CED中,∠CED=58°,
∴EF=BE-BF=AB-0.36AB=0.64AB,∴0.64AB=3.75,解得AB≈5.9(m).因此,建筑物AB的高度約為5.9m.