基于CVaR準則的共享單車區域投放策略研究

張 璇 邵曉峰

（上海交通大學 安泰經濟與管理學院，上海 200030）

1 問題背景與文獻綜述

近兩年，以摩拜和ofo為首的共享單車在我國主要大城市逐漸興起，并對人們的日常出行造成了巨大的影響。實際上，共享單車源于1965年荷蘭的“白色自行車計劃”，這被視為市政共享單車的開始。2010—2014年，國內外逐漸有一些企業參與城市共享單車的運營，通過承包機制來進行有樁共享單車的運營。截至2016年，全球有超過1000個共享單車運營機構和300個在建運營商。而在2017年，共享單車迎來爆發的一年，實際的共享單車運營商遠大于這個值。由于國外的共享單車一般是有樁單車，與摩拜和ofo等無樁共享單車相比，有樁單車需要一個固定的停車站點，在這個停車站點中有固定的樁位用于停放自行車。人們在使用的時候，需要先到停車站點取用一輛車，然后騎行到自己目的地相近的另一個停車站點。無論是人們在取用還是在停放自行車時，由于停車站點的樁位決定了該站點的車輛最大停放量，所以無論是取用車輛時發現站點中的車輛已經被別人取用完畢，還是停放車輛時發現沒有樁位可以?？?，樁位的數量都在顯著影響人們的使用體驗。因此，一部分學者開始研究停車站點的位置選擇以覆蓋更大的區域，或者是滿足消費者使用的停車站點的樁位數量以及庫存數量等。但更多的學術研究針對另一個問題。由于共享單車的需求集中（時間集中于上下班、地點集中于公司-地鐵-住宅），共享單車運營企業需要用一輛有容量限制的載貨汽車在不同停車站點之間進行車輛調控，使得每個站點的庫存量等于其需求量。由于所有共享單車都停留在車站中，那這樣的一個問題將是一個更加復雜的旅行商問題（TSP problem：travelling salesman problem）。學術界許多研究都在試圖尋找更加優化的方法去解決共享單車的跨區域優化問題。J Schuijbroek等給出了在一定服務水平要求下共享單車系統優化模型，并且用MIP等不同的啟發式算法進行了求解，其貢獻主要在于算法。M.Benchimol等將共享單車優化問題與交換問題相互借鑒，在調節車輛不同容量下給出系統的最優化調節路徑。Daniel Chemlaa等將之前不必要的約束去除，使得每一個停車站點都可以多次到達，并且在此期間，即使是需求沒有滿足的站點，調節車輛依然可以從中調用共享單車到其他站點，這使得每個站點都可以起到一個緩沖的作用，學者將其稱為SVOCPDP問題（a Single Vehicle One-commodity Capacitated Pickup and Delivery Problem）。

由于在此之前，國內外的共享單車一般都是有樁單車，有樁單車與摩拜、ofo類的無樁單車有著許多相同和不同點，這也是我們本次研究的出發點之一。它們的相同點在于，由于消費者使用單車的核心需求相同，基本都是解決“最后一公里”問題，所以有樁單車和無樁單車的需求都相對集中。也就是說，單車使用在時間上集中于人們的上下班時間，在空間上集中于地鐵站等公共交通樞紐。國內一家咨詢公司的研究表明，目前共享單車用戶的出行中，有68%是使用共享單車去地鐵站或者公交車站，僅32%是直接前往目的地。這使得我們對于無樁共享單車的研究可以與有樁共享單車一樣，主要分析地鐵站或者公交車站的需求滿足情況。由于某一地鐵站的人員流通量和需求量又遠大于某一公交車站的需求量，我們本次研究的重點也將集中于分析某一地鐵站的庫存水平，即在每天清晨地鐵站的共享單車車輛數處于各種水平下，面對已知概率密度分布的需求，共享單車運營企業的效益可以達到最高。

無樁單車與有樁單車的不同點，也是本次研究重點關注的。我們認為，無樁單車與有樁單車使用方式上的不同，導致了需求產生方式上的差異。無樁單車不需要固定的停車站點，也就是說人們在使用共享單車時不需要專門走到一個停車站點，而專門走到一個停車站點意味著共享單車用戶是自發、主動地使用共享單車，而不是被停車站點的車輛（庫存量）誘發的。由于這種需求是自發的，并且是先于用戶到達停車站點之前的，所以它與停車站點的庫存量是無關的。也就是說，停車站點的庫存量只會影響到需求被實際滿足的情況，但不會影響到需求本身。而無樁單車由于不需要固定的停車站點，它可以比較自由地分布在地鐵站出口周圍，并且誘發用戶去使用。也就是說，有一部分用戶在走出地鐵站之前，并沒有想到要使用共享單車，但在出站以后，由于看到了周圍?？康墓蚕韱诬?，于是產生了這樣的需求。簡而言之，無樁單車的庫存量影響到用戶需求。艾瑞咨詢的研究表明，共享單車用戶認知的主要途徑是通過看到停放／騎行的單車，有許多用戶在調查中表示，自己常常是因為看到了周圍有共享單車才會使用。

本次基于無樁單車庫存影響需求這一核心特點，利用報童模型的變形進行建模。正如上文所述，之前共享單車的研究很少集中在單一區域的單車投放量，并且沒有學者利用報童模型去解決這一問題。本文的創新點在于：1）用報童模型解決共享單車單一區域投放量最優化問題；2）提出無樁單車需求產生方式的不同，研究集中在庫存影響需求的這一核心特點。

報童模型作為庫存管理領域一個非常經典的模型，報童每購進一張報紙的費用為b，售出一份報紙的收益為a，如果報紙剩余，報童可以將剩余的報紙以殘值c賣回給生產廠家，面對已知概率密度分布f（x）的需求，報童可以選擇某一購買量以最大化他的收益G（x）。許多學者對報童模型進行了擴展，可

式中，β為置信度，Z是隨機變量，E是期望，（v-Z）+代表v-Z與0的較大值。

本文接下來將利用基于CVaR準則的報童模型，以大致分為七類：1）改變或復雜化參數a，比如將需求與售價a建立關系；2）改變參數b，比如將報童的訂貨量與b建立關系或者將b作為影響所有價格的自變量；3）復雜化c，比如在不同退貨政策下有不同的c；4）復雜化f（x），比如需求分布f（x）未知而只知道需求的部分參數等，由于報童模型中對需求分布的假設要求太強，所以弱化對需求的假設成為報童模型延展的重要分支；5）復雜化G（x），在這一分支中最重要的就是引入風險厭惡（risk-aversive）；6）增加其他變量或約束，比如增加報童的預算約束；7）引入多時期或者多產品的報童模型。

風險厭惡被證明是實際存在的，本文采用的報童模型也是這一方面的延展。由于風險厭惡在金融投資中非常重要，所以產生了許多風險衡量方法，最重要的有三種：均值方差、風險估值（VaR：Value at Risk）和條件風險估值（CVaR：Conditional Value at Risk）。Markowitz在1952年提出均值方差，將數理統計的方法應用到投資組合選擇中。其經濟學意義是，投資者可預先確定一個期望收益，確定投資者在每個投資項目（如股票）上的投資比例（項目資金分配），使其總投資風險最小。但均值方差法對于人們在投資組合中所希望獲得的向上（upside）影響和不希望獲得的向下（downside）結果的風險厭惡程度相同，這與實際不符。風險估值VaR在1993年被提出，其含義是在一定概率水平（置信度）下，某一金融資產或證券組合價值在未來特定時期內的最大可能損失。用公式表達為

式中，P代表資產價值損失小于可能損失上限的概率，Vp代表投資組合在Vt時間內的損失，Va R代表在給定的置信度β下存在風險的價值，即損失的上限。但VaR法也存在一些局限和缺點，比如不具有風險一致度，不考慮超過VaR的風險等，隨后，Rockafe Uar等在2000年提出了CVaR法，其含義是在投資組合的損失超過給定置信度下的VaR時的平均損失值。用公式表達為

CVaRβ=E（-X／-X≥VaRβ）

式中，-X代表投資組合的隨機損失，Va Rβ代表在置信度為1-β時的Va R值。

CVaR還有一個更加方便計算的形：考慮不存在和存在缺貨損失的情況下，對無樁共享單車庫存影響需求的情況進行建模求解，得到某一區域共享單車的最優投放量。同時，分析最優投放量與各個參數之間的關系，并且用數值分析去驗證。

2 模型建立與求解

2.1 模型假設與符號

我們研究在某一地鐵站口應該投放多少共享單車，可以使得共享單車運營企業在一定效益下面對的效益風險值最低。假設在這樣的一個報童模型中，用戶使用一輛共享單車（相當于報童賣出一份報紙）的收益為a，共享單車企業投放一輛共享單車的成本為b（相當于報童從生產商那里購入一份報紙的成本），用戶沒有使用共享單車，但由于投放共享單車給運營企業帶來了廣告價值等收益為c（相當于報童以殘值賣回剩余的報紙），缺貨懲罰為s。

共享單車的需求D受到共享單車初始投放量Q的影響，D可以分拆為兩個部分，一部分是不受Q影響的部分，即用戶在出地鐵口前就自發產生的使用共享單車的需求，另一部分是受Q影響的，即用戶在出地鐵口前并沒有考慮使用共享單車，但在行進過程中看到有共享單車而被誘發需求。不受Q影響的需求和有樁共享單車需求相同，用隨機變量x表示，其概率密度分布函數為f（x），累計分布函數為F（x）.受到Q影響的那部分需求用αQβ表示，Qβ可以理解為關注度，即用戶由于車輛的集中而對單車產生關注，很明顯1輛單車?？吭诼愤吅?0輛單車?？吭诼愤吽鶐淼年P注度是不同的，α可以理解為這種關注轉換為需求的概率。由于αQβ是誘發產生的需求，當不存在庫存時就不會產生，所以αQβ的值是小于Q的，即αQβ＜Q。模型假設與符號見表1。

表1 模型假設與符號

2.2 模型建立與計算

2.2.1 不存在缺貨懲罰

基于報童模型，在沒有缺貨懲罰下，對于共享單車運營商來說，有

結合式（2），有

我們的目標是找到Q*，使得g（Q，v）達到最大值。

【結論1】在不存在缺貨損失的情況下，假設共享單車的需求量部分依賴于初始投放量，且滿足D=αQβ+x，則基于CVaR準則，共享單車運營商的最優投放量Q*滿足

【證明】：

由于存在

所以有

3）在v＞（a-b）Q時，

利用分部積分法，最后可以化簡得到

證明：

在存在缺貨損失s時，有

D＞Q時，M（Q）=（a-b）Q-（D-Q）s=（a-b+s）Q-sD；

D＜Q時，M（Q）=（a-b）D+（c-b）（Q-D）=（a-c）D+（c-b）D

則M（Q）可以表示為（Q-αQβ）［-αβ（β-1）Qβ-2］。很明顯，由于α，βη∈（0，1］，a＞b＞c，F（x）＞0，所以二階導數小于0，所以得到的極值點Q*是極大值點。

綜上所述，結論1得證。

2.2.2 存在缺貨懲罰時

【結論2】在結論1的基礎上，如果考慮了缺貨懲罰，即s＞0，假設共享單車的需求量部分依賴于初始投放量，且滿足D=αQβ+x，則基于CVaR準則，共享單車運營商的最優投放量Q*滿足

同樣分三種情況對［a-b］+的格式進行化簡，最后可以得到在v=（a-b+s）Q-αsQβ時，g（Q，v）可以取最大值。此時將v=（a-b+s）Q-αsQβ代入式（9），可以得到

進而得到

綜上，結論2得證。

2.3 參數分析

由于結論1實際上是結論2在s=0下的特殊情況，所以我們對模型的分析基于結論2展開。令

很顯然，最優投放量Q*是在H=0時取得的。在2.2部分，我們證明了在Q取得最優值Q*時，g（Q，v）關于Q的二階導數小于0，即 H（a，b，c，s，Q*）關于Q的一階倒數小于0，即H與Q負相關。

我們本節分析a、b、c、s四個參數對于收益風險與Q*的變化關系。很明顯，我們將 H（a，b，c，s，Q*）對a求一階導數，得到

即H與a正相關，由于H與Q負相關，在a增大時，H變大，而H=0時，Q=Q*，所以Q*必須增大，則a與Q*正相關。也就是說，在其他參數不變的情況下，a的增加會引起收益風險性沒有實現最小化，此時需要增加一部分投放量才能更大限度降低收益風險。類似分析b、c、s，可以得到b與Q*負相關，結合式（11）可得，在其他變量不變的時候，共享單車運營商單位車輛運營成本的增加，會引起風險收益的減少，但在原有投放量下，風險收益并沒有達到最小值，此時需要減少投放量以降低風險。類似地可以得到c、s與Q*正相關，關于a、b、c、s與Q*的相關性，我們在接下來的第三節數值分析與討論環節，會使用具體的數值進行驗證。為減少不必要的計算，我們僅分析s的變化與Q*的關系。

3 數值分析與討論

在式（9）的基礎上，我們進行數值分析，主要想考察模型所得的共享單車最優投放量與參數α、β以及s的關系。由于在模型中有隨機變量x的累計分布函數，我們考察模型中的自發需求（也就是隨機變量x）滿足均勻分布、負指數分布和正態分布時的情況。在實際的模型運用中，需要考察共享單車對應的a、b、c的值，在下面的數值分析中，我們假設a=10，b=5，c=1。

在模型中，我們將需求分為自發需求和誘發需求兩個部分，其中誘發需求滿足D1=αQβ，這里對α、β尋求現實的解釋變量。我們將誘發需求的過程分為兩個步驟，首先是獲得潛在用戶的關注，然后是將這種關注轉換為實際需求。在獲得關注的這一過程中，我們結合共享單車的實際情況，當潛在用戶出現時，很明顯路旁的共享單車數量越多，潛在用戶越有可能關注到共享單車，同時這種關注度隨著車輛數量的增加，其邊際效應遞減，這樣的關注度可以很好地用Qβ來表現。而在關注轉換為實際需求的這一過程中，潛在用戶在關注到共享單車的存在后，還會考慮其他的一些因素，比如天氣、騎行的舒適度、騎行距離等，所以存在轉換率α。綜合以上，我們可以將誘發需求表示為D1=αQβ。

當隨機變量x滿足均勻分布時，我們假設其滿足［0，100］區間上的均勻分布，可得其期望值為50，方差約為833。在隨機變量x滿足負指數分布時，我們假設其滿足λ=50的負指數分布，可得其期望值為50，方差約為2500。在隨機變量x滿足正態分布時，我們假設其滿足［50，100］區間上的正態分布，可得其期望值為50，方差約為100。

3.1 Q與α和s的關系

考察在β=0.4，η=0.95時，以及不同缺貨懲罰s下，最優投放量Q與α的關系，如表2至表4。

表2 均勻分布下最優投放量與α和s的關系

表3 負指數分布下最優投放量與α和s的關系

表4 正態分布下最優投放量與α和s的關系

由表2至表4可以看到，Q與α的取值正相關。結合其現實意義，α越大的時候，即將關注度變為實際需求就越大，誘發效應更加明顯，在原有Q的水平下，用于滿足自發需求x的庫存就越少，此時需要提供更多的庫存，即增加Q。同時，我們也發現Q的變動值在α∈［0，1］時并不大，比如在s=0時，α從0.1增加到了1，最優投放量Q的變化值只變動了6.33，最優投放量Q對α的變化并不敏感。此外，在s增大的時候，Q的取值也變大，說明共享單車運營企業如果考慮缺貨懲罰，企業需要增加車輛的投放以降低收益風險，即缺貨懲罰的增加會增加收益風險，并且s在單位增加時，Q的變動量遞減，顯示缺貨懲罰的增加所引起的風險值邊際減少。

3.2 Q與β的關系

考察在α=0.5、η=0.95時，以及不同缺貨懲罰s下，最優投放量Q與β的關系，見表5至表7。

由表5至表7可以看到，Q與β的取值正相關，結合其現實意義，β越大，即吸引到的潛在用戶量越大，在α一定的情況下，誘發的需求就越大，在原有Q的水平下，用于滿足自發需求x的庫存就越少，此時需要提供更多的庫存，即增加Q。同時，我們也發現Q對β的敏感性還是很高的，尤其是在β大于0.5時，運營企業需要急劇地增加投放量以降低收益風險。

表5 均勻分布下最優投放量與β和s的關系

表6 負指數分布下最優投放量與β和s的關系

表7 正態分布下最優投放量與β和s的關系

4 小結

本文針對我國日益興起的共享單車進行了研究，發現其無樁的特點最終導致了其需求與有樁共享單車的不同，即庫存量（共享單車初始投放量）會影響到其需求量，并基于此假設D=αQβ+x，將共享單車的需求拆分為自發需求x和庫存誘發需求αQβ。利用報童模型的變形，在進行建模和模型計算后，給出了作為一個風險厭惡的運營企業，可以使企業在獲得某一收益下將風險降至最低的最優區域投放量。同時，在自發需求x滿足均勻分布、負指數分布和均勻分布下，考察最優投放量與模型中各項參數的關系，并對各項參數給予了實際情況的解釋，從而更好地理解最優投放量與模型中各項參數的關系。