關注數列“姊妹題” 體驗精彩“無極限”

薛映紅

(河南省鄭州市《中學生學習報》社有限公司 450000)

本文給出以下幾組關于數列“姊妹題”的具體解析過程，以切實幫助讀者提高分析、解決數列問題的實際能力，進一步拓寬思維視野.

【第一組“姊妹題”】

例1 (1)已知知數列{an}對任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于( ).

A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

(2)已知數列{an}對任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap·aq，且a3=-8，那么a10等于( ).

A.256 B.1024 C.-256 D.-1024

解析 (1)取p=n∈N*,q=1，則有an+1=an+a1?an+1-an=a1，∴數列{an}是等差數列，其首項是a1，公差也是a1.又取p=q=1得a2=a1+a1，而a2=-6，∴a1=-3.從而a10=a1+9a1=10a1=-30，故選C.

評注 這兩問求解的關鍵都在于通過靈活地賦值，認清數列{an}的特性，并加以充分運用.

【第二組“姊妹題”】

評注 第(1)問求解的關鍵在于，綜合考慮根與系數的關系及等差數列的特性(當正整數n+m=p+q時，對于等差數列{an}有an+am=ap+aq)，巧設對應的兩個二次方程的根；第(2)問求解的關鍵在于，綜合考慮根與系數的關系及等比數列的特性(當正整數n+m=p+q時，對于等比數列{an}有an·am=ap·aq)，巧設對應的兩個二次方程的根.

【第三組“姊妹題”】

A.3nB.n2+2nC.3n2D.3n

(2)在等比數列{an}中，a1=2，前n項和為Sn.若數列{an+1}也是等比數列，則Sn等于( ).

A.2n+1-2 B.3n-1 C.2nD.3n-1

解析 (1)∵{an}是等差數列，∴an+1+an-1=2an(n≥2).

【第四組“姊妹題”】

故選A.

解析二 (簡捷解法)(1)由于目標是求比值，于是可設S3=1，則S6=3.∵易知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9構成等差數列，∴1,2,S9-3,S12-S9構成等差數列.

(2)由于目標是求比值，于是可設S4=1，則S8=4.∵S4≠0，∴易知S4,S8-S4,S12-S8構成等比數列，∴1,3,S12-S8構成等比數列.

評注 (1)設等差數列{an}(公差為d)的前n項和為Sn，則連續k項和，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也構成等差數列(公差為k2d)；(2)設等比數列{an}(公比為q)的前n項和為Sn，若Sk≠0，則連續k項和，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也構成等比數列(公比為qk).

【第五組“姊妹題”】

【第六組“姊妹題”】

例6 已知在數列{an}中，相鄰兩項an,an+1是方程x2+3nx+bn=0的兩個根，若a10=-17，求b51.

∵由(1)得an+1+an+2=-3(n+1)， (3)

∴由(3)-(1)得an+2-an=-3，∴易知數列a1,a3,a5,…,a2n-1和a2,a4,a6,…,a2n都是以-3為公差的等差數列.

又由(1)及a10=-17得a11=-30-a10=-13.

于是，a51=a11+(26-6)×(-3)=-13-60=-73，a52=a10+(26-5)×(-3)=-17-63=-80.故由(2)得所求b51=a51·a52=-73×(-80)=5840.

評注 這種解法的切入點是以“作差”的方式活用遞推式.在等差數列a1,a3,a5,…,a2n-1中，a51是第26項，a11是第6項；在等差數列a2,a4,a6,…,a2n中，a52是第26項，a10是第5項.

評注 這種解法的切入點是通過適當變形，產生一個新數列的相鄰兩項之和為常數.一般地，若an+an+1=t(t為常數)，則數列{an}是以2為周期的周期數列，即所有奇數項相同，所有偶數項也相同.

例7 已知在數列{an}中，相鄰兩項an,an+1是方程x2+bnx+3n=0的兩個根，若a3=27，求b10.

∵由(2)得an+1·an+2=3n+1， (3)∴由(3)÷(2)得∴易知數列a2,a4,a6,…,a2n和a1,a3,a5,…,a2n-1都是以3為公比的等比數列.

于是，a10=a4·35-2=1×27=27，a11=a3·36-2=27×81=2187.故由(1)得所求b10=-(a10+a11)=-(27+2187)=-2214.

評注 這種解法的切入點是以“作商”的方式活用遞推式.在等比數列a2,a4,a6,…,a2n中，a10是第5項，a4是第2項；在等比數列a1,a3,a5,…,a2n-1中，a11是第6項，a3是第2項.

于是，數列{cn}是以2為周期的周期數列.

故由(1)得所求b10=-(a10+a11)=-(27+2187)=-2214.

評注 這種解法的切入點是通過適當變形，產生一個新數列的相鄰兩項之積為非零常數.一般地，若an·an+1=t(t為非零常數)，則數列{an}是以2為周期的周期數列，即所有奇數項相同，所有偶數項也相同.

綜上，只要我們善于運用“類比思想”去做進一步的歸納、探究，那么我相信關注數列“姊妹題”， 一定會體驗到其中的精彩“無極限”！