靜電場測繪實驗法與計算機模擬法比較分析

王 寶 元

(呂梁學院汾陽師范分校 數學與科學系，山西 汾陽 032200)

通常情況下，電荷之間的超距作用和場的作用在電荷處于靜止時并沒有差別，不同的電荷分布導致電場具體性狀存在很大差異.因此，對靜電場線的性狀分布進行科學描述，能夠更加直觀而又全面地展現電場圖像.本文基于實驗測繪法和計算機模擬法，結合穩恒電流場和靜電場能夠滿足相同數學方程的條件，獲得靜電場分布情況，并對其進行測繪.

1 靜電場測繪實驗原理

測繪靜電場場強分布情況有兩種方法：實驗法和計算機模擬法.如果僅采用實驗測量方法進行測繪，會因實驗操作過程或儀器設備不當而造成各種誤差；同時，在實驗過程中很難保證穩恒電流場與靜電場邊界條件一致，導致理想靜電場分布與實測數值之間存在很大出入.采用實驗測量與計算機模擬計算兩種方法，基于靜電場和穩恒電流場邊界條件唯一性原理，分別采用兩同軸圓電極和兩平行直電極模型，對真空狀態下帶等量異號電荷的長平行輸電線和長同軸電纜在任一與導線垂直平面內的電場分布情況進行模擬[1].

在模擬實驗中，根據靜電場電荷守恒定律與方程，可知電流場和靜電場電勢u均滿足泊松方程，對于靜電場有：

(1)

其中，ρ為電荷體密度；ε為介電常數；u為電流場和靜電場電勢.

對于電流場有：

Δ2u=-f.

(2)

其中，f為電流源強度分布.

在式(1)和式(2)中，當f=0且ρ=0時，在該區域內無靜電荷存在.此時，結合式(1)和式(2)可得如下調和方程(也稱拉普拉斯方程)：

Δ2u=0.

(3)

式(3)表示穩恒電流場和靜電場二者同時能夠滿足的數學方程式.為了使運算結果簡單化，得到精確的模擬數值，本文只考慮二維場的存在，則式(3)以二維調和方程表示為：

(4)

2 靜電場測繪實驗模型

通常對靜電場進行測繪時，采用的主要模型為兩平行直電極和兩同軸圓電極.在兩平行直電極模型(見圖1)中，A與B分別表示連接于均勻導電薄層中的兩個直柱電極.當電源接通后，在導電薄層平面內會產生穩恒電流場.此時，穩恒電流場邊界條件包括導電媒質層與空氣接觸邊緣和兩個導電極兩部分[2].

圖1中的A和B兩直柱電極均為等勢體，電極條件為第一類邊界條件.在兩種導電媒質分界面中，穩恒電流場第一類邊界條件與靜電場邊界條件相似，其符合靜電場中電位移法向量和電勢連續邊界條件，即滿足如下條件：

J1n=J2n.

(5)

其中,j為穩恒電流密度；n為電位移法向量.

u1=u2.

(6)

圖1 穩恒電流場測繪時的兩平行直電極模型

結合歐姆定律可知，在第二類邊界條件中，穩恒電場中電場強度和電流密度的法向量為0，即穩恒電流電場線與其邊界區域平行.

圖2為兩同軸圓電極模型，圖中圓柱導體A的軸和半徑為R的圓筒導體B的軸重合.其中，圓柱導體A與圓筒導體B分別與直流穩壓電源正負極相連.當圓筒導體B與圓柱導體A接觸某一均勻導電媒質薄層時，此時會有徑向電流在圓筒導體B與圓柱導體A柱面與筒面之間產生，從而構建起一個穩恒電流場.若電極導體和導電媒質(如導電紙)分別為導體與絕緣體時，可將電極表面作為一等勢面.在此狀態下，導電介質中帶有靜電的導體表面同樣為等勢面，即靜電場中電極電勢值屬于第一類邊界條件[3].

圖2 靜電場測繪時兩同軸圓電極模型

3 靜電場測繪實驗與計算機模擬結果分析

在實驗測繪分析時，基于有限差分法將電勢所能滿足的一類與二類邊界條件和拉普拉斯方程均轉化為相應的差分方程.在此基礎上，基于數學迭代方法，對模擬實驗結果進行數值計算，以此求得二維平面內靜電場各點電勢的數值解.最終，分別得到穩恒電場兩平行直電極模型下的電勢分布圖(見圖3)與等勢線圖(見圖4)及兩同軸圓電極模型下的靜電場電勢分布圖(見圖5)與等勢線圖(見圖6).

在穩恒電場兩平行直電極模型中，分別將半徑r0=0.5 cm的A和B兩電極對稱置于邊長為15 cm的正方形導電媒質薄層(導電紙)中心，兩電極圓心相距4 cm，兩電極電源電勢V0=10 V，A和B兩電極電勢分別為5 V和-5 V.從圖3和圖4可以看出，在正方形導電媒質薄層(導電紙)邊緣，穩恒電場兩平行直電極模型下的等勢線同等勢邊界垂直，由此證實了模擬實驗中提出的假設“穩恒電流電場線與其邊界區域平行”.

圖3 穩恒電場兩平行直電極模型下的電勢分布圖

圖4 穩恒電場兩平行直電極模型下的等勢線

圖5 靜電場兩同軸圓電極模型下的電勢分布圖

圖6 靜電場兩同軸圓電極模型下的等勢線圖

在靜電場兩同軸圓電極模型中，采用同樣的方法分別將r0=0.5 cm的A和B兩電極對稱置于一邊長為15 cm的正方形導電媒質薄層(導電紙)中心，兩電極圓心相距5 cm，兩電極電源電勢V0=10 V，A和B兩電極電勢分別為5 V和-5 V，從圖5和圖6中可以看出，電勢在A和B兩電極中心電極周邊變化十分快，離A和B兩電極的中心以及電極越遠，電勢變化速度越慢.

為了進一步凸顯導電媒質薄層(導電紙)邊緣的靜電場效應，在計算機模擬計算過程中，可使導電媒質薄層(導電紙)足夠大，從而確保A和B兩電極均勻置于導電紙中心區域.在原來15 cm×15 cm的基礎上，適當將導電紙放大至75 cm×75 cm，以同樣的電極圓心距離、電源電勢、電極電勢條件，在計算機中模擬繪制穩恒電場兩平行直電極模型下的等勢線圖和靜電場兩同軸圓電極模型下的等勢線圖，最終得到大導電紙中心部分的等勢線圖(見圖7).

通過對比可以看出，圖4與圖7之間明顯存在差異：遠離A和B兩電極邊緣等勢線(±3 V，±4 V)無明顯變化，但遠離A和B兩電極邊緣的等勢線(±1 V，±2 V)發生了明顯變化；靠近A和B兩電極邊緣的等勢線(±3 V，±4 V)無明顯變化，但靠近A和B兩電極邊緣的等勢線(±1 V，±2 V)發生了明顯變化.由此表明，距離導電媒質薄層(導電紙)邊緣越遠，導電媒質薄層(導電紙)的邊緣效應越弱.從圖7可以看出，等勢線幾何形狀與偏心圓接近，與靜電場場強分布理論相符.由此說明，采用計算機模擬計算方法得到的等勢線圖與理想的靜電場場強分布圖更為接近.

圖7 穩恒電場與靜電場在大導電紙中心部分的等勢線圖

4 結語

本研究采用實驗測繪法與計算機模擬計算兩種方法，詳細對靜電場場強分布狀況進行描述.通過定性描述與定量分析，得到了不同邊界條件下的靜電場場強分布等勢線圖.研究結果表明，基于計算機模擬方法模擬靜電場電勢分布狀態，結果較為準確、客觀，能夠減少因實驗操作過程或儀器設備不當帶來的誤差，擬合結果接近理想的靜電場分布狀況.