機器學習技術在氣動優化中的應用

陳海昕，鄧凱文，李潤澤

清華大學 航天航空學院，北京 100084

氣動優化設計作為飛行器設計的重要組成部分，復雜程度相當高，存在大量需要考慮且互相影響的因素。在超臨界機翼優化中，除需考慮巡航升阻力系數、升阻比、力矩系數等設計點性能外，抖振、阻力發散、阻力蠕增等非設計點動態特性也需納入考慮范圍；同時優化還存在一些不可忽略的約束，如機翼厚度、油箱容積、前后緣裝置；更多地，壓力分布形態、失速起始位置和形態等流動形態的期望也應納入考慮范圍。以上性能要求與幾何外形之間的關聯十分敏感和復雜，呈現強烈的非線性。氣動優化可以協調復雜的設計變量、目標和約束，提升飛行器綜合性能，近年來在飛行器設計中得到越來越廣泛、深入的使用。在C919飛機的氣動設計中，優化設計展現了巨大的優勢和能力，獲得了良好的效果[1-2]。

在氣動優化方法出現之前，氣動設計主要依靠風洞試驗和簡化的理論計算，依賴設計人員的經驗以試湊法(Cut and Try)進行。在復雜問題面前，人的試湊設計常表現出顧此失彼、重復浪費、搜索受認識局限等缺陷。優化方法則在這些問題上相應地展現出其優勢。

gi(x)≤0i=1,2,…,Ng

hi(x)=0i=1,2,…,Nh

對氣動優化而言，設計變量x通常為待進行優化的幾何外形控制點坐標、工況等，優化目標y通常為氣動性能(如升阻特性等)。為消除歧義，本文所指的優化方法是由計算機為主實現的、以尋優算法配合數值模擬為主的評估手段進行的自動搜索尋優。圖1給出了一個典型的氣動優化設計流程。

基于數值模擬的氣動優化有著超過40年的發展，從其發展歷程來看，研究人員主要試圖解決2類問題：① 在給定優化問題的情況下，研究尋優算法等，以更省時省力、又快又好地得到最優解，解決效率問題。除尋優算法本身的改進外，典型的例子是引入代理模型和降階模型技術。② 如何合理地定義優化問題，運用尋優算法，使得到的解更符合實際的工程需求，即解決實用性問題。多學科優化和魯棒性優化思想均屬此方面的努力，前者將氣動和結構、隱身等學科進行綜合權衡，獲取飛機最優綜合性能。后者通過對不確定性進行建模以抑制工況變化帶來的性能損失。

圖2給出了氣動優化發展的粗略時間線。圖中：上方基本體現了人們改善尋優效率的歷程，下方則體現了人們在解決實用性方面的努力。

圖1 氣動優化運行流程Fig.1 General flowchart of aerodynamic optimization

圖2 氣動優化發展的時間線Fig.2 Development timeline of aerodynamic optimization

1 氣動優化設計

1.1 尋優算法的發展歷程

氣動優化的應用最早可見于20世紀70年代[3-7]，此時多使用小擾動方程、全勢流等快速方法進行氣動評估，并結合以共軛梯度法為代表的梯度類優化方法進行尋優。

在20世紀80～90年代，以遺傳算法為代表的進化類算法，與蟻群算法、模擬退火算法等啟發式的智能優化算法在氣動優化中開始得到應用。此類方法由于不需引入梯度等額外信息，搜索方向具有不確定性，因而也被稱為隨機優化方法。隨機優化方法可以構建自動通用的優化框架，使得使用者可將其視為黑箱而無需了解具體的運作細節，因而成為氣動優化中很受歡迎的算法。在單次目標評估計算量不大時，如基于全勢流方程或歐拉方程進行評估的二維優化問題或簡單的反設計問題中[8-11]，取得了很好的效果，簡單的三維優化問題也可以在該框架下成功解決[1-2,12-15]。

進化類算法以其較強的魯棒性，對多變量多目標的天然適應性，使氣動優化可以從單點、單目標、單學科優化自然地過渡到多點、多目標、多學科優化[16-19]。

進化類算法盡管具有種種優點，但其需要完成大量的適應度函數分析，優化效率較低。在復雜三維氣動優化問題中的應用困難重重。20世紀90年代，伴隨方法的提出[20]解決了氣動優化中目標對設計變量梯度的求取問題。通過求解伴隨場，伴隨方法能以低廉的計算代價求得流場各點物理量對幾何外形的敏感導數。因此在優化目標是以流場局部閉區間積分形式表示的情況下，可以直接應用伴隨方法求得梯度，并使用局部優化效率強的、基于梯度的優化方法進行優化。這使得基于雷諾平均Navier-Stokes(RANS)、大渦模擬(LES)的三維復雜外形優化問題不再困難[21-25]。Zingg等[26]的研究表示，梯度類方法的優化效率可達進化類算法的5倍，但盡管如此，梯度類方法還是受限于易陷入局部最優且難以應對多個目標和約束等問題。

代理模型方法的發展和應用是另一個里程碑。代理模型又稱為響應面或元模型方法，以類似擬合的方式從已知樣本集構造簡單模型替代復雜的計算流體力學(CFD)評估過程，從而顯著降低優化過程中的計算需求，提高優化效率和質量。代理模型中常用的模型有二次多項式響應面、Kriging響應面、徑向基函數(Radial Basis Function, RBF)響應面和多層感知機(Multi-Layer Perceptron, MLP)等。20世紀90年代，代理模型方法在氣動優化中得到了大量應用[27-32]，一般直接利用尋優算法在所構造的代理模型上進行尋優。此類方法雖然建模時在訓練樣本集上可以達到很低的誤差，但在未知的設計空間其誤差則無法保證，導致尋優進程很容易被誤導。

近年來，氣動優化尋優算法的發展趨向于上述方法的改進和運用策略。如通過融合代理模型和降階模型簡化計算量，通過融合多種精度的代理模型和降階模型進行分層搜索以提高優化的時間效率，通過對多目標加權降低優化復雜度，通過混合多種優化算法實現局部搜索和全局搜索能力的均衡，通過將優化分階段提高搜索效率等。這些改進大多在具體問題上取得了收益，但本質都是對全局尋優能力和局部尋優能力進行折中。

1.2 優化設計的實用性改進

如圖2所示，伴隨著尋優算法的進步，氣動優化在實用性上的發展起初主要是通過更為合理全面的設計準則，也就是設計變量、目標與約束的設定，來更真實合理地協調設計構型可能面對的工況和對性能的期望。文獻[1-2]在C919飛機超臨界機翼設計中進行了大量的嘗試和努力，提出“多點優化”、“人在回路”、“壓力分布形態約束”等策略，取得了很好的效果。

多學科優化通過將與氣動耦合的其他特性納入考慮范圍，以優化算法進行權衡尋優，實現更綜合可用的設計。魯棒性優化關注降低設計點性能在工況變化時的性能損失風險。一般以設計點鄰域內氣動性能的方差進行表征[33-34]。對設計點鄰域進行采樣可使用蒙特卡羅為代表的方法進行。不難看出，多學科優化和魯棒性優化都強烈依賴更多、更為復雜的目標和約束評估。以魯棒優化為例，由于氣動性能在設計點附近的敏感度要求大量額外的目標評估，很多情況下只能使用代理模型方法才使魯棒性優化得以應用[35-43]。

為了應對多學科優化和魯棒性優化中對多目標尋優的需要，人們發展了多目標優化算法。多目標優化研究起步于20世紀90年代，通常有2種處理方式：① 將多個目標的加權形成單個優化目標；② 基于Pareto占優準則進行真正的多目標優化。前者的問題在于權重的選擇困難，且權重設置直接關系著優化結果。后者的問題在于其對目標數目有嚴格限制，Pareto占優準則在目標數目過多(≥3)時極易失效，這會使優化停滯。

約束同樣是改善優化結果實用性的重要手段。如利用幾何方面的相對厚度約束，確保翼型設計滿足油箱容積和結構效率的要求。文獻[1-2]在設置性能和幾何約束外，還對壓力分布形態建立了復雜的約束體系，以“迫使”優化產生期望的壓力分布形態。然而過多、過細的約束將造成合乎約束的初始種群難以形成、演進困難等問題。

為了增強優化結果在實際環境下的可用性，單純依靠更為面面俱到地設置目標、約束是存在困難的。在這種情況下想取得工程實用的解，氣動優化仍很大程度依賴專家干預，這就是所謂“人在回路”思想[1-2,44]。狹義來講，“人在回路”指的是由專家來監視優化進程，適時刪除重復和性能較差的個體，根據自己的理解手動添加潛在優秀的個體，根據當前優化狀況和走向改變相應的算法參數，重設和調整設計空間范圍等，對優化進程起到引導的作用。

當然廣義來說，專家還需在優化前和優化中設定和調整優化目標、設計變量、搜索空間、約束表達式和約束權重，并在優化結束后對已有解進行篩選和修改以滿足更為復雜的要求?，F有尋優算法可以很容易地附加數據分析功能，如定量地計算優化目標和變量間的相關性，給設計人員選擇和制定優化參數提供指導，形成對專家的決策輔助，幫助更好地引導優化的方向，提升氣動優化的效率和質量。

1.3 優化設計對信息的利用

目前，進化類優化算法可謂是一個黑箱數學游戲：給定x和y的對應關系，調節前者得到更優的后者，而對決定x和y之間的物理機理并不直接關心。代理模型方法同樣可以對x到y的單層直接映射進行建模，代理模型對已有算例間體現的映射進行了存儲和積累，然而它也不能推斷該映射背后的物理機理。

在優化設計中，信息是分層級的，最表層的信息是設計變量和優化目標的映射關系，目前所有尋優算法都依賴這些信息進行尋優決策，在建立映射方面，尋優算法相對人而言優勢極為明顯。然而，專家相對于尋優算法顯而易見的優勢在于其知識層級、獲取利用信息的渠道和方式要更為高明。因此，面對現有優化方法的能力不足，“人在回路”是一種無奈卻有益的補充。

相對于映射關系，氣動設計所涉及的潛在物理知識，即流動機理、其他學科知識、設計經驗等是更為高層級的信息。與尋優算法相比，專家積累了大量此層級的知識，并能靈活地加以運用。如何使優化能夠利用這一層級的知識和能力，是應該得到更多關注的問題。

2 傳統機器學習與氣動優化

機器學習在過去幾十年得到了快速發展。一種較為廣泛接受的定義為：“機器學習是一個構建和研究能從數據中進行學習的算法的學科”。這是維基百科中關于機器學習的定義。簡單而言，機器學習是數據驅動的,用于對數據間的內部關系進行建模的方法。機器學習技術包含模型定義、模型評估和模型訓練等多個部分。大部分機器學習技術都是“樣例學習”，即需要提供一系列樣本用于估計模型參數。在CFD中，機器學習已被應用于湍流模型[45-66]替代等。在氣動優化設計中，機器學習的應用主要體現在代理模型(或響應面)構建、設計變量間關聯的探索、降階模型構建等方面。

2.1 構建代理模型輔助優化

機器學習方法在氣動優化中最為典型的應用是從已計算的樣本出發，基于高斯過程回歸(典型如Kriging響應面)、多項式、RBF、神經網絡等構建模型，從設計變量快速預測目標函數，以部分或完全取代CFD分析。本文將常見的響應面、代理模型及機器學習中用于回歸分析的神經網絡模型統稱為代理模型。使用代理模型完全取代CFD過程的優化方法通常被稱為基于代理模型的優化(Surrogate Based Optimization, SBO)，此類方法要求已獲得一定數量的個體輸入輸出數據，用其構建一個代理模型，再使用該代理模型替代耗時的數值評估過程進行優化。而使用代理模型部分取代CFD過程的優化方法一般稱為代理模型輔助的優化(Surrogate Aided Optimization, SAO)，或者基于代理模型的預評估(Inexact Pre-Evaluation, IPE)。在這種優化方法中，代理模型僅作為局部搜索工具，可理解為對已計算個體進行分析后給出優化方向的建議，可以看做是專家歸納思考的簡單抽象，通常被整合在一個更大的優化算法框架中。

在當前的氣動優化中，SBO仍是主流[42, 67-79]。韓忠華[80]綜述了Kriging代理模型在氣動優化中的應用。Chen和Agarwal[67]在優化鈍后緣翼型時使用MLP來替代部分CFD計算，在MLP預測結果和CFD計算結果偏差較大時僅使用CFD的結果。Lamarsh[68]使用MLP替代轉子葉片的動力學評估過程，結合漸進分析方法優化了葉片在3種工作狀態下的馬力。Su等[69]使用MLP模型結合種群控制的遺傳算法對導彈的氣動外形進行了優化。朱莉和高正紅[70]使用MLP代替了氣動優化中的CFD評估過程，并結合遺傳算法用于翼型優化問題。Mengistu和Ghaly[71]使用同樣的策略優化了跨聲速沖力式渦輪機葉柵及亞聲速壓氣機轉子。蒙文鞏等[72]使用相似的策略根據翼型速度和扭轉角的不確定性優化了升阻比，并提升了其穩健性。白俊強等[42]使用RBF網絡替代CFD評估，使用標準遺傳算法對一個超臨界翼型進行了穩健性優化，使其氣動特性得到明顯提高。Haryanto等[73]同樣利用MLP模型結合遺傳算法，對翼型升阻比進行了優化。周晨等[74]使用RBF網絡結合多島遺傳算法進行翼型優化，顯著提高了優化效率。王宏亮和席光[75]使用反向傳播(BP)神經網絡分別結合多目標遺傳算法和粒子群算法對一個翼型進行優化，并采用多屬性決策方法對最優解進行挑選。Zhang等[76]使用結合分層公平競爭和動態小生境技術的遺傳算法(GA-HFCDN)優化了一個平面葉柵，提高了約8%的升阻比，目標評估采用基于CFD結果構建的MLP。黃江濤等[77]使用MLP和粒子群算法針對翼梢小翼后掠角和傾斜角的不確定性對其升阻比進行了魯棒性優化，使最終升阻比提高了2%，飛行器整體阻力減少5 counts(count為阻力單位，無量綱量，1 count=0.000 1)。張彬乾等[78]利用RBF神經網絡代替復雜目標函數的評估，結合松散式代理模型管理框架和遺傳算法實現了對翼型的氣動/隱身綜合優化。Ju等[81]對比了MLP、RBF網絡和SVM模型的擬合精度(皆使用遺傳算法優化參數)，認定SVM的精度較高，并以此基于SVM、遺傳算法和蒙特卡羅方法針對翼型表面粗糙度的不確定性對翼型升阻系數進行了魯棒性優化。

SBO的應用雖然直觀，但存在一些不可忽視的問題，如要求大量樣本構建代理模型?？梢钥吹?，SBO優化的例子幾乎都是樣例易于獲得的二維簡單優化問題。另一個問題是，單純依賴代理模型優化會使代理模型在局部的錯誤變化規律誤導優化，以致產生錯誤的優化結果。圖3給出了一個基于代理模型的優化結果，藍色和黃色圓點為2種代理模型預測得到的Pareto前緣，三角形代表這些點經高精度CFD驗證后得到的結果，可以看到其規律和分布完全不一致。

SAO將代理模型和進化算法進行混合，以魯棒性和全局尋優能力強的進化算法作為優化主框架，使用CFD作為目標評估手段，代理模型僅歸納已計算個體，提供低精度預評估，為進化算法建議演化方向。

倪昂修等[82-83]提出了一種將NSGA-Ⅱ算法與Kriging響應面相混合的SAO算法，方曉明[84]將該算法應用于短艙的優化設計中。鄧凱文和陳海昕[85-86]提出了一種基于差分進化(DE)和RBF響應面的算法。圖4給出了將Kriging響應面和RBF響應面分別與DE算法混合得到的算法(DEKrig和DERBF)優化二維翼型時的收斂曲線對比?？梢钥吹?，相對于單純的DE算法，SAO方法可以減少30%～50%的優化耗時，并保證最后的解是物理和可信的。

基于SAO的優化方法在大型客機設計中得到了深度應用。Giannakoglou等[87]使用MLP輔助遺傳算法進行預評估，在多個翼型優化算例中證實該方法能顯著減少CFD評估次數。Praveen和Duvigneau[88]在粒子群算法中使用RBF響應面進行預評估，在機翼優化的例子中證明，可以在保證優化質量的前提下顯著降低CFD等昂貴評估工具的調用次數。Asouti等[89]提出了一種基于RBF響應面的異步SAO方法。Hacioglu[90]使用了一種組合MLP和遺傳算法的混合方法，MLP作為局部搜索工具為遺傳算法的種群填充精英個體，同時遺傳算法的優化流程也引入了“分銷策略”(Distribution Strategies, DS)，使得算法具有更好的全局尋優能力。Shahrokhi和Jahangirian[91]強調不能完全采用神經網絡的估計值而使用基于正態分布采樣的樣本點構建MLP，若待評估點設計變量多數處于正態分布均值正負標準差內時使用MLP估計目標值，否則調用精確求解器(CFD)，將以上策略結合遺傳算法優化了一個跨聲速翼型，減少了約40%的CFD調用，獲得了較好的效果。Ju和Zhang[35]使用經遺傳算法和BP訓練的MLP，結合蒙特卡羅方法和遺傳算法對風力渦輪機翼型進行了魯棒性優化，該MLP替代了蒙特卡羅采樣頻繁的CFD計算，極大地提高了優化效率。Pehlivanoglu和Yagiz[92]提出了一種多項式響應面、RBF網絡和遺傳算法結合的優化框架，使用多項式響應面構建全局代理模型，將設計變量空間網格化，將格點上的精英個體加入當代遺傳算法種群，圍繞以上個體構造局部RBF網絡，在網絡上尋優并將精英個體同樣加入遺傳算法種群，按照遺傳算法的步驟進行迭代，并使用精確CFD求解器計算目標值，該方法被應用在翼型優化問題上。Iuliano和Pérez[93]提出了一種以SVM作為代理模型，使用遺傳算法為局部優化工具的混合方法，其核心思想為通過初始樣本集構造高精度的SVM，再使用遺傳算法在SVM上尋找最優解，將尋得的最優解通過高精度模型(如CFD)進行評估，而后加入樣本庫更新SVM，循環往復以上步驟。

圖3 基于代理模型的優化示例Fig.3 Example of surrogate based optimization

圖4 代理模型輔助的優化示例Fig.4 Example of surrogate aided optimization

不同代理模型間也可以進行集成以提高精度和可用性。Rai[94]提出了一種結合MLP模型和多項式響應面模型的復合響應面的優化框架，并應用于壓氣機翼型設計，該框架根據目標對設計變量敏感度的區別將設計變量歸納為簡單和復雜2種情況，前者用多項式響應面進行擬合，后者用MLP進行集合，采用單純形方法進行搜索，使用兩步策略擬合出給定點目標值。Papila等[95]采用上述優化框架，將MLP模型替換為RBF網絡，用于壓氣機翼型設計，顯著減少了優化計算量。Su等[96]將RBF網絡進行Bagging和Boosting后形成2個新網絡，并利用以上網絡進行集成，結合網格自適應直接搜索方法進行翼型優化，結果表明，相較傳統遺傳算法，該方法可以顯著減少計算量。

2.2 設計變量和優化目標相關性分析

機器學習方法用作代理模型時主要是用于回歸預測，即關心的是模型在給定輸入時輸出的分布。有時研究者并不關心對應于某個具體輸入其輸出是多少，只想獲得這些輸入輸出變量間的影響關系和相關性，以對精簡設計變量和目標提供數據支持。以主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)和自組織映射圖(Self-Organizing Map, SOM)為代表的機器學習方法在此方面存在大量應用，可以很好地輔助設計人員確定設計變量和目標。

Chiba和Obayashi[97]使用SOM、方差分析(Analysis of Variance，ANOVA)和粗糙集理論(Rough Set Theory, RST)對進化算法優化可重用二級入軌飛行器的再入助推器機翼產生的數據庫進行數據分析，分析表明，SOM可以進行各目標間的權衡分析，也可以給出對目標影響較大的設計變量和大致的影響規律，而ANOVA和RST都不能兼顧以上功能。Guo等[98]在優化跨聲速軸流轉子葉片時使用SOM對幾個待選的優化目標進行了篩選精簡，使用基于Kriging響應面的優化方法進行優化，并用ANOVA分析了目標對各設計變量的敏感度。Jung等[99]使用自適應遺傳算法進行翼型優化，用SOM方法對設計變量進行了敏感度分析，發現翼型建模的24個PARSEC參數中起主導作用的有4個，即上表面前緣半徑、上下表面最大厚度處的曲率和后緣位置。司景喆和孫剛[100]使用SOM分析葉尖翼型的幾何特征和氣動特性，利用置信度推理方法建立起幾何參數和氣動性能的關系，給出優化方向。Kapsoulis等[101]針對氣動優化等昂貴問題可能存在的維數災難，將PCA方法整合進遺傳算法，在交叉和變異階段使用PCA對設計變量進行降維，在降低優化復雜度的同時促使新個體的變化方向沿著方差最大的方向進行，以期提高優化效率。同時，PCA方法亦可用于降低針對高維問題的代理模型構建的復雜度。Toal等[102]提出了一種利用特征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)方法降維篩選設計變量的方法，即在優秀個體幾何中將待設計的氣動外形/幾何外形數據進行降維，選取基矢量對應的系數為新的設計變量以代表幾何外形，以此為基礎進行優化。

2.3 構建降階模型

使用代理模型替代復雜的數值模擬過程的想法是比較直接的，但這種替代完全基于輸入和輸出的統計分析，而忽略了背后的流動機理。為在信息分析的層次上更進一步，另一種思路是使用機器學習方法對氣動優化背后主導的偏微分方程組(Partial Differential Equations, PDE)進行降階，以減少其復雜度，構建一個相對精簡的降階模型(Reduced Order Model, ROM)，繼而進行快速求解預測。這種處理手段在代理模型中引入了物理信息，被一些學者稱為基于物理的代理模型。機器學習方法在構建降階模型方面應用廣泛，其中最典型的手段即為PCA，或稱為POD。目前依賴降階模型進行氣動優化的文獻多結合了代理模型方法，即不對降階后的PDE進行迭代求解，而訓練一個代理模型來直接預測解，然后利用這些解重構出源方程的解(即流場)，通過積分等手段求出關心的氣動性能。

Legresley和Alonso[103]利用已有的計算結果，使用POD方法對Euler方程中各格點物理量進行了線性降階，在不改變方程和物理量數目的情況下極大地減小了計算復雜度，將Euler方程數值求解轉化為求POD各基矢量系數使得新方程組殘差最小化的過程，使用Levenberg-Marquardt方法進行快速求解并在翼型反設計的問題中進行了驗證。Park等[104]延續了文獻[103]的思路，在給定設計變量參數時，不再使用梯度算法迭代求解對應的POD基矢量的系數，而使用一個訓練好的神經網絡直接對其進行預測。Thomas等[105]將基于PCA/POD的降階模型引入了三維機翼的氣動彈性設計中，并發現在一組結構參數上構建的基矢量可以很好地應用于另一組結構參數上，并維持很高的精度。Agarwal和Biegler[106]發現使用PCA降階的模型進行優化時，若脫離原PDE直接求得相關的系數，則這些系數很可能并不滿足源方程組，導致求得的解在遠離樣本集合時可信度降低，據此提出了一種信賴域框架，用于引入以上脫離約束的考慮，限制優化過程中解的搜索空間從而使最終的優化結果更加可信且可用。Zahr和Farhat[107]應用了思路與文獻[106]類似的方法，使用信賴域方法結合POD降階模型和代理模型方法進行優化，并額外對源方程變量的導數進行降階，以更好地應用于基于梯度的方法，在亞聲速噴管外形優化中進行了應用，在保持0.1%錯誤率的同時能降低4～5倍的計算量。

PCA方法可以以很高的精度將高維流場變量降階到低維，圖5給出了將翼型上下表面壓力分布(400維)降至10維再恢復后的效果，實線為源壓力分布，圓點為恢復后的壓力分布，可以看到兩者基本是完全重合的,圖中Cp為壓力系數。

PCA方法實現簡單，效果也常常能令人滿意，但仍存在以下問題：

1) PCA是一種線性降維方法，雖然可以使用核函數轉變為非線性，但由于可選用的核函數有限，因此PCA對非線性強變量多的PDE的降階能力不強。

2) PCA在降維時將輸入數據展成一維矢量，因此作為輸入的流場，各格點物理量的空間聯系和物理量間的聯系都被抹去了。

3) PCA在降維過程中對各格點的物理量是單獨處理的，不存在不變性，如平移不變性和縮放不變性等。

因此，使用PCA來模擬專家對流動的理解目前來看效果是難以滿意的。更重要的是，專家具有從不同優化問題中提煉歸納共同點的能力，而PCA是問題相關的。

圖5 PCA降維能力驗證Fig.5 Validation of PCA based dimension reduction

3 深度學習與氣動優化

近10年來，以深度學習為代表的人工智能/機器學習技術取得了令人矚目的發展和成就，在圖像分類領域，ImageNet 1000類圖像分類挑戰賽中的頂尖模型可達到約98%的準確率，超過人類平均水平的95%。在游戲博弈方面，AlphaGo及后繼的AlphaGo Zero已經能輕松擊敗人類圍棋冠軍，棋力遠超頂尖棋手。深度學習技術利用海量訓練數據，展現出了極為強大的歸納學習能力。

深度學習相對于傳統機器學習利用了更加復雜和深層次的模型結構，并在訓練過程上進行了針對性的改進，使其歸納能力得到了極大的提升，應用范圍也更加廣闊。傳統機器學習方法由于分析歸納能力有限，依賴使用者對特征進行精選以縮減問題規模，因此需要大量與問題相關先驗的知識積淀，這樣會帶來優化設計的諸多困難。相反地，深度學習方法擁有強大的歸納學習能力，能夠自主進行特征選擇，可以從大量的候選特征中剔除無用特征，再進行回歸和分類。

3.1 深度代理模型

深度學習較傳統機器學習擁有更為強大的歸納能力，因此之前傳統機器學習在氣動優化中扮演的角色可以替換為深度學習來進行進一步的增強。

最直觀的例子是可以利用深度神經網絡構建深度的代理模型形成SBO或SAO。使用深度學習作為代理模型可以有以下好處：

1) 不需要對輸入特征進行人工篩選和精簡，可極大地減少對設計變量數目的限制，使得設計者能對幾何外形的坐標點進行直接設計或使用更多的幾何控制點。利用深度學習技術，設計變量可以細化為幾何外形所有離散點的空間坐標，實現精細的外形優化。

2) 深度學習可以得到更加符合物理直覺的模型。如使用卷積神經網絡對幾何外形坐標點和氣動性能的關系進行建模。輸入數據是一個二階或三階張量，可以很好地保留坐標點間的空間相鄰關系。同時，其特征提取過程具有空間上的平移不變性和縮放不變性。

3) 由于能夠提取更深層次的特征，因而擁有更強大的歸納能力。使用深度代理模型不僅可以令關心的氣動性能，還可以令一些流場特征作為代理模型的輸出，如壓力分布等。

3.2 深度降階模型

可以利用深度神經網絡構建更為復雜和精準的降階模型。常用的基于PCA的降階方法存在諸多問題：核函數單一，用于降階的特征內部關聯(空間關聯、跨物理量關聯)無法體現，最重要的是此類方法無法自定義降階后的低維特征，因此喪失了可解釋性。

而使用以卷積自動編碼機(Convolutional AutoEncoder, CAE)為代表的深度學習模型可以實現質量更高的模型降階和流場特征提取，此類方法有以下優點：

1) 輸入輸出的數據形式和流場數據格式一致，包含結構化的空間信息。輸入輸出張量的寬和高可以類比結構化網格流場數據的i方向和j方向網格數，通道數可類比各物理量分量。

2) 計算效率高，深度神經網絡在使用GPU進行運算時計算效率非常高，比基于CPU運算的PCA降維要快。

3) 符合物理直覺，即特征提取過程具有空間上的平移和旋轉不變性。

PCA方法可用的核函數有限，且只經過一次非線性變換，表達能力一般。而深度神經網絡由于含有很深的層次結構，即使激活函數單一，在經過多個層次的非線性映射后理論上可以逼近任何未知映射。

圖6展示了使用CAE對x軸方向無量綱速度u的速度場進行降維并利用反向變換進行重建的效果，并和PCA方法進行了對比。訓練樣本為12 000個二維翼型流場，包含6個通道的數據(x,y,u,v,p,T)，u和v分別為x、y方向歸一化速度，p和T分別為歸一化壓強和溫度，網格大小為256×96，降至維度為40維，信息壓縮比率約為0.027%。CAE的編碼器和解碼器采用殘差網絡Resnet結構，總的網絡參數量約為600萬，網絡約有近100層。

可以看出，經CAE提取的流場特征相對于PCA能夠更好地保留信息和恢復流場。Wang等[108]應用長短期記憶循環(Long-Short Term Memory, LSTM)神經網絡結合PCA對非定常流動控制方程進行降階，具體處理手段為：對于0～Nt個時刻的流場精確解，使用PCA對其進行降維，得到基系數，以這些系數為LSTM輸入，以下一時刻Nt+Δt的基系數作為輸出進行建模。在使用該模型時，若已獲得前0～Nt時刻的流場，即可對下一時刻的流場進行預測。Kani和Elsheikh[109]使用了與文獻[108]一樣的策略構建降階模型，其循環神經網絡使用了殘差神經網絡。不過以上研究仍使用的是傳統PCA方法對流場進行降階，使用到的深層循環神經網絡僅是用于對時間序列間的關系進行建模。以上這些方法沒有被應用在優化中，因此沒有形成給優化算法提供更深層次信息的策略，仍被歸類為對表層信息的挖掘和利用。

圖6 PCA和CAE降維效果對比Fig.6 Comparison of dimension reduction performance between PCA and CAE

3.3 優化中對深層信息的利用

在氣動優化中，所針對的問題處于流場被Navier-Stokes方程主控的物理背景中。傳統機器學習和深度學習在優化中的行為主要是基于樣本對空間流場數據進行了降維。更進一步，Farimani等[110]使用生成對抗網絡(Generative Adversarial Network, GAN)構建了一個能按照任意邊界條件生成滿足控制方程的二維不可壓方腔定常流動流場的模型，從而實現了對流場控制方程的降維。利用變分自動編碼器，生成如對抗網絡等的深度學習生成式模型，實現由流場數據對未知的控制方程進行建模，并根據輸入條件(邊界條件、幾何外形等)生成滿足控制方程流場。

綜上所述，傳統機器學習方法受限于信息處理能力，難以對優化中的高層次信息進行分析和歸納，并用于優化。而即便是深度學習發展的今天，尚沒有一種行之有效的手段使其能“深度地”用于優化中,原因在于現有優化框架往往是基于設計變量和優化目標的。

本文認為專家在設計中對物理信息的利用方式并不全部來自對Navier-Stokes方程的求解，更不是只著眼于氣動性能參數，更為直接的是針對流場結構(如旋渦、附面層、尾跡、激波等)進行觀察分析，并通過修型實現對這些結構的調控，獲得更全面均衡的性能。因此不妨徹底改變現有以性能指標為目標的優化框架，而增加流場結構為優化對象。

模仿氣動專家進行優化時的行為和思路，可分為如下步驟：① 判斷流場中存在哪些關鍵流動結構；② 分析這些結構如何影響所關心的性能；③ 分析幾何外形如何影響這些流動結構；④ 如何合理地通過修改外形獲得所關心的性能。

以上步驟可以使用機器學習或深度學習模型進行替代。文獻[111]應用CAE(一種深度神經網絡)提取流場的結構特征，利用MLP神經網絡對流場結構特征、設計變量、優化目標的關聯進行建模。利用MLP模型，可以求得目標函數對流場結構特征及流場結構特征對設計變量的梯度信息。依據這些梯度信息可對氣動外形設計變量進行改進。根據上述模擬專家對流動結構進行分析利用的過程，在DE算法中，對個體進行改進，并引入種群實施種群引導，形成了一種改進混合優化算法。圖7和圖8對改進算法與傳統DE算法進行了對比。展示的優化問題是二維翼型減阻，圖7給出了優化目標為馬赫數Ma=0.72下總阻力的單目標優化解的流場和壓力分布對比，圖8給出了優化目標為Ma=0.72和Ma=0.75下總阻力的雙目標優化得到的Pareto前緣對比。

在圖7表征的單目標優化流程中，改進混合算法得到的最優解相比于傳統DE算法可進一步減阻0.7 counts，可以看出，引入模仿專家的個體改進方法的混合算法得到了典型的無激波、壓力分布光滑且阻力更小的翼型，而傳統DE算法得到的翼型表面存在輕微的曲率不連續，導致上翼面壓力分布出現振蕩，有二次加速和雙激波。這可能是由于混合算法對大量流場特征與氣動性能的關系進行了歸納，因而得出了抑制激波與光順表面壓力分布可以降低阻力的結論，因此可以在傳統DE算法解的基礎上進一步降低阻力并避免這種不合理的壓力分布形態。而傳統DE算法在搜索過程中陷入了局部最優，受限于尋優能力難以對已得到的性能較好但流動結構欠佳的解進行進一步的改進。

從圖8同樣可以看出，引入了流動特征分析的混合算法得到的Pareto前緣明顯領先于傳統DE算法。從以上結果可以基本看出，對深層流動相關信息的利用可以加快優化速度，并提高最終解的質量。

圖7 單目標氣動優化性能對比Fig.7 Comparison of performance in single objective aerodynamic optimization

圖8 雙目標氣動優化Pareto前緣對比Fig.8 Comparison of Pareto front in double objective aerodynamic optimization

4 結 論

本文總結了機器學習在氣動優化中應用的歷史和現狀。有效地給優化算法更多的信息用于決策是提高效率、改善效果的有效途徑。機器學習技術，尤其是其中的深度學習技術非常適合對氣動優化中的數據，尤其是缺乏關注的流場數據進行歸納和分析，從而對優化起到非常好的支持作用。本文也對深度學習在氣動優化中可能的應用形式進行了探討并進行了部分驗證。

深度學習技術在氣動優化中的應用尚處于起步階段。由于深度學習訓練依賴大量樣本，因此存在所謂的"冷啟動"(即在優化初期由于樣本稀缺導致模型訓練效果不佳，給順利發展到樣本充足階段帶來困難)的問題。如果沒有在優化前積累一定數量的樣本，對于從零開始且樣本產生較為困難的優化過程，深度學習是不便于應用的，這也是其在氣動優化中應用的最大困難。

已有的深度學習在空氣動力學中的應用多是參考其在計算機視覺領域的成果,如陳海等[112]使用卷積神經網絡根據翼型圖像對其氣動力系數進行了建模，顯示獲得了較高的精度。在優化方面,也可利用這一方法，利用流場后處理圖像,使用基于深度學習的物體檢測算法(檢測出圖像中給定類別的物體,進行標記和分類)對流場或流場圖像中的流動結構(如激波、旋渦和分離區等)進行檢測識別，進而重建流場,分析其與幾何/性能間的關聯，從而更好地支持優化設計。