具有通過流動的傾斜腔體的對流特性

劉 爽， 寧利中， 寧碧波， 田偉利， 渠亞偉

(1.西安理工大學 省部共建西北旱區生態水利國家重點實驗室， 陜西 西安 710048；2.嘉興學院 建筑工程學院， 浙江 嘉興 314001； 3.上海大學 建筑系， 上海 200444)

1 研究背景

現實生活中的對流實例普遍存在，小到刮風，大到熱作用下大氣對流導致的突發性降雨、軟層流在地殼中的運動等。1900年Bénard在盛有薄流體層的水平金屬板底部加熱實驗中首次發現了熱對流運動現象。1916年英國科學家Rayleigh等引進小擾動理論思想，對這類底部加熱的流體展開了深入研究[1]，發現瑞利數Ra是控制流體穩定性的主要因素，這一發現為以后熱對流的理論研究奠定了基礎，并由此命名為Rayleigh-Benard(簡稱“RB對流”)。

就二維平面來說，RB對流系統就是在一個完整密閉的矩形腔體內，當上壁面處于恒溫狀態，給下壁面進行加熱，底部流體則會因加熱膨脹、密度減小而上升，接觸到其他流體時溫度降低而密度增大。當底部流體溫度到達一定值而密度足夠小時，則產生冷熱流體互相交換的規則的滾動斑圖現象[2]。RB對流具有理論和實際意義[3-7]，因其簡單且易控制等特性為流體力學及其他相近學科的研究奠定了基礎；并可利用Fluent軟件對其進行二維或三維數值模擬[8-15]，這也為其他非線性問題指明了一個可行性的研究方向；更為重要的是RB對流應用廣泛涉及眾多領域，例如，太陽輻射使地表升溫通過對流將熱量傳遞給空氣；海洋受到溫度和鹽度雙重影響而形成熱鹽對流；水庫、海洋、湖泊中的熱對流；不同類異型強化換熱管的應用[16-17]；地幔中以自放射性元素衰敗為加熱體并以地球板塊為模型形成對流[18]，使得地殼運動，從而產生一系列地形結構的變化；還可以幫助人們解決金屬固化、污染物擴散、核反應堆冷卻、化學氣體的沉淀與干燥、太陽能利用等一些實際應用的問題等等。

基于水平來流對混合流體時空特性的影響、不同水平來流強度導致時間依賴的動力學行為以及傾斜腔體均熱條件下的對流特性等諸多研究[19-20]，本文主要研究的是在矩形腔體中，傾斜角度一定且均勻加熱的條件下，通過改變通過流動強度和相對瑞利數r進行二維數值模擬，以獲取腔體內對流結構及其相關特性的變化規律。

2 數學模型

2.1 模型的建立

本文建立的模型是傾斜角為10°時的矩形腔體(如圖1所示，半圓中的箭頭表示從左側進口進入的通過流動；矩形中的圓圈表示溫差引起的對流圈)，在長高比Γ=20的窄長腔體中充滿普朗特數Pr=6.99的水。在左側面有通過流動，下壁面加熱的條件下，由于通過流動強度與溫差的共同作用，使得腔體內流體產生豐富的對流斑圖。

圖1 對流模型

2.2 基本方程

就封閉腔內而言，為方便處理受溫差影響的浮力項，在對其進行自然對流傳熱數值計算時，通常采用Boussinesq假設[21]，即只考慮浮力項中溫度足夠小時，引起的密度變化。描述該問題的方程組[22]可表示為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：peff=p+ρ0gycosθ-ρ0gxsinθ;u,w分別為平行和垂直于腔體長度方向的速度,m/s；T為溫度場,K；ρ為密度,kg/m3；p為壓強,Pa；g為重力加速度,m/s2；ν為運動黏性系數，m2/s；α為體積膨脹系數,K-1；κ為熱擴散系數,m2/s；t為時間,s；θ為傾斜角度,(°)；下標0表示傳導狀態下的各物理量初始值。

2.3 邊界和初始條件

在均勻加熱的條件下，為方便求解方程組,需給出合理的速度場、溫度場的邊界及初始條件。

當x=0時，有通過流動的左側入口邊界條件為:

(5)

w=0

(6)

(7)

當x=Γ時，右側出口邊界條件為自由出流。

當y=0時:

u=w=0

(8)

(9)

當y=d時:

u=w=0

(10)

(11)

式中：ΔT為腔體上、下面溫差；d為腔體高度；Γ為腔體長高比；umax為通過流動的流速最大值；T0為平均溫度，取其平均值為293.15K，初始速度為u=w=0。

2.4 數值計算

基于文獻[23]對網格劃分的誤差分析，本文采用Gambit對Γ=20的矩形腔體進行20×400的均勻交叉網格劃分，對非定場流采用一階隱式，速度均用絕對速度，用有限容積法對流體力學方程組進行離散，對速度-壓力耦合方程用Simple算法求解。

本文主要通過改變流動強度和相對瑞利數來分析其對腔體內的對流斑圖結構及相關物理量的影響。

3 具有通過流動的傾斜腔體的對流特性

3.1 對流斑圖的演化特性

3.1.1 對流斑圖隨相對瑞利數的變化 在Γ=20的矩形腔體中，選用Pr=6.99的流體，傾斜角度為10°，在左側入口有通過流動時，給下壁面加熱，當雷諾數Re=0.5，相對瑞利數分別為r=2、3、6、9時，得到不同結構的對流斑圖，如圖2所示，圖中橫坐標表示腔體長度，縱坐標為腔體高度。由圖2可知，當相對瑞利數r=2、3時，該流體只存在單個對流圈與通過流動的混合；但隨著相對瑞利數r的增大，腔體內出現對多個對流圈與通過流動混合現象，對流強度也隨之明顯變大；這是由于溫差逐漸加大，使得熱作用逐漸增強而產生的。

3.1.2 對流斑圖隨雷諾數的變化 相對瑞利數一定時，分析不同雷諾數下的對流結構變化，如圖3所示，即在r=9，雷諾數分別為Re=0.5、2.5、5、7.5時的對流斑圖。由圖3可知當雷諾數較小(即Re=0.5)時，腔體內混有多個對流圈與通過流動，且熱作用占據主導地位，通過流動強度較弱；隨著雷諾數的增大，當其達到一定值(Re=2.5)后，腔體內出現明顯的分區現象，靠近上下壁面的區域為對流區，中間為通過流動區域，此時通過流動與熱作用共同作用且均得到了充分發展而達到平衡；雷諾數逐漸增大，滾動圈隨之逐漸減小，與之相反，通過流動強度則不斷增大直至完全穩定狀態。當雷諾數繼續增大至Re=7.5時，流體中出現局部行波的現象，上游區域為通過流動，下游區域為通過流動與熱作用的耦合。

圖2Re=0.5時對流斑圖隨不同相對瑞利數r的變化圖3r=9時對流斑圖隨不同雷諾數Re的變化

3.2 最大垂直流速特性

3.2.1 雷諾數對最大垂直流速的影響 圖4所示為r=6、雷諾數分別為Re=0.5、3、5時，最大垂直流速wmax隨時間的分布規律。由圖4可知，隨著時間的推移，最大垂直流速wmax的變化規律可分為3個階段，即發展階段、過渡調整階段和穩定階段(穩定周期階段)。當雷諾數較小時，由發展階段向過渡調整階段變化時，wmax隨時間的成長速率較小，過渡調整階段至穩定階段耗時較長，且呈不規則震蕩變化，wmax穩定值也較小。隨著雷諾數的不斷增大，wmax隨時間的成長速率逐漸變大，過渡調整階段至穩定階段所需時間相應減少，震蕩趨于規律化，最大垂直流速wmax均一次性下降到穩定值，且wmax穩定值也隨之增加。

3.2.2 相對瑞利數對最大垂直流速的影響 圖5為Re=4、相對瑞利數分別為r=3、6、9時，最大垂直流速wmax隨時間的變化規律。由圖5可知，當雷諾數一定而相對瑞利數較小時，其最大垂直流速wmax直接由發展階段向穩定階段轉變，快速達到穩定狀態，且wmax穩定值也較??；這是由于溫差較小時，通過流動強度抑制了熱作用而占據主導地位。隨著相對瑞利數的增大，wmax隨時間的變化階段完整化，當相對瑞利數較大時，其對流速的影響與雷諾數對流速影響規律幾乎一致；不同的是當相對瑞利數達到一定值后，其向過渡調整階段轉變時成長速率較大，在該階段其最大垂直流速wmax變化幅度顯著，歷時較短；隨后向穩定周期變化階段過渡時，最大垂直流速wmax分兩層次下降，最后呈現為周期變化。

3.3 下壁面努塞爾數變化規律

3.3.1 雷諾數對努塞爾數的影響 圖6所示為r=6時、雷諾數分別為Re=0.5、3、5條件下努塞爾數Nu隨時間的變化規律。由圖6可知，當相對瑞利數一定時，下壁面努塞爾數Nu均是由最大初始值開始呈對數下降到一定值，然后再緩慢減小至穩定值后幾乎趨于一條直線。圖7所示為r=3、Re=4時，Nu與時間的擬合關系圖，呈對數式關系：Nu=-18lnt+66.706。隨著雷諾數的逐漸增大，最大初始值沒有變化，努塞爾數Nu的下降速率逐漸變大，達到穩定狀態所需的時間先增大后減小(詳見表1)，其穩定值相應增加，但其增加的數值相差不大，最大不超過3.8%(如表1所示)。由此可以得出：當通過流動強度與熱作用相互作用，相對瑞利數一定，雷諾數Re雖然對努塞爾數Nu有一定影響，但其影響能力有限。

圖4r=6時不同雷諾數下最大垂直流速wmax隨時間的變化圖5Re=4時不同相對瑞利數下最大垂直流速wmax隨時間的變化

圖6r=6時不同雷諾數下努塞爾數Nu隨時間的變化圖7r=3、Re=4時努塞爾數Nu隨時間的變化

表1 Nu的相關參數隨Re的變化

3.3.2 相對瑞利數對努塞爾數的影響 圖8所示為Re=4時、相對瑞利數下分別為r=3、6、9條件下努塞爾數Nu隨時間的變化規律。由圖8可知，當雷諾數一定時，不同相對瑞利數下努塞爾數Nu隨時間的變化規律基本相同。但隨著相對瑞利數的不斷增大，由最大初始值減小至穩定值的時間反而增加，其相應增加的穩定值相差很大，甚至成倍數增大，詳見表2。這充分說明了當通過流動強度與熱作用共同作用時，雷諾數一定，相對瑞利數r對努塞爾數Nu影響顯著。

圖8 Re=4時不同相對瑞利數下努塞爾數Nu隨時間的變化

rReNu最大初始值穩定狀態所需時間t/sNu穩定值3694137.7014266.1585386.210012.4113.3489.0041.249079.2885113.8807

4 結 論

本文在傾斜角度為10°且Γ=20的矩形腔體中，選用Pr=6.99的流體，通過改變流動強度和相對瑞利數來分析其對腔體內的對流斑圖結構及其相關特征物理量的影響。得到的結論如下：

(1)相對瑞利數一定，隨著雷諾數的不斷增大，對流斑圖變化明顯，由通過流動與單個對流圈的混合演變成多個對流圈與之混合；最大垂直流速wmax均歷經發展、過渡調整和穩定3個階段，其穩定值相應增加，但其增量較??；努塞爾數Nu變化規律相同，均由最大初始值呈對數下降，而后達到穩定，其穩定值也相應增加，但增加值也不大。由此可知，當通過流動與熱作用共同作用時，雷諾數Re對對流斑圖影響較大，但對最大垂直流速wmax及努塞爾數Nu影響能力有限。

(2)雷諾數一定，隨著相對瑞利數r的增加，對流斑圖呈現多種變化形態，由最初的通過流動與多個対流圈的混合逐漸達到充分發展的平衡狀態，而后出現局部行波；最大垂直流速wmax的變化趨勢及歷經階段也各不相同，其穩定值增加幅度較大；努塞爾數Nu變化規律不變，但其最大初始值與穩定值幾乎成倍增加。所以，當通過流動強度與熱作用共同作用時，相對瑞利數r對對流斑圖、最大垂直流速wmax及努塞爾數Nu影響顯著。