考慮土體非線性時大直徑端承樁豎向振動研究

阮 瑀， 任 青， 喻孟初

(1.上海理工大學 土木工程系， 上海 200093; 2.永州市藍山縣交通運輸局， 湖南 永州 425800)

1 研究背景

隨著海洋資源的開發和利用，大直徑樁因其承載力大、沉降量小等特點，在海洋工程中得到了廣泛的應用。

目前，針對大直徑樁的承載特性、沉降特性及荷載傳遞機理，學者們已做了大量的研究[1]。高廣運等[2]利用有限差分法建立模型，研究了擴底大直徑樁承載力的影響因素，結果顯示持力層厚度增大能夠提高樁基承載力；張開普[3]通過現場試驗發現后注漿工藝能夠明顯提高大直徑單樁極限承載力；李玲玲等[4]基于原位試驗探討了大直徑鉆孔灌注樁的沉降特性；高盟等[5]運用Mindlin 基本解推導出了一種大直徑擴底樁沉降量的計算公式，為實際工程提供了可靠的計算方法；之后不少學者利用現場試驗研究了大直徑樁荷載傳遞規律及承載特性[6-7]。

關于大直徑樁的靜力研究是其在工程中得到廣泛應用的基礎，而在復雜的海洋環境下，樁基會遭受例如風浪、機械動力、地震等動力荷載，因此對大直徑樁的動力特性的研究顯得尤為重要。Mylonakis[8]基于Novak的平面模型開創性地提出了動力研究模型，但是該方法并未考慮樁周土體的非線性，不能分析樁周土體的弱化影響，與實際工程有很大差別。此后，國內學者尚守平等[9]和鐘銳等[10]分析了考慮非線性時單樁及群樁的動力特性，但不能直接應用于大直徑樁；任青等[11]通過對經典土體振動模型的改進，提出了一種比較符合實際工程的樁-土振動模型，同樣未考慮土體的非線性；隨后范仙明等[12]、顏超等[13]、劉陽等[14]、程鎮等[15]諸多學者對樁基豎向和水平振動特性做了大量研究，周紅杰等[16]、余萬等[17]重點研究了海上單樁風力機的動力響應，但主要針對的是單樁基礎的上部結構，大直徑樁基本身的動力性能還有待進一步研究。因此，本文在考慮樁周土體非線性的情況下，對經典動力分析模型進行修正，系統研究了土體的動剪切應力、動剪切模量和滯回阻尼比的影響因素，求解土體動阻抗，最后給出了樁底動阻抗的影響因素和變化規律，以期為工程實際提供可靠的理論依據。

2 均質土體中動剪切應力

2.1 土體振動分析

在簡諧荷載作用下Michaelides等[18]指出樁周土體豎向振動平衡方程式如下所示：

(1)

式中：G(r)為土體剪切模量，MPa；ρs為土體密度，kg/m3；w為土體的豎向位移，m；r為土體距離樁軸線的徑向距離，m。在均質土體中G(r)以及滯回阻尼比ξ均為常數，因此可對上式進行簡化計算。但是在均質土體中利用上式求解土體豎向位移和樁周土體動剪切應力的過程中存在以下不足：

(1)忽略了土體橫向位移的影響，不能考慮土體橫向和豎向位移耦合時樁周土體的動剪切應力；

(2)不能考慮應力(如?τ/?z,?σ/?z)隨土體深度的變化；

(3)求得的土體豎向位移和動剪切應力忽略了長細比(L/d)的影響，與工程實際情況不相符合。因此，引入下式對上式進行修正:

(2)

(3)

式中：λ、μ為拉梅常數；λ′、μ′為相關黏性系數；u(r,z,t)為土層水平位移，m；w(r,z,t)為土層豎向位移,m。

利用勢函數對u(r,z,t)和w(r,z,t)解耦，然后結合土體的邊界條件，可得土體的豎向位移表達式如公式(4)～(6)：

(4)

其中：

(5)

(6)

式中：d、R和L分別為樁的直徑、半徑和樁長，m；z為樁身距樁底的距離，m；bn為由邊界條件確定的參數；a0為線彈性情況下(自由場內)土體無量綱頻率；vs和ξ分別為線彈性情況下(自由場內)土體的剪切波速(m/s)和滯回阻尼比，K0( )和K1( )為第二類零階和一階修正Bessel函數。Mylonakis[8]指出對于發生豎向振動的大直徑樁，η?。?/p>

(7)

式中：ν為泊松比。

2.2 動剪切應力的徑向變化

當土體發生振動時，土體動剪切應力為τ=G·(?w/?r)，因此可得一階模態下樁周土體(r=R)的動剪切應力為：

(8)

(9)

式中:G(R)為樁周土體的剪切模量,MPa。

圖1給出了不同無量綱頻率下樁周土體應力隨深度的變化曲線。由于大直徑端承樁樁底處土體擾動較小，使樁底處土體應力為0，另外當外界激振頻率較小時，樁身應力隨樁身深度的變化較小，當外界激振頻率較大時，土體應力顯著增強。

圖2給出了不同無量綱頻率下樁直徑對樁周土體應力的影響。樁基直徑越大樁頂土體應力越小，當激振頻率較小時樁頂土體應力受樁基直徑的影響較弱，由于樁基尺寸效應樁基長細比對樁周土體應力有顯著影響。

當土體發生豎向振動時，樁頂距離樁中心r遠處土體的動剪切應力為τr(Pa)，其表達式如公式(10)～(13)所示：

(10)

其中:

(11)

(12)

(13)

圖3給出了不同無量綱頻率下土體應力比值隨徑向的變化曲線。圖3表明本文解與Michaelides[18]解在土體應力比值上存在一定差異，是由于Michaelides解忽略了土體的水平振動，過高地估計了徑向遠處土體動應力值；另外圖3說明無量綱頻率對土體應力比值影響較小，但圖1表明無量綱頻率越大則樁周土體應力越大，那么距樁r遠處的土體應力實際上仍受無量綱頻率的影響較大。

圖4給出了不同長細比和土體泊松比下土體應力比值的徑向變化曲線，圖4雖表明長細比對土體應力比值無影響，但圖2表明不同長細比對樁周土體應力影響較大，那么距r遠處的土體動應力實際上仍受長細比影響較大，但是Michaelides解由于忽略了土體水平振動對豎向振動的影響而不能引入長細比和泊松比等參數，不能全面地反映樁尺寸對土體振動特性的影響；同時圖4表明距樁越遠則土體應力越小。

(L=20 m, d=2 m, ξ=0.05)

(L=20 m, z=20 m, ξ=0.05)

(L/d=10, ξ=0.05, ν=0.3)

(a0=1, ξ=0.05)

3 剪切模量和滯回阻尼比徑向變化

3.1 剪切模量的徑向變化

Okur[19]明確指出土體剪切模量和土體應變緊密相關，其表達式如公式(14)所示：

(14)

式中：G(γ)為土體動應變γr對應的剪切模量，MPa；Gmax為應變較小(γr≤5×10-4%)時線性情況下土體對應的剪切模量，MPa，可由平均有效圍壓和固結比確定(Subramaniam等[20])； γa為與塑性指數相關的應變函數，其表達式如公式(15)所示：

(15)

式中：Ip為土體的塑性指數(本文中塑性指數以百分數的形式出現)。

圖5給出了試驗數據與公式(14)的對比結果，兩者有著較高的吻合度。將土體剪切應力代入到公式(14)可得土體剪切模量的徑向變化如公式(16)～(21)所示：

(16)

其中：

ff(Ip)=1-e(-106Ip-1.585)

(17)

δ=Λ·mm(r)

(18)

mm(r)=

(19)

(20)

(21)

將公式(16)～(21)相結合可將Λ用下式表示：

(22)

式中：γR為樁周土體的應變幅值； abs( )為對括號內復數取模；Λ可定義為外界作用力對土體的作用強度，它是樁周土體應變幅值和r的函數。

圖5 不同塑性指數下剪應變幅值對動剪切模量的影響

圖6給出了不同樁周土體應變下作用強度隨距樁距離的變化曲線，圖6表明樁周土體應變越大作用強度的值越大，而應變一定時，距樁越遠土體的作用強度越小，這是因為距樁越遠土體受擾動的程度越小。

圖7給出了不同塑性指數下土體徑向剪切模量比值隨距樁距離的變化曲線，圖7表明塑性指數越小，則土體剪切模量弱化越快，塑性指數越大，則土體非線性程度越弱，這是因為塑性指數越大土體顆粒愈細、比表面積越大，在相同的作用條件下土體承受的擾動能力越大，剪切模量弱化的程度越小。當土體距樁較遠時，土體的剪切模量弱化程度較小，這是因為距樁越遠，則土體擾動越小、應變越小，而小應變情況下土體可視作線性材料。

圖8給出了不同樁周土體應變下土體徑向剪切模量比值隨距樁距離的變化曲線，圖8表明樁周土體應變越大，則土體動剪切模量的弱化程度越強，當土體為小應變時土體表現出線性特征，這是因為樁周土體應變越小，土體顆粒的擾動程度越弱。

圖9給出了不同作用強度下樁周土體剪切模量比值隨塑性指數的變化曲線，圖9表明作用強度越大，則土體動剪切模量的弱化程度越強，當作用強度為0時，土體表現出線性特征，這是因為樁周土體作用強度代表的是土體應變的大小。

(L/d=10, ξ=0.05, ν=0.3, a0=1, Ip=0)

(L/d=10, γR=0.001, a0=1, ξ=0.05, ν=0.3)

(L/d=10, Ip=50, a0=1, ξ=0.05, ν=0.3)

圖9 不同作用強度下剪切模量比值隨塑性指數的變化曲線

3.2 滯回阻尼比的徑向變化

較多學者通過研究表明土體滯回阻尼比與土體塑性指數以及土體動剪切模量的變化有較大關系， Ishibashi等[21]指出土體滯回阻尼比可用公式(23)表達：

公式(23)能夠準確地描述塑性指數和剪切模量的變化對滯回阻尼比的影響，因此將公式(16)～(22)與公式(23)相結合，可得塑性指數及作用強度與土體滯回阻尼比的關系如圖10～12所示。

圖10給出了不同塑性指數下滯回阻尼比隨距樁距離的變化曲線，圖10表明塑性指數越小土體滯回阻尼比越大，距樁越遠土體的滯回阻尼比越小，這是由于樁體在受到外界激振的過程中能量逐漸被樁周土體消耗，距樁越遠耗散的能量越少，滯回阻尼比的值越小。

圖11給出了不同樁周土體應變下滯回阻尼比隨距樁距離的變化曲線，圖11表明樁周土體應變越大土體滯回阻尼比越大，距樁越遠土體的滯回阻尼比越小，這是因為土體應變幅值越大土體在振動的過程中耗散的能量越多，而此部分能量主要由滯回阻尼消耗從而對應的滯回阻尼比越大。

圖12給出了不同作用強度下樁周土體滯回阻尼比隨塑性指數的變化曲線，圖12表明當土體塑性指數超過一定值時樁周土體滯回阻尼比不再隨作用強度變化，這是由于塑性指數超過一定值時，土體可視作彈性材料。

(L/d=10, γR=0.001, a0=1, ξ=0.05, ν=0.3)

(L/d=10, Ip=50, a0=1, ξ=0.05, ν=0.3)

圖12 不同作用強度下滯回阻尼比隨塑性指數的變化曲線

4 非線性情況下土體的動阻抗

在簡諧荷載作用下樁周土體發生振動，其豎向振動平衡方程式如下：

(24)

式(24)將土體視作非均質土體，利用該偏微分方程在求解土體豎向位移和阻抗時并得不到精確解。通過對G(r)/Gmax的圖分析，將樁周土體分成4個區域(如圖13所示)，每個區域邊界距離樁軸線的距離為rj(j=0,1,2,3)，rj是與樁的長細比、土體泊松比、塑性指數、無量綱頻率和作用強度相關的函數，通過擬合圖形可將4個邊界區域作如下近似劃分：r0=R,r1=5R,r2=15R,r3=30R。

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：G0為樁周土體剪切模量，MPa，(可由公式(21)得到)，其中w(r,t)=w(r)eiωt對式(24)進行轉化可得：

(31)

(32)

式中：vs(rj)為邊界區域處土體的剪切波速，m/s。

求解上式并結合邊界條件(r→∞,w(r)→0)可得：

(33)

其中i2=-1，樁周土體的阻抗為：

(34)

(35)

式中：G(R)/Gmax可由公式(21)得到；a0為線彈性情況下(自由場內)土體無量綱頻率；ξ0為樁周土體滯回阻尼比，可由公式(23)得到。

圖13 土體區域劃分

5 層狀地基中的樁-土振動模型

圖14為分層土中單樁分析模型。圖14中將樁側土體分層，每層土體視為單個的彈簧和阻尼器。樁頂受豎向簡諧荷載pzeiωt(N)，彈簧系數k，阻尼系數c。樁參數如下：樁長L(m)，密度ρ(kg/m3)，橫截面積Ap(m2)，彈性模量Ep(MPa)。Hi為第i層土的厚度。

圖14 分層土中大直徑單樁簡化模型

5.1 大直徑端承樁豎向振動分析模型

按對應的土層對單樁進行劃分，用wi(z,t)表示每個單元的位移(m)，根據平衡條件，單元的豎向振動微分方程為：

(36)

式中：Izi為第i層土體的阻抗，對于穩態振動有wi(z,t)=wi(z)eiωt，得公式(36)的通解為：

wi(z)=AieΓiz+Bie-Γiz

(37)

(38)

式中：積分常數Ai和Bi由其他條件確定。

樁單元所受的軸向力Ni(N)：

(39)

對于第i段樁單元，頂部的位移和軸力為：

w(Hi)=AieΓiHi+Bie-ΓiHi

(40)

N(Hi)=ΓiEpAp(AieΓiHi-Bie-ΓiHi)

(41)

頂部的位移和軸力為：

w(0)=Ai+Bi

(42)

N(0)=ΓiEpAp(Ai-Bi)

(43)

則兩端的位移和軸力的關系式為：

(44)

其中：

(45)

由矩陣傳遞法，得：

(46)

其中：[Tw]=[tw]1[tw]2……[tw]m

(47)

N(0)=-kbw(0)

(48)

式中：kb為樁底的土體阻抗。

則由公式(46)～(48)可得：

w(L)=T11w(0)-kbT12w(0)

(49)

N(L)=T21w(0)-kbT22w(0)

(50)

式中：T11、T12、T21和T22為傳遞矩陣[Tw]的4個元素。

由上可得層狀土中單樁的豎向振動阻抗為：

(51)

由于大直徑端承樁kb趨于無窮大，因而公式(51)可簡化為：

(52)

5.2 大直徑端承樁阻抗影響因素分析

分析阻抗公式(52)可知，在層狀地基中，當大直徑樁發生豎向振動時，樁底阻抗主要由樁和土體的特性決定。本文主要討論樁土相對剛度、樁的長細比、土體塑性指數、樁周土體應變、土體泊松比和樁土相對密度等多個主要因素，如圖15～20，實部Re(Kp)和虛部Im(Kp)表示樁基剛度(N/m)和阻尼，Es1(MPa)表示分層地基中第1層土體的壓縮模量。

(1)樁土相對剛度。如圖15所示阻抗受樁土相對剛度的變化影響明顯，隨著樁土相對剛度的降低，動剛度有所減小，動阻尼在一定程度上增大，因此在設計大直徑端承樁時可通過改變樁體材料來改變樁基的承載能力。

(ν1=0.3, ν2=0.4, γR1=0.0015, γR2=0.001, ξ1=0.02, ξ2=0.05, H1/d=3, H2/d=4,ρp/ρs1=1.3, ρp/ρs2=1.2, Ip1=0.1, Ip2=50)

(2)長細比。如圖16所示長細比的改變顯著影響樁基阻抗的大小，樁長細比越小則剛度越大、阻尼越小，這說明在設計大直徑端承樁時考慮樁基的尺寸效應可顯著改變樁基的承載能力。

(3)塑性指數。如圖17所示塑性指數越大樁基的剛度和阻尼越大，這是因為塑性指數越大土體弱化程度越小，土體對樁基約束能力越強，另外剛度隨外界激振頻率的增加而減小，阻尼隨外界激振頻率的增加而增大，這是因為外界激振頻率越大依靠土體阻尼消耗的能量越多。

(4)樁周土體應變。如圖18所示樁周土體應變越大樁基的剛度和阻尼越小，這是因為樁周土體應變反映土體弱化程度的大小，當樁周土體應變較大時土體弱化程度較大，致使樁周土體阻抗減小。

(5)土體泊松比和樁土相對密度。如圖19所示在較低頻段(a0≤0 )時土體泊松比對樁基阻抗影響較小，而在較高頻段(a0>1)時泊松比越大剛度越大、阻尼越??；如圖20所示樁土相對密度對樁基阻尼影響較小，可以忽略，而樁土相對密度越小樁基剛度越大(增大幅度最大約300%)，同樣表明大直徑樁基的材料對樁和地基的動力特性影響明顯。

(ν1=0.3, ν2=0.4, γR1=0.0015, γR2=0.001, ξ1=0.02, ξ2=0.05, Ep/Es1=500, Ep/Es2=200,ρp/ρs1=1.3, ρp/ρs2=1.2, Ip1=0.1, Ip2=50)

(ν1=0.3, ν2=0.4, H1/d=3, H2/d=4, ξ1=0.02, 2=0.05, Ep/Es1=500, Ep/Es2=200, ρp/ρs1=1.3,ρp/ρs2=1.2, γR1=0.0015, γR2=0.001)

(ν1=0.3, ν2=0.4, H1/d=3, H2/d=4,ξ1=0.02, ξ2=0.05, Ep/Es1=500, Ep/Es2=200,ρp/ρs1=1.3, ρp/ρs2=1.2, Ip1=0.1, Ip2=50)

(Ep/Es1=500, Ep/Es2=200, γR1=0.0015,γR2=0.001, ξ1=0.02, ξ2=0.05, H1/d=3, H2/d=4, ν1=0.3, ν2=0.4, Ip1=0.1, Ip2=50)

(Ep/Es1=500, Ep/Es2=200, γR1=0.0015, γR2=0.001,ξ1=0.02, ξ2=0.05, H1/d=3, H2/d=4, ν1=0.3, ν2=0.4, Ip1=0.1, Ip2=50)

6 結 論

考慮了土體豎向振動時發生水平位移的情況下，系統地討論了土體的動剪切應力、剪切模量和滯回阻尼比的影響因素和變化規律，在此基礎上提出分層土中樁-土振動模型，分析了非線性情況下樁基阻抗的影響因素，得出以下結論：

(1)外界激振頻率顯著影響樁周土體的應力，在工程中要盡量控制樁基所受激振頻率從而減小樁周土體應變和擾動。

(2)土體塑性指數和樁周土體應變是影響土體剪切模量弱化和滯回阻尼比的主要因素，當塑性指數較小或者土體應變達到一定值時，樁周土體動力特性主要表現為非線性，距樁較遠時土體仍表現為一定的線性特性。

(3)樁土相對剛度、大直徑樁的長細比、土體塑性指數以及樁周土體應變對大直徑樁動阻抗的影響較大；而土體剪切模量的弱化受土體泊松比、密度等影響較小，在計算大直徑端承樁的動阻抗時無需過多考慮。