數學文化在實變函數與泛函分析教學中的滲透

吳照奇，朱傳喜

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數學文化在實變函數與泛函分析教學中的滲透

吳照奇，朱傳喜

（南昌大學 理學院，江西 南昌 330031）

實變函數與泛函分析是數學系的專業主干課程之一，對于培養學生的分析能力以及進入現代數學前沿起到至關重要的作用．數學文化主要指數學的思想、方法和觀點，也包括數學史、數學家和數學美等．以南昌大學專業課“實變函數與泛函分析”的教學實踐為例，探討如何將數學文化滲透到該課程教學中，實現培養學生數學素養的目標．

數學文化；實變函數；泛函分析；數學素養

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》指出：“要優化學科專業和層次、類型結構，重點擴大應用型、復合型、技能型人才培養規模．”[1]

《江西省教育事業發展“十三五”規劃》提出的發展目標包括：“教育教學改革不斷深入，學生的創新精神、實踐能力顯著增強，學業水平和自主學習能力全面提升．”[2]

“實變函數與泛函分析”是南昌大學數學系信息與計算科學專業的一門專業主干課，第5學期開設，學時80．這門課程作為信計專業的主干課程之一，在培養學生的分析功底方面有重要作用．學好這門課程，有助于學生應用其理論和思想解決數學其它分支學科的許多問題，幫助學生盡快進入現代數學前沿，為進一步深造打下堅實基礎．目前使用的教材是程其襄等編的《實變函數與泛函分析基礎》[3]．

“數學文化”作為一門重要的II類通識課，其主要目標是培養學生的數學素養．南昌大學在本科教學，尤其是數學文化類課程教學方面積極探索，積累了一些寶貴經驗[4-6]．在該課程教學中，主要參考的是顧沛教授編寫的《數學文化》[7]以及其它各種數學文化類書籍．近年來，許多學者從課程建設、教材建設、數學素養測評和教育哲學等視角來研究數學文化，進行了有益的探索，獲得了豐碩的成果[8-12]．

李大潛先生曾指出：“對學生在數學文化方面的訓練，理想的方式應該是結合數學課程，特別是數學主干課程的教學來進行．這樣做，數學文化的滲入，雖然表面上看僅僅是一個配角，但在密切結合數學內涵這一載體的講授過程中，卻不顯山、不顯水地起著畫龍點睛的作用．”[13]在近幾年的教學實踐中，嘗試將數學文化滲透到“實變函數與泛函分析”的教學當中，積累了一些經驗，取得了較好的效果．

1 梳理發展簡史及體系脈絡使學生縱覽全局

陳省身先生曾指出：“了解歷史的變化，是了解這門科學的一個步驟．”數學也不例外，歷史是一面鏡子，學習任何一門數學課程，只有首先了解歷史上這門課程研究內容的來龍去脈，才能對這些研究內容的產生有一個充分的認識，才能對將要學習的各種定義和定理的引入和提出不感到突兀．

在實變函數篇，在第一節課講授緒論時花了較多的時間來講3個問題：為什么（Why）、是什么（What）和怎么樣（How）．關于“為什么”，主要是講清楚為什么歷史上要產生以勒貝格測度（Lebesgue’s measure）和勒貝格積分（Lebesgue’s integral）理論為主要內容的實變函數論．首先，從回顧黎曼積分理論開始，分析黎曼積分（Riemann’s integral）的主要缺陷，指出在歷史上發展新的積分理論的必要性．其次，簡要介紹在勒貝格之前，約當（Jordan）、波雷爾（Borel）等人所做的一些前期工作，并順帶介紹了法國函數論學派在19世紀末到20世紀初期間的輝煌成就．關于“是什么”，主要是簡要說明勒貝格積分的主要思想，并用計算錢幣總值的例子來幫助學生理解黎曼積分與勒貝格積分的區別．關于“怎么樣”，主要是解釋為何要按照集合—點集—測度論—可測函數—積分論這樣一個邏輯順序來逐步推進，最終建立勒貝格積分理論．

在泛函分析篇，也首先介紹了歷史上泛函分析是如何受到變分問題、微分方程和積分方程以及量子物理學的刺激而產生并逐步發展的．比如，量子化的要求迫使不能再以普通變量來表示物理量，而要使用無窮維內積空間中的自伴線性算子．特別地，泛函分析之所以要以無窮維空間為主要研究對象，很大一部分原因是物理學上很多問題是涉及到無窮自由度的系統（如橋梁振動等連續介質力學）而不是有限自由度的系統（如質點力學）．如果說天體力學的數學語言是微積分，相對論的數學語言是黎曼幾何，那么量子力學的數學語言則是泛函分析．同時，也指出泛函分析的3個重要研究分支是非線性泛函分析、算子理論與算子代數和空間理論，在該門課程當中，主要講授的內容以線性泛函分析為主．

在介紹該門課程的前世和今生后，簡單說明這門課程內容的一些后續發展．通過這些內容的介紹，學生對于這門課在整個數學發展史上產生的時間、背景、地位以及與其它所學課程和后續課程的關系有一個比較清楚的了解，這樣，學生對于所學內容獲得了一個整體上的宏觀把握，在正式講授相關章節內容時，就可以做到有的放矢，學生也可以做到心中有數．

2 介紹數學家的趣聞軼事 激發學生的學習興趣

在實變函數論與泛函分析的發展過程中，有不少代表人物，其中很多人是歷史上的著名數學家．在教學過程中適當穿插講解這些數學家的趣聞軼事，有助于提高學生的學習興趣．

在實變函數篇，在緒論導入時，介紹了勒貝格等數學家的故事．勒貝格（Lebesgue）盡管開始研究的東西不太被人理解，但他講課很受歡迎，大部分聽課的人都覺得他講課既深刻又有趣．皮卡（Picard）則是個古怪高傲的人．哈達瑪（Hadamard）是法國最著名的數學家之一，在幾何和分析方面都有頗多建樹．哈達瑪還有一個很奇特的嗜好，那就是收集蕨類植物．

在介紹測度的卡氏條件定義時，介紹了卡拉西奧多里（Carathéodory）和他的學生，中國第一位數學女博士——徐瑞云．卡拉西奧多里是一個希臘富商的兒子，在測度等很多方面有重要的貢獻，還曾寫過一本很幾何化的復變函數的書．他起初是一個工程師，26歲突然放棄了工作去德國哥廷根大學學習數學．徐瑞云1915年生于上海，本科就讀于浙江大學數學系，師從著名數學家蘇步青和陳建功，畢業后在數學系擔任助教，后與丈夫同赴德國留學，師從著名數學家卡拉西奧多里，成為其關門弟子，26歲學成回國．1952年，全國高校進行院系大調整，徐瑞云先是留在浙大，后又調往浙江師范學院（后杭州大學）擔任數學系系主任．

在泛函分析篇，介紹了希爾伯特（Hilbert）、馮·諾依曼（John von Neumann）等數學家的軼事．比如，著名女數學家愛米·諾特1916年從埃爾朗根來到哥廷根．希爾伯特和克萊因很重視她，要為諾特爭取一個講師的職位，但遭到大學評議會的反對．后來，希爾伯特以自己的名義申請一門課，讓愛米·諾特來講授．諾特很快顯示出她的才能，在代數方面做了許多奠基性的工作，后來成為世界著名數學家．也介紹了“希爾伯特23個問題”的數學典故，指出希爾伯特不僅有杰出的數學才能，也有高尚的品格．

巴拿赫（Banach）是波蘭天才數學家，在1927年參加一個數學聚會的時候，他伙同眾多數學家，一起用伏特加灌馮·諾依曼，最終馮·諾依曼不勝酒力去廁所嘔吐．但是巴拿赫回憶說，當他回來繼續討論數學的時候，絲毫沒有打亂思路．馮·諾依曼是一個天才數學家，在數學的多個分支都有建樹．

通過對這些數學家的趣聞軼事的介紹，學生的學習熱情被點燃，教科書上一個個以這些數學家名字命名的定義和定理變得不再是冷冰冰的，學生在學習這些內容時，腦海里浮現的是這些個性鮮明、有血有肉、鮮活的人物形象．這為學習這些較抽象的數學知識增添一抹亮麗的色彩，對于提高教學效果無疑有重要幫助．同時，這些數學家對于數學鍥而不舍、矢志不移的精神，認真專注、不懈探索的態度和大公無私、助人為樂的品格也對學生有著潛移默化的熏陶．

3 滲透數學思想方法和觀點 培養學生知識遷移 能力

對于數學專業課而言，知識的傳授只是教學的最基本要求，更重要的是要以知識為載體，培養學生的創新能力．而創造來源于模仿和借鑒，或者說，創新能力的一個突出的體現是知識遷移能力．在“實變函數與泛函分析”的教學過程當中，十分注重通過一些典型的數學方法和數學觀點的滲透，來達到培養學生知識遷移能力的目的．

比如，在第一章集合論中，關于集合列的上下極限是一個重點也是難點內容．教材上的定義從初學者角度而言并不容易接受．為此，借鑒了一些其它教材的處理方式，利用集合的交并運算作為其定義，而將程其襄教材上的定義作為性質得出．在這里，如何合理引入定義，需要進行一定的教學設計．首先，讓同學們回顧數列的上下極限的定義；其次，讓同學們思考如何利用類比法將數集的上確界、下確界對應到集合的相關運算．經過引導和討論，同學們將正無窮大、負無窮大對應于集合的全集和空集，將數的大小關系對應于集合的包含關系，將數集的上確界和下確界對應于集合列的并運算和交運算．這樣，就讓學生自己通過類比進行了知識遷移，非常自然地得到了集合列的上下極限定義．

在第一章介紹無限集基數的概念時，引入“希爾伯特旅館問題”，即有可數無窮個客人已入住了可數無窮個房間的旅館，再來客人之后，如何安排住宿的問題[8]．從這個問題中，抽象出了一一對應這一問題的本質，在此基礎上自然地引入了無限集合對等和基數的概念，從而將有限集合元素個數這一概念通過知識遷移進行了推廣．

又如，在第五章積分論關于L積分和R積分的關系一節中，為給出L積分的幾何意義以及Fubini定理，需要先介紹截面定理．教材上關于截面定理的證明在整個實變函數篇諸定理中是最長也是最復雜的．教給學生的處理方法是“化繁為簡，由簡至繁”．這一方法是處理很多數學問題的有效方法，在講授“數學文化”時的“猜帽子”和“抓三堆”等問題中屢試不爽．具體到截面定理的證明，引導學生應先考慮有界可測集，再考慮無界可測集．對于有界可測集情形，根據第三章所講可測集的構造，可以先考慮型集和零測度集．要考慮型集，又可先考慮開集．而根據開集構造，自然又可先考慮左開右閉區間情形．對于區間來說，定理的證明是不難的．由此，可以通過這樣5步來完成有界可測集情形的證明．

再如，在引入泛函分析篇的度量、范數等概念時，從回顧平面上兩點間的距離和向量模長入手，分析這兩個量的重要性質，將這些性質抽象化之后就可以得到公理化的度量和范數定義．這里，突出了抽象化的思想，并順帶介紹了“哥尼斯堡七橋問題”，重點闡述了歐拉如何將這一問題抽象為一筆畫問題．

目前，南昌大學對于數學文化的傳播更多地側重于非數學專業學生，然而，對于數學專業的學生來說，如何借助已有的數學課程體系，在數學專業課中通過數學文化的滲透來增強學生的興趣，使學生掌握學好數學的方法，并對所學課程的歷史和發展趨勢有較好的理解和把握，是值得思考的問題．

從“實變函數與泛函分析”課程的教學實踐中，發現在數學專業課中滲透數學文化，對于培養數學專業學生的數學素養，提高學生的創新能力有較大的作用．在今后的教學中，希望進一步總結經驗、積極探索，將數學文化進一步滲透到其它數學課程的教學中，為實現培養復合型創新人才的目標而不懈努力．

[1] 顧明遠．國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）解讀[M]．北京：北京師范大學出版社，2010：1-476．

[2] 江西省人民政府辦公廳．江西省教育事業發展“十三五”規劃[R]．江西省人民政府公報，南昌，2016：23-24．

[3] 程其襄，張奠宙，魏國強，等．實變函數與泛函分析基礎[M]．3版．北京：高等教育出版社，2015：1-347．

[4] 朱傳喜．充分發揮教學積極性 努力提高本科教學質量[J]．中國大學教學，2008（3）：50-51．

[5] 朱傳喜，黃先玖．南昌大學數學文化課程的建設與實踐[J]．數學教育學報，2012，21（1）：3．

[6] 朱傳喜．努力提高大學生的數學素養[J]．數學教育學報，2014，23（6）：14-16．

[7] 顧沛．數學文化[M]．北京：高等教育出版社，2008：1-252．

[8] 朱長江，李書剛，胡中波．在數學文化課程中引進優質教學資源開展混合式教學的探索與實踐[J]．數學教育學報，2016，25（4）：30-32．

[9] 唐恒鈞，張維忠，李建標，等．澳大利亞數學教材中的數學文化研究——以“整數”一章為例[J]．數學教育學報，2016，25（6）：42-45．

[10] 王婭婷，毛秀珍．數學素養的測量及評價[J]．數學教育學報，2017，26（3）：73-77．

[11] 史淑莉．數學素養視閾下初高中數學銜接問題研究[J]．數學教育學報，2017，26（4）：30-33．

[12] 徐文彬，彭亮．中國數學教育哲學研究的回顧與反思（2000—2015）——兼論數學文化的教育哲學探索[J]．數學教育學報，2017，26（2）：60-65．

[13] 李大潛．淺談數學文化[J]．中國大學教學，2013（9）：4．

The Penetration of Mathematical Culture in the Teaching of Functions of Real Variables and Functional Analysis

WU Zhao-qi, ZHU Chuan-xi

(College of Science, Nanchang University, Jiangxi Nanchang 330031, China)

Functions of Real Variables and Functional Analysis was one of the major courses of mathematical department, which played an indispensable role in cultivating the students’ ability of analysis and help them got close to the frontiers of modern mathematics. Mathematical culture mainly refered to the thinking, method and viewpoint of mathematics, and also included the mathematical history, mathematicians and mathematical beauty. In this paper, taking the teaching practice of the course “Functions of Real Variables and Functional Analysis” as an example, we discussed how to penetrate mathematical culture to the teaching of this course in order to fulfill the goal of cultivating mathematical literacy of students.

mathematical culture; functions of real variables; functional analysis; mathematical literacy

2018–10–28

江西省高等學校教學改革研究項目——復合型人才培養視角下的《數學文化》教學研究與實踐、關于數學專業評價促教改提質量的研究（JXJG-15-1-42；9130-1401）；南昌大學教學改革研究項目——復合型人才培養視角下的《數學文化》教學研究與實踐（NCUJGLX-15-1-45）；教育部財政部2008年國家級教學團隊建設項目——南昌大學公共數學教學團隊（教高函〔2008〕19號）；教育部2013年國家級精品視頻公開課建設項目——《走近科學女王——數學》（教高廳函〔2014〕12號）；教育部2017年國家精品在線開放課程建設項目——《聰慧的源泉——數學導讀》（教高廳函〔2017〕80號）；江西省贛鄱英才“555”工程領軍人才項目

吳照奇（1983—），男，江西彭澤人，副教授，博士，主要從事量子信息學、泛函分析和數學教育研究．

G40-012

A

1004–9894（2019）01–0089–03

吳照奇，朱傳喜．數學文化在實變函數與泛函分析教學中的滲透[J]．數學教育學報，2019，28（1）：89-91．

[責任編校：周學智、張楠]