數學活動經驗的含義新探

趙思林

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數學活動經驗的含義新探

趙思林

（內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江 641112）

數學活動經驗是中小學數學新課程提出的重要概念．研究數學活動經驗的含義對完善數學教育理論和指導數學教學實踐都是很有必要的．數學活動經驗儲存于個體的長時記憶系統之中；數學信息進入長時記憶系統是個體獲得數學活動經驗的必要條件，但不是充分條件．個體數學活動經驗的獲取必須經歷心智操作和心力操作．數學知識經驗獲得的標志是個體給數學知識賦予意義并認識知識的價值．數學活動經驗是指個體在數學活動中經過心智操作和心力操作過程后儲存于長時記憶系統中具有意義和價值的數學信息．

數學活動經驗；經驗；長時記憶；數學信息

數學活動經驗是中小學數學新課程提出的重要概念．數學活動經驗的含義是最近十多年來數學教育研究中的熱點課題．關于數學活動經驗的含義，雖已提出多個“界定”，但這些“界定”都缺乏邏輯嚴謹性，比如，運用這些“界定”無法判斷某個學生經歷一個數學活動后是否獲得了數學活動經驗．當下，對數學活動經驗含義的理論研究在教育界并未達成共識，教學理論上的混亂會導致中小學數學教師在教學實踐中無所適從，也難以得到中小學數學教師的認可．因此，研究數學活動經驗的含義對完善數學教育理論和指導數學教學實踐都是很有必要的．

1 數學活動經驗的意義

斯托利亞爾認為，數學活動可看作是按下述模式進行的思維活動：（1）經驗材料的數學組織化，包括借助于觀察、實驗、歸納、類比、概括積累事實材料；（2）數學材料的邏輯組織化，包括由積累的材料中抽象出原始概念和公理體系并在這些概念和體系的基礎上演繹地建立理論；（3）數學理論的應用[1]．斯托利亞爾的概括是比較全面的，“數學活動看作思維活動”與“數學是思維的科學”的觀點是比較一致的．經驗材料的數學組織化體現了數學的發現和創造過程，其思維方式以直覺思維為主，也暗含用數學的眼光看問題（世界）；數學材料的邏輯組織化體現了數學知識體系（含公理體系）的建立與嚴密化，其思維方式以邏輯思維為主，數學材料的邏輯組織化體現了數學的理性思維和理性精神；數學理論的應用體現了數學的應用價值，也體現了用數學的方法解決問題，數學問題解決是數學活動的中心工作，數學問題解決的思維方式是既需用直覺思維又需用邏輯思維，因此，數學問題解決對學生思維的鍛煉是比較全面的．弗賴登塔爾將數學學習活動概括為：實際問題抽象為數學問題；數學問題的邏輯組織（符號化）；數學原理的驗證、推廣（形式化、邏輯化）；數學理論的應用（反思）[2]．弗賴登塔爾對4個方面的數學學習活動的概括是全面的、系統的．很顯然，這4個方面的數學學習活動都與數學思維活動密切相關．因此，“數學活動的核心是數學思維活動．”[3]

經驗對于個體的學習尤為重要，學習是經驗的重組，經驗既是學習的手段又是學習的目標，經驗是建構知識意義的重要基礎和基本方法，經驗是同化學習的必要基礎，沒有經驗就難以甚至不能進行同化學習．經驗對于個體創新意識的生成也很重要．經驗是教育和學習的基本構件和必要前提，它是獲得數學直覺的源泉，其根本價值是涵育創新能力[4]．經驗一般是指由實踐得來的知識或技能，也可以認為是個體經歷某件事情（含學習）之后的體驗．數學的知識或技能主要是通過學習內化或練習而得到的．由于數學活動的主要方式是數學思維活動，因此，數學活動的經驗主要是數學思維活動的經驗．對數學學習和數學問題解決中的實踐，主要指數學思維操作，也可以說，是指個體的心智操作．積累數學活動經驗的根本目的在于促進學生主動建構數學知識的意義、認識數學的價值、投入個人的情趣、鍛煉學習者的意志，使知識與“情”“意”“行”相互作用，讓個人的知識富有個性、靈性與活性，由此促進其“知”“情”“意”“行”的全面發展，為他們實現創新自我和積累（創造）新的數學經驗打下基礎．

需注意的是，數學活動經驗對各學段的學生的要求應該是不完全一樣的．比如，對小學生而言，數學活動經驗的獲得應突出感官操作，如動手、動眼、動耳、動口等，以積累感性思維活動經驗為主要目標；對于中學生來說，由于他們的大腦已經（或接近）發育成熟，數學活動經驗的獲得應以心智操作（動腦）為重點，以積累理性思維活動經驗為主要目標．下文探討的數學活動經驗是以中學生為研究對象的．

2 數學活動經驗含義的研究評述

近年來，一些教師對數學活動經驗的含義作了不少研究．現有的文獻多認為，數學基本活動經驗是學生親身經歷數學活動過程中的感受、體會和領悟．然而，這種定義畢竟模糊和不易把握[5]．更具體地說，不少研究者從不同角度對數學活動經驗作了界定，比如有“知識說”“緘默知識說”“認識說”“經歷說”“過程—知識說”“思維模式說”“三基說”“內化說”“組合體說”等．這些“界定”，都是從某一個角度看待經驗，都有合理性因素和一定的啟發性，但有的“界定”自相矛盾，運用某些“界定”根本無法判斷是不是數學活動經驗，多數“界定”難以讓中小學教師信服，更難真正走進中小學課堂．下面對這幾種具有代表性的觀點作些探討與評述．

2.1 “知識”說

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》提出：“獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）．”[6]這表明，數學知識包含數學活動經驗．有研究者認為，數學知識不僅包括“客觀性知識”，還包括從屬于學生自己的“主觀性知識”[7]．“數學活動經驗屬于學生的主觀性數學知識的范疇．”[8]既然“數學知識包含數學活動經驗”，那么就不必單獨提出“數學活動經驗”的概念了，這與《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出的“四基”相矛盾．矛盾的出現可能是由“知識表征的多樣性和理解的差異性”造成的．從學校教育的角度看，知識可以分為直接知識和間接知識，對于中小學教育而言，學校教育的核心任務是讓中小學學生在較短時間內學習并掌握大量間接知識（人類優秀文化遺產）；柏拉圖將知識分為感性知識和理性知識；亞里士多德把知識分為理論知識和實踐知識；認知心理學把知識分為陳述性知識、程序性知識和策略性知識；2001年L·W·安德森等從4個維度把知識劃分為事實性知識、概念性知識、程序性知識與反省認知知識[9]．L·W·安德森等的知識劃分理論對中小學教育富有啟發性．中國的《高考數學考試大綱》（以下簡稱考試大綱）從教育測量的可操作性角度，對數學知識作了明確界定，數學知識是指數學教材中的數學概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映的數學思想方法，還包括按照一定程序與步驟進行運算、處理數據、繪制圖表等基本技能[10]．按照這個界定，數學知識包括數學基本知識、數學思想方法、數學基本技能．考試大綱中的數學知識是指“教材主編的文本知識”[11]，“教材主編的文本知識”來源于人類數學歷史中的知識精華，是數學學科領域智慧的結晶，是編者依據國家的教育目的和數學課程標準，從浩瀚的人類“數學文化”中精選出來作為“數學教育內容”的文本知識．很顯然，考試大綱所說的數學知識是人類社會普遍認可的并能代表主流社會的知識范式，具有客觀性、準確性、明確性、普適性、可言傳性、相對真理性等特點，是教師教學“言傳”的主要素材和手段，是教學活動中師生互動交流的主要話題來源．因此，考試大綱所說的數學知識是相對真理，已被社會普遍接納，這些知識是中小學教育的重要內容，這些知識是可以教的、可以學的、可以測量（考查）的．很顯然，考試大綱所說的數學知識是不以學生的主觀意志而轉移的，具有客觀性，一般稱為客觀性知識（客觀知識）．與客觀性知識相對應，有人提出了“主觀性數學知識”（或叫“個體知識”）的概念；但研究者認為“主觀性數學知識”的概念存在問題．下面探討兩個問題．

問題1：“主觀性數學知識”的含義是什么？

“數學知識不僅包括‘客觀性知識’，即那些不因地域和學習者而改變的數學事實（如定義、公式、法則、定理等），而且包括從屬于學生自己的‘主觀性知識’，即帶有鮮明個體認知特征的個人知識和數學活動經驗，它是經驗性的、不那么嚴格的、可錯的．可見，數學活動經驗屬于學生的主觀性數學知識的范疇．”[8]在這里，用“個人知識”和“數學活動經驗”來解釋“主觀性數學知識”，而“數學活動經驗”又用“主觀性數學知識”來解釋，這就出現了邏輯循環．由“數學活動經驗屬于學生的主觀性數學知識的范疇”可知，“主觀性數學知識”包括數學活動經驗，由此，自然產生了如下疑問：除數學活動經驗之外，“主觀性數學知識”還包括什么？這還不清楚．可見，“主觀性數學知識”的內涵和外延都是模糊不清的．

問題2：“主觀性數學知識”對社會（他人）有價值嗎？

既然“主觀性知識是不那么嚴格的、可錯的”[8]，那么“主觀性數學知識”就不是相對真理．“主觀性數學知識”的正確性或價值用什么標準（方法）去判斷，是否需要根據個體的不同情況而制定不同的判斷標準（方法），這樣做是否可行？既然“主觀性數學知識”不是相對真理，那么所謂的“主觀性數學知識”雖然可能對自己建構知識意義、積累經驗有用甚至是不能缺少，但它對社會（他人）可能無益甚至有害．因此，提出“主觀性數學知識”的概念是不必要的．也許，把“主觀性數學知識”改為“主觀數學經驗”似乎更合理些．當然，在教育中少提一些時髦的新名詞、新概念、新術語，不是更簡單、更好嗎？

2.2 “緘默知識”說

有研究者認為，數學活動經驗是一種緘默知識[12]．緘默知識源于英國學者波蘭尼對知識的分類，他把知識分為顯性知識（又稱明確知識）和隱性知識（又稱緘默知識）．但對中小學學生來說，學生學習的知識主要是“教材主編的文本知識”，即顯性知識，因此，學生獲得的知識主要是顯性知識．學生在學習“教材主編的文本知識”的過程中也會獲得一定的隱性知識．由此，數學活動經驗的系統中既有顯性知識又有隱性知識，并以顯性知識為主．

2.3 “認識”說

關于“認識”和“感性認識”，百度百科的解釋是：“認識是頭腦對客觀世界的反映．認識是主體收集客體知識的主動行為，是認識意識的表現形式．”“感性認識是認識的初級階段，是人們在實踐的基礎上，感覺器官對事物的現象、外部聯系和各個方面的初步認識．”個體的數學活動經驗是對自己以往經歷的數學活動在認知方面的自覺或不自覺的感性概括，是一種感性認識[13]．在這里，把數學活動經驗當成感性認識是經不起推敲的．事實上，由于“數學活動的核心是數學思維活動，數學活動經驗的核心是數學思維活動經驗”，而數學思維活動的核心是邏輯思維，又由于邏輯思維屬于理性認識的范疇，所以數學活動經驗主要是理性認識而非感性認識．以數學概念的形成為例，對概念的感性認識還不足以形成概念，要在感性認識的基礎上反復經過比較、分析、綜合、概括、抽象、判斷和推理等一系列思維活動，在逐步認識到事物的本質和內部聯系的基礎上，才能形成概念[14]．數學活動經驗是在數學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考查和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識[15]．“從感性向理性飛躍時所形成的認識”中的中心詞之一“飛躍”是相當含糊的，要弄清怎樣飛躍、飛躍多少時間、飛躍多遠、飛躍的質量如何保證等問題并非易事．可否得出這樣的結論：數學活動經驗必然包含由感覺器官直接的操作經驗以及感性思維活動的經驗，但更多的應包含理性思維活動的經驗．

2.4 “經歷”說

數學活動經驗是學生經歷數學活動之后所留下的直接感受、體驗和感悟．這些具有個體特色的內容，既可以是感覺知覺的，也可以是經過反省之后形成的經驗[16]．這里的“經過反省之后形成的經驗”對數學學習特別重要，反?。ɑ蚍此迹┦且环N十分重要的思維活動方式，對積累數學活動經驗具有不可替代的重要作用．從經驗的詞義上看，經驗是經歷某事后的體驗．數學活動經驗是學生經歷數學活動之后的體驗，這可看成是對數學活動經驗的粗糙的、描述性的理解．只把“所留下的直接感受、體驗和感悟”叫數學活動經驗，妥當嗎、全面嗎？假設某學生花了1小時解一道比較難的題目以失敗告終，他感受到數學很難，體會到數學解題很苦，感悟到學習數學要耽擱很多時間，這樣的直接感受、體驗和感悟是數學活動經驗嗎？這樣的直接感受、體驗和感悟對社會（他人）有用嗎？感受、體驗和感悟都是正面的嗎？怎樣把感受、體驗和感悟的消極作用轉變為積極作用？這些問題是值得思考的．

2.5 “過程—知識”說

數學活動經驗分為靜態和動態兩個層面．數學活動經驗介于緘默知識和顯性知識之間，從靜態上看是知識，是學生對整個數學活動過程產生的認識，包括體驗和感悟等；從動態上看是過程，是經歷[17]．當拷問數學活動經驗是過程嗎？問題就來了，比如，一個學生某晚花了20分鐘預習（學習）某個數學概念，自認為全部弄懂了，但第二天聽老師的課之后發現，前一天晚上對那個數學概念的理解基本上是錯的，現在的問題是：該學生經歷20分鐘預習肯定算數學活動，但叫不叫獲得了數學活動經驗？這顯然不應該叫．那么，又該叫什么呢？研究者認為，可以叫“數學活動教訓”．由此可見，經歷數學活動之后，可能獲得經驗，也可能甚至很可能得到教訓．很多學生在學習比較難的數學概念如平方根定義、對數定義、函數定義、極限定義等，需要經歷多次教訓（試誤）才能對它們理解正確．數學學習的復雜性和艱難性常常體現在個體需要多次地、反復地“試誤”才能達到學習目標，數學疑難問題的解決往往更需要大量的“試誤”．因此，在研究數學活動經驗的同時，更應研究“數學活動教訓”和“如何把數學活動教訓變為數學經驗”．

2.6 “思維模式”說

歸納推理和演繹推理統稱為推理，推理是邏輯思維的基本形式之一．“思維模式說”主要關注了推理，但對更為基本的邏輯思維形式即數學概念的學習經驗沒有包括在內．因此，“思維模式說”對數學基本活動經驗的認識是不全面的．再如，學生證明某個平面幾何問題時需要作輔助線，作輔助線是數學歸納推理嗎，是演繹推理嗎，通過作輔助線證明了這個問題后積淀的思維模式是什么，恐怕難說清楚．

2.7 “三基”說

“三基”（數學基本活動經驗是指學生開展數學活動的一種或幾種基本策略、基本模式和基本方法[18]）說是把數學知識、數學技能、數學思想以及學習數學的“情意”等排斥在數學基本活動經驗之外，這顯然是不夠全面的．數學活動經驗大致可分為行為操作的經驗、心理操作的經驗、思考的經驗、復合的經驗[18]．這里，思考的經驗即是數學思維的經驗，也即心智操作的經驗．

2.8 “內化”說

“內化”說認為，數學活動經驗是學生在數學活動過程中內化了的數學知識、技能及情感體驗，既包括學生的日常生活經驗，又包括在學校數學課程中獲得的知識、技能，還包括在數學學習過程中的感受、體驗等[19]．“內化”說表明，獲得數學活動經驗的途徑是“內化”，數學活動經驗的形態是“數學知識、技能及情感體驗”．個體對新知識、新技能、問題解決策略的內化以及情緒體驗的生成實質上是一個過程，此過程是個體借助自己的各種感覺狀態、知覺方式和意識狀態，來還原或轉化其所學習的新的數學知識、技能、問題解決策略及數學觀念等．內化是心智操作的過程和結果，內化是理解數學的基本標志．內化是個體在學習數學（其核心是理解數學）、應用數學（其核心是問題解決）、發現（創造）數學等認知活動中實現的．“內化”說突出了“數學知識、技能”在數學活動經驗中的重要地位．但“內化”說沒有涉及對數學思想的感悟經驗，也未涉及對數學問題解決的策略性經驗，這是由于數學思想的感悟經驗、數學問題解決的策略性經驗都是數學活動經驗的重要成分．

2.9 “組合體”說

“組合體”說認為，數學活動經驗是學生從經歷的數學活動過程中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數學知識、技能、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗[20]．數學活動經驗是學生經歷數學活動的過程與結果的有機統一體，是數學知識性成分、體驗性成分、觀念性成分的“組合體”[7]．“組合體”說表明，數學活動經驗是復雜的，難以描述，含有多種成分．顯然，數學知識是數學活動經驗的主要成分．不管是“教材主編的文本知識”，還者是考試大綱所指的數學知識（包括數學基本知識、數學思想方法、數學基本技能），對于學生來說，這些數學知識都具有客觀性和相對真理性，學生怎樣才能將這些知識變為自己的經驗呢？對某個具體知識的學習來說，如果學生利用已有經驗并投入自己的情感通過認知操作（同化和順應）理解了這個知識，理解這個知識意味著對知識賦予了意義并認識到它的價值（含應用價值），同時還學會了問題解決的新策略，感悟了隱藏在知識背后的數學思想，欣賞了數學之美，那么就可以說學生獲得了豐富的經驗，他的經驗系統可能包括數學知識經驗（可測的）、學習數學的經驗（會學）、理解數學的經驗，思考數學問題的經驗（會思）、問題解決的經驗（會用）、感悟數學思想的經驗（善悟），欣賞數學美的經驗（審美）等，他在獲得這些經驗的同時也有成功體驗．由此看來，經驗是由多種成分融合而成，經驗的成分包括數學知識、認知心理（其本質是心智操作）、問題解決策略與方法、數學觀念（含思想）、審美、情緒心理（其本質是心力操作）、態度、價值觀等．因此，“組合體”說是有道理的．但仍需探討以下幾個問題：數學活動經驗存放（保存）在哪里？數學活動經驗的獲取一般需要哪些實踐或操作？數學知識經驗獲得的標志是什么？數學知識經驗如何界定？

3 數學活動經驗的含義新探

3.1 數學活動經驗儲存于個體的長時記憶系統之中

數學活動經驗常常是人們在數學活動過程中形成的并在遇到某種相似情景時可以憶起的某種體驗、方法性知識或某種觀念[21]．這里的“憶起”就是“記憶起”或“回憶起”的意思．進一步問：數學活動經驗存放（保存）在哪里呢？心理學研究表明，經驗的元記憶信息（理念策略）來自前額葉并對經驗進行整合與表征，經驗的情景記憶存放在三大感覺皮層，經驗的情感動機信息存放在杏仁核，經驗的自傳體記憶存放在扣帶回后部，進而存放在個體的長期記憶系統之中[22]．因此，個體所獲得的數學活動經驗儲存于長時記憶系統之中．不管數學活動開展得多么豐富、多么熱鬧、多么有趣，也不管個體動手、動眼、動耳、動口有多少次、多少時間，如果數學信息沒有進入個人的長時記憶系統，那么他就沒有獲得與該數學活動相應的數學活動經驗．這里所說的數學信息包括數學知識與技能，數學思想與觀念，數學思維，問題解決策略與方法，數學意識（包括數學應用意識、探究意識、創新意識、審美意識、交流意識等），對數學的態度和情緒體驗等．數學活動經驗是個體在學習數學、思考數學、探究數學、應用數學、問題解決、發現（創造）數學等活動中對數學的感應，數學活動經驗最終存儲在長時記憶系統．不能進入長時記憶系統的信息就不能算作經驗．數學信息進入（存儲在）長時記憶系統是個體獲得數學活動經驗的必要條件，但不是充分條件．例如，個體通過死記硬背而進入到長時記憶系統的數學信息就不能算作經驗，但這個死記硬背的數學信息通過復述、練習特別是反思等過程之后最終可以變成經驗．神經教育學家羅森布魯姆指出，人的記憶形成實際上需要學習者動用自己的多種感覺狀態（以及以往的知覺表象和理念意象）來全息轉化他所面對的外部信息，以便借此將客觀信息還原為自己大腦與心理系統的多元一體化主觀信息[23]．由此看來，對數學信息的記憶并不容易．數學活動經驗的獲得需要是把外在的數學信息“還原為自己大腦與心理系統的多元一體化主觀信息”，這顯然很不容易．

3.2 數學活動經驗的獲取必須經歷心智操作和心力操作

人的認知與情感是緊密聯系、相互影響的[24]．外在知識內化的過程是個體情感體驗參與并與之互動的過程[25]．學習的本質是個體在心智和心力的協同配合與操作下獲取新經驗的過程．因此，新經驗的獲取既需要心智操作又需要心力操作．人的大腦是一個開放的、并行加工的自組織系統，不斷地與環境發生著相互作用，它通過觀察、分析、整合和綜合某些數學信息而形成數學表象，并在此基礎上進行抽象、概括而形成數學概念，對數學概念的編碼、表征而形成意象，在此基礎上可以通過推理建構數學理論大廈，最后人們用數學經驗解決數學問題和實際問題．人的經驗獲取是在大腦的兩大系統即心智操作系統和心力操作系統對新的數學信息協同加工才得以完成的．

心智操作系統即認知操作系統，簡稱心智．心智操作包括編碼、組塊、符號表征、想象、判斷、邏輯推理、數學理解、語言獲得、語言轉換、問題解決、經驗獲得等．由于“數學活動經驗的核心是數學思維活動經驗”，因此，獲取數學思維活動經驗是數學教學的重要目標．數學活動經驗的提法和一般的經驗相比有其特殊性，如一般經驗強調動手實踐獲得直接經驗，顯然數學更多的應是思維操作[2]．因為思維操作是心智操作的核心，所以個體各種心智操作的訓練是獲取數學思維活動經驗的重要基礎．個體的心智操作有4個作用：一是可能獲得數學思維活動經驗，二是認知并掌握心智操作的類型與程式，三是獲得心智操作方法的經驗，四是提高心智水平．心智操作經驗的獲得與心智水平的提高，一方面，為今后數學思維活動經驗的有效獲取奠定良好基礎，另一方面，較高水平的心智可幫助人們把數學知識的經驗意義和價值帶進自己的實踐和生活中，并形成科學的世界觀、正確的價值觀，從而完善自己的人格．從數學思維的角度看，常用的心智操作方式有觀察、比較，抽象、概括、分類、歸類、概念、判斷，聯想、猜想、想象、歸納、類比、演繹、記憶、理解、應用（含問題解決）、分析、綜合、評價和創造等．從數學學科特點來看，心智操作是獲得數學活動經驗的必要條件，這是因為大量的數學知識只有在獲得感性認識的基礎上經過適當的心智操作才能上升為理性認識并獲得相應經驗．

心力操作系統即非認知操作系統，簡稱心力．心力是經驗獲取活動的動力系統，也是內在經驗激活的組織系統[25]．心力的核心是情感，它是問題解決后的情緒體驗[26]．腦科學研究發現，人的大腦可分為智能腦和情感腦，其中情感腦是指大腦的邊緣系統，它控制許多情感反應，與大腦中處理記憶存儲的部分連接得很緊密，是學習活動的興奮和抑制中心，起催化劑和抑制劑作用[27]．非認知包括情感、意志和態度，它是人們在進行各種活動時除心智因素以外的、但對心智的發揮或發展有影響的心理因素．非認知的主要成分包括動機、興趣、情感、意志、性格、態度等，它含有以下心理因素：成就動機、求知欲望、學習熱情、自信心、自尊心、好勝心、責任感、義務感、榮譽感、自制性、堅持性、獨立性等．人的認知與情感共居于本體知識系統之中，共用某些神經回路，因此，情感活動能夠影響人的認知過程．施密茨的實驗表明，積極樂觀和愉快的情感心境能夠有效提高視覺記憶的表象生成水平，顯著擴展人的視覺想象與推理活動的時空范圍；反之，消極沉悶的情感狀態則會抑制視覺皮層乃至聯合皮層與前額葉新皮層的興奮[28]．這說明，情感對學習既可能起積極作用，也可能起消極作用．學生學習應努力培養積極正面的情感，而應盡力管控消極負面的情感．只有把“情”和“意”投入到知識之中，即是說，讓知識變得有“情”有“意”，知識才能變成鮮活的經驗．從而可以說，鮮活的經驗是心靈上的知識之花．缺少情趣投入和全身心體驗的知識或經驗，最多只是呆知識、呆經驗，甚至可能是死知識、死經驗．因此，心智操作必須要有心力的參與．心力是心智操作的動力系統．心力對心智操作的作用體現在學習目標定位、創設認知沖突、產生心理需求、激發動機興趣、磨練意志品質、管控情緒情感、感受成功體驗等方面．人的情感活動實際上也是一種認知活動，即主體對自我或對象的一種價值認知及體象表征方式．當個體在數學學習或問題解決之后，獲得了成功體驗并形成了數學價值觀，他的心力會變得更加強大．如果個體在學習或問題解決時擁有強大的心力系統，包括強烈的學習需求、濃厚的探究興趣、正確的學習動機、穩定的情緒、頑強的意志、堅定的性格等，再加之具有良好的情緒管理能力、人際溝通能力、自我認知能力以及環境適應能力，那么他就容易獲得認知經驗，并體會到心力的意義與作用．因此可以說，心力是知識變經驗的助推器和加速器．人的發展不僅需要心智的發展，更需要心力的發展．從這個意義上說，人的培養是心智的培養，更是心力的培養．由此，可以深刻地感悟到：數學新課標（指2011年版和2017年版）提出“數學基本活動經驗”的最深刻的意蘊在于通過積累“數學活動經驗”達到重視和加強人的心力培養的目的．心力的培養有下面一些策略：（1）由認知沖突產生認知需求，通過了解和認識數學的價值產生學習需要，通過介紹歷史上完成“自我實現需要”的數學家讓學生產生學習需要等．（2）運用“立志教育”“成就動機理論”“歸因理論”“強化理論”“自我效能感理論”“創設問題情境激發好奇心”“樹立正確的自我概念”“適當開展學習競爭”等理論和方法激發動機[29]．（3）興趣對學習的意義是不言而喻的，格里高利歐等的實驗表明：當中學生對其所感興趣的問題情景進行體驗、猜想和推理時，其前額葉的腹內側正中區和背外側正中區表現出同步化的較高電位的興奮性，同時出現了泛腦化的高頻低幅同步振蕩波，后者乃是大腦進行高水平的認知活動的功能性標志[30]．通過做游戲、講故事、立目標、激發好奇心、設置新穎情境、探究疑難問題、欣賞學科魅力、審美立美、比賽獎勵等措施或辦法激發興趣．（4）以平和的心態，運用轉移注意力、閱讀、做題、深呼吸等方法調節自己的情緒，調動元認知去監控和管理情緒．（5）通過挑戰難題、克服各種困難、面對失敗不言放棄等方法錘煉意志、磨練性格．

3.3 數學知識經驗獲得的標志在于個體給數學知識賦予意 ?義并認識數學知識的價值

建構主義認為，學習是個體對知識的意義建構．意義是指學生附加到新學習的關聯性．意義并不只是指知識本身所固有的，而是學生將之與過去的學習和經驗聯系在一起的結果[31]．意義是指事物自身的法則、屬性與規律，以及該事物與其他事物之間的內在聯系[32]．個體給數學知識賦予意義的方法有：認識數學知識的幾何意義，用“直覺上的顯然”幫助理解并記憶數學知識，比較容易混淆概念的異同，弄清數學命題間的邏輯關系等．關于認識數學知識的價值，就是讓學生知道所學數學知識有什么用，有多大用處，什么時候可以用，并認識數學知識的科學價值、育人價值、思維價值、實踐應用價值、審美價值、文化價值、經濟價值等．認識數學知識的價值有5個作用：一是從“知識價值”的角度可以更加全面地認識數學知識和理解數學知識，二是了解知識價值的高低，三是基于“具有價值的信息更可能被儲存”促進個體的記憶，四是促進個體的知、情、意、行的全面發展，五是高價值的知識更容易變成經驗．個體通過死記硬背而進入到長時記憶系統的數學信息不能算作經驗．但個體如果通過計算、推理或反思，對數學信息賦予了意義，或認識到了數學知識的價值（如應用價值），那么他也可以把死記硬背得到的數學信息變為自己的數學經驗．這其實是一種學習數學的方法，即先記憶后理解（不宜提倡）．例如，中國小學生通過背誦“九九乘法口訣”來學習乘法，學生在背誦“九九乘法口訣”時并不完全理解乘法的意義，學生隨著年齡的增長，慢慢地理解了乘法的意義．也就是說，學生在背誦“九九乘法口訣”時并沒有全部獲得乘法的經驗，乘法的經驗是在背誦“九九乘法口訣”之后逐漸積累起來的．這說明，數學活動經驗的積累并不是容易的事[33-39]．

3.4 數學活動經驗是具有意義和價值的數學信息

研究者認為，數學活動經驗是指個體在數學活動中經過心智操作和心力操作過程后，儲存于長時記憶系統中具有意義和價值的數學信息．這里的數學信息包括數學知識與技能、數學思想與觀念、數學思維、問題解決策略與方法、數學意識（包括數學應用意識、探究意識、創新意識、審美意識、交流意識等）對數學積極的情緒體驗等．此界定說明，數學活動經驗的來源是數學活動，獲取經驗的方法是心智操作和心力操作，獲得經驗的標志是認識數學信息所具有的意義和價值，數學活動經驗的產品是數學信息（含多種成分），經驗的落腳點是長時記憶系統．

對于數學活動經驗的獲取，既應發揮認知的作用，又應重視非認知（特別是“情”和“意”）對心智的激活與定向作用，還應調動元認知對經驗獲取過程的反思、監控與調節．一般認為，通過對數學的心智操作獲得認知經驗，對數學的心力操作獲得非認知經驗，對心智操作、心力操作以及由這兩種操作之后所得到的數學信息進行反思、監控與調節就可以獲得對數學的元認知經驗．

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New Exploring On Implications of Mathematics Activity Experience

ZHAO Si-lin

(College of Mathematics and Information, Neijiang Normal University, Sichuan Neijiang 641112, China)

The research reviewed various implications of mathematics activity experience. Mathematics activity experience was stored in long-time memory system of individuals; It was the necessary condition but not sufficient condition that individual got mathematics activity experience that mathematical information accessed into long-time memory system. Acquisition of individual mathematics activity experience must experience mental operation and mentally dynamic operation. The sign of acquiring mathematics knowledge and experience was that individuals empower the significance of mathematics knowledge and recognize the value of knowledge. Mathematics activity experience refer to significant and meaningful mathematics information which was stored in long-time memory system after individuals experience mental operation and mentally dynamic operation in mathematics activity.

mathematics activity experience; experience; long-time memory; mathematics information

2019–01–17

教育部“本科教學工程”四川省地方屬高校本科專業綜合改革試點項目——內江師范學院數學與應用數學“專業綜合改革試點”（ZG0464）；四川省卓越教師培養計劃項目——內江師范學院西部卓越中學數學教師協同培養計劃（ZY16001）；四川省教育廳人文社會科學重點研究基地項目——中學數學教師核心素養結構與測評研究（PDTR2018-02）

趙思林（1962—），男，四川巴中人，教授，碩士，碩士生導師，主要從事數學教育和高考數學研究．

G421

A

1004–9894（2019）02–0075–06

趙思林．數學活動經驗的含義新探[J]．數學教育學報，2019，28（2）：75-80．

[責任編校：陳雋、張楠]