民機四維航跡/姿態一體化自適應控制

樊垚，邵興悅，李清東，任章

1. 中國船舶工業系統工程研究院 信息系統研究所，北京 100094 2. 北京機電工程總體設計部，北京 100854 3. 北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100083

為了滿足高速發展的航空運輸需求，提高空域資源使用率，國際民航組織(ICAO)提出了新航行系統(FANS)的概念。新航行系統的核心組成部分是“基于性能導航(PBN)”的新型運行模式，該模式以改進航空系統效率、降低航空運營成本、提高航空運行安全性和空域使用率為目標，將航空機載設備、導航以及先進飛行控制技術緊密結合起來，為民航飛機運行的所有階段提供更加精確、安全的飛行方法。

民機在航路終端區的起飛/著陸階段是對其導航、引導和控制性能要求最高的航段，在此航段通常要求系統支持RNP-0.3甚至更為嚴格的規范，由于導航性能可以得到地面設備的有效支持，導航信息精度很高，此時飛行技術誤差(FTE)是系統總誤差(TSE)的主要部分。

飛行控制的本質是一類欠驅動控制問題。傳統的飛控系統采用由內向外的串級控制設計思想，外環慢變回路的動態特性受內環回路特性的制約較為嚴重，飛機起飛/著陸階段對飛機航跡控制要求很高，采取串級控制方法設計的航跡控制器動態響應慢，影響航跡控制精度。因此，必須采用引導控制一體化設計思想進行飛機四維航跡控制器設計，降低系統保守性，提高航跡響應動態和控制精度。

隨著計算機技術和控制理論的發展，通過自動駕駛儀和自動油門綜合等方法現已實現飛機飛控/推力一體化設計[1-3]，提高了系統的自動化能力，減小了飛行員的操縱負擔。飛控/推力一體化控制技術主要解決飛機姿態與飛行速度的動力學耦合問題，不能從本質上降低串級飛控系統在航跡跟蹤控制設計上的保守性。Williams等提出一種導引控制一體化設計思想，并將其應用于導彈制導控制系統的設計[4]，根據彈目相對運動信息，直接產生導彈氣動舵面偏角控制指令，能夠充分發揮導彈的動力學能力，提高導彈制導回路的響應速度。結合目標加速度測量與估計技術，基于滑模變結構控制理論可以完成飛行器導引控制一體化設計[5-6]。通過使用神經網絡估計系統不確定性和誤差，基于反步法能夠實現飛行器導引控制一體化控制的目的[7-9]。通過結合線性二次型最優控制理論，使用反饋線性化方法也可以構建飛行器一體化飛行控制系統[10-12]。引入指令濾波器，采用自適應反演控制器實現無人機自主著艦橫側向控制[13]。當前，一體化飛行控制技術研究主要解決飛行器引導與控制回路動力學特性匹配的問題，針對航跡跟蹤和到達時間高精度要求的研究工作尚未廣泛開展。因此，為了有效解決民機航路終端區高精度航跡跟蹤控制問題，應在充分借鑒現有一體化飛控系統設計思想的基礎上，開展四維航跡/姿態一體化控制技術研究。

此外，飛機飛行在一個變化的大氣環境中，機身各部分受到的空氣動力不同，在起飛離場和進近著陸階段飛機速度較低，這種效應更加顯著。對于飛行控制系統而言，這種效應可以理解為飛機動力學系數的不確定性。由于地面效應的影響，地表附近產生大氣擾動通過飛機航跡控制器間接產生的飛行技術誤差是起飛離場和進近著陸階段的主要誤差因素之一。引入自適應算法是增強飛行器控制系統魯棒性的有效途徑，采用基于圖像的導彈/無人機自適應末制導律可以消除目標尺寸、彈目相對距離和圖像傳感器引起的不確定性影響[14-16]，自適應飛行控制律也被用于解決擾動過程作用下飛機姿態控制問題，有效地改善飛行品質[17]。

本文基于LQG/LTR(Linear Quadratic Gaussian/ Loop Transfer Recovery)控制技術提出一種自適應四維航跡/姿態一體化控制方法。該控制方法以LQG方法為基礎，利用LTR技術實現狀態估計器和反饋控制器參數的匹配，在此基礎上，引入基于自適應投影算子來補償系統匹配不確定性，解決動力學系數不確定條件下的飛機航跡精確控制問題。

1 飛機動力學與環境特性模型

1.1 縱向航跡/姿態線性動力學模型

為了實現引導控制一體化設計思想，設計控制律所需的數學模型應精確地反映飛機空間六自由度運動，而不能將質心運動與繞質心轉動分開考慮，忽略其相互影響?；谛_動假設，建立了飛機線性化動力學模型[18-19]，并將其分解為縱向和橫側向運動兩個部分，飛機縱向小擾動線性化方程組標準矩陣形式為

(1)

式中：Δ表征基準狀態變量的擾動量；狀態矢量xv包含的狀態變量為縱向位移xg、高度zg、航跡速度VK、航跡速度迎角αK、俯仰角速率q和俯仰角θ的基準狀態擾動量；控制矢量uv包含的控制變量為油門開度δf和升降舵偏δe的基準狀態擾動量。

式中：

其中：m為飛機質量；Iy為飛機繞y軸轉動慣量；V0為飛機基準速度；γ0為飛機基準航跡傾角；α0為飛機基準迎角；σ為發動機安裝角；Te為推力偏心距；采用“XY”的形式表示飛機各無因次的氣動導數，L為升力；C為側力；D為阻力；T為推力；Ld為滾轉力矩；Md為俯仰力矩；Nd為偏航力矩；α為飛機迎角；V為飛機速度；q為俯仰角速度；g為重力加速度。

1.2 橫側向航跡/姿態線性動力學模型

以水平協調轉彎飛行狀態為基準狀態，飛機橫側向小擾動線性化運動方程組標準矩陣形式為

(2)

式中：Δ表征基準狀態變量的擾動量，狀態矢量xh包含的狀態變量為側向位移yg、航跡速度側滑角βK、滾轉角速率p、偏航角速率r、滾轉角φ和偏航角ψ的基準狀態擾動量；控制矢量uh包含的控制變量分別為副翼偏角δa和方向舵偏角δr的基準狀態擾動量。

式中：

式中：Ix為飛機繞x軸轉動慣量；Iz為飛機繞z軸 轉動慣量；Izx為飛機交叉慣性積；φ0為飛機基準滾轉角；θ0為飛機基準俯仰角；采用“XY”的形式表示飛機各無因次的氣動導數，β為飛機側滑角；其他變量定義與縱向航跡/姿態線性動力學模型一致。

1.3 大氣風場特性模型

(3)

飛機受到的氣動力和力矩取決于當前飛行狀態，風速VW對空速VA和迎角α、側滑角β等飛行狀態都會產生影響。風場VW以及由風速沿機體的非均勻分布造成的風速梯度都能夠使飛行狀態相對無風情況發生偏移，引起附加氣動力和力矩作用。因此，常值風的作用可以等效為氣動參數的不確定性。此外，由于流體力學系統的非線性本質，必須把大氣紊流作為隨機過程進行處理,這里，采用Dryden模型描述大氣紊流的尺度與強度[18]。

2 LQG/LTR控制方法及設計流程

線性高斯二次型(LQG)方法是解決隨機線性系統最優控制問題的一種有效設計方法。隨機系統的狀態變量不能直接用于狀態反饋，必須使用卡爾曼濾波方法對其進行估計，那么，最優控制問題與最優估計問題就需共同解決。LQG方法通過分別設計最優狀態估計器和最優狀態反饋控制律構成隨機最優反饋控制系統。狀態估計器和最優狀態反饋控制律設計滿足分離定理[20]。

典型線性系統的狀態方程和輸出方程為

(4)

式中：x(t)∈Rn為狀態向量；y(t)∈Rr為輸出向量；u(t)∈Rm為控制向量；A∈Rn×n為狀態矩陣；B∈Rn×m為控制矩陣；C∈Rr×n為輸出矩陣；G∈Rn×p為過程噪聲矩陣。實際系統的動態過程與測量輸出均會受到噪聲的影響，w(t)∈Rp為過程噪聲，v(t)∈Rr為測量噪聲，其協方差矩陣如下

式中：δ(t-τ)為Dirac函數。

圖1為LQG控制器結構示意圖，LQG控制器的傳遞函數矩陣為

K(s)=Kc(sI-A+BKc+KfC)-1Kf

控制器性能完全取決于控制增益矩陣Kc和Kf，定義隨機性能指標J為

式中：Q為狀態權值矩陣，Q=QT≥0；R為輸出權值矩陣，R=RT>0。

隨機線性調節器的最優狀態反饋控制規律為

u(t)=-Kcx(t)

(5)

圖1 LQG控制器結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of LQG controller structure

狀態反饋增益矩陣Kc為

Kc=R-1BTPc

(6)

ATPc+PcA-PcBR-1BTPc+MQMT=0

(7)

此外，當系統完全可控且完全可觀時，線性系統的卡爾曼濾波器是漸近穩定的，穩態卡爾曼濾波器增益矩陣Kf為

Kf=PfCTV-1

(8)

PfAT+APf-PfCTV-1CPf+GWGT=0

(9)

對于LQG問題而言，系統控制輸入信號u(t)的作用會影響到狀態估計的效果，體現為過程噪聲協方差矩陣W增加了與控制變量有關的部分，如式(10)所示。將Γ作為新的輸入噪聲標準差向量，利用式(9)設計卡爾曼濾波器。

ΓΓT=GWGT+q2BBT

(10)

式中：q為卡爾曼濾波器調節參數。

當在LQG控制回路中引入卡爾曼濾波器后，控制器參數的不合理選擇將導致系統穩定裕度下降[21]。因此，LQG控制器設計的核心問題是協調設計最優反饋控制矩陣Kc和卡爾曼濾波矩陣Kf以同時保證系統的性能和魯棒性。LQG/LTR方法的核心思想是設計理想的補償控制器使得系統開環頻率特性能夠在系統關注的頻率范圍內逼近動態性能良好的預設目標回路[22-23]。首先需要根據指標要求設計具有良好動態性能和魯棒穩定性的最優狀態調節器回比函數，隨后設計最優卡爾曼濾波器，使得輸出端回比函數能夠在一個足夠大的頻域范圍內恢復預先設計的回比函數。當式(10)中q→∞時，系統輸出端的回比函數可以實現有效恢復，逼近期望回路特性[22]，即圖1中斷開點為2時的回比函數趨近于斷開點為1時的回比函數。

3 四維航跡/姿態一體化控制器設計

3.1 控制器構型選擇

非均勻風場流過飛機時，機身各處受到氣流作用不同，因此各部分產生的氣動力也不相同，從控制系統設計的角度而言，這種現象可以理解為一種系統參數不確定性。魯棒控制理論通常適用于參數不確定系統的控制器設計，Zhou和Ren基于Youla參數化分解理論[24]，提出了一種新型魯棒控制器構型，如圖2所示，魯棒控制器K由M，N，U，V，Q這5部分實現。

定理1[24]已知被控對象P的標稱模型為P0，P0的左互質分解為P0=M-1N，K0為能穩定標稱模型P0的一個標稱控制器，K0的左互質分解為K0=V-1U，則所有能穩定被控對象P的控制器K能表示為

K=(V-QN)-1(U+QM)

將上述新型魯棒控制器構型應用于實際系統設計，控制器設計分為兩部分，一部分是以跟蹤誤差為輸入的主控制器，主要考慮系統的性能；另一部分是以系統估計誤差為輸入的補償控制器，主要考慮對不確定性和干擾的補償，韓京清提出了自抗擾控制理論，采用擴張狀態觀測器估計補償系統不確定性和外部擾動[25]，可以通過合理設計輸出誤差校正函數或采用線性/非線性切換控制方法實時估計系統不確定性和外部擾動[25-27]，使得擴張狀態觀測量逼近系統真實存在的不確定性和擾動值。

圖2 基于Youla參數化方法的魯棒控制器構型Fig.2 Youla parameterization roubst controller structure

圖3 新型魯棒控制器構型Fig.3 Improved robust controller structure

采用新型魯棒控制器構型和自抗擾控制技術能夠兼顧系統的控制性能和魯棒性，比較適用于飛行控制這類高可靠性和安全性要求的系統，但是由于民機飛行控制系統基本工作在飛行狀態平衡點附近，航跡/姿態一體化控制器設計的目標是為了實現系統穩定，消除狀態偏差，改善動態特性。因此，考慮到氣動參數不確定性對飛行控制系統的影響，提出一種基于LQG/LTR技術的自適應控制器構型，如圖4所示，該構型在前述魯棒控制構型的基礎上，不引入觀測器實時估計系統不確定性與干擾，而采用自適應控制技術生成補償控制量ucf抑制不確定性對系統性能的影響，因此，能夠簡化飛行控制律結構，降低工程實現復雜性，進而提高飛行控制系統可靠性。

圖4 基于LQG/LTR技術的自適應控制器構型Fig.4 Adaptive controller structure based on LQG/LTR

3.2 基于LQG/LTR的自適應控制方法

引入平滑投影算子[28]設計自適應控制律。定義參數矩陣Θ為

定義光滑凸函數集F(Θ)為

參數向量Θi的有界范數極值Θmax>0，0<ε<1。

定義Ωci為帶有平滑邊界的凸緊集：

定義矩陣投影算子proj(Θ,Y)為

proj(Θ,Y)=

proj(Θi,Yi)=

Ω0i={Θi∈Rn|fi(Θi)≤0}

(11)

(12)

那么，對于所有的t≥t0，參數向量Θi(t)滿足

引理3系統式(4)同時采用反饋控制增益式(6)和卡爾曼濾波增益式(8)可以保證系統閉環狀態矩陣Ae是Hurwitz穩定，且存在正定矩陣Qe使得下式成立。

式中：

當系統存在輸入不確定性時，系統式(4)可表示為

(13)

為了抑制不確定性對系統的影響，引入自適應反饋控制律為

(14)

系統狀態方程可重新列寫為

(15)

此外，系統狀態估計器方程為

(16)

因此，系統狀態變量估計誤差方程為

關于E(t)的狀態方程為

(17)

定理2采用狀態估計器式(16)，自適應反饋控制律式(14)和自適應律式(18)可以保證廣義狀態誤差系統式(17)一致最終有界，廣義誤差向量E(t)收斂于Ω，如式(19)。如果不考慮系統噪聲，即，w(t)=0且v(t)=0時，E(t)漸近收斂于0。

(18)

(19)

Ω0=4k2λmin(Qe)-4k4Θmax-

式中：λmin(Qe)為Qe的最小特征值；k為任意正實數。

證明：定義Lyapunov函數為

ET(t)PeBe1w(t)+ET(t)PeBe2v(t)+

根據引理1，可得：

由于向量g(t)的范數存在如下關系

gT(t)g(t)≤ΘmaxET(t)E(t)

(20)

根據式(20)及引理3，可得

(-λmin(Qe)+k2Θmax+

ET(t)E(t)+k2[wT(t)w(t)+vT(t)v(t)]

當不考慮系統噪聲時，即認為w(t)=0且v(t)=0，有如下不等式成立

ET(t)E(t)dt≤

因此，E(t)∈2。由引理3可知Ae為Hurwitz穩定，那么，根據狀態方程式(17)可知，∞。根據引理2，狀態向量誤差E(t)漸近收斂于0，即

E(t)→0,t→∞

證畢。

4 民機四維航跡/姿態一體化控制器設計

PBN運行模式下的民機飛行控制系統的設計目標是精確控制航跡，減小飛行技術誤差，所以飛機縱向運動的被控變量為Δxg和Δzg，考慮到飛機側滑轉彎特性，飛機橫側向運動的被控變量為Δyg和ΔβK，那么，系統觀測方程為

式中：

觀測方程可重新表示為

式中：Ξ分別為v、h?；谧赃m應LQG/LTR方法的飛機四維航跡/姿態一體化控制器設計過程如下：

1) 期望最優調節器回路設計

根據式(5)～式(7)設計期望最優調節器回路作為標稱控制器，滿足系統性能要求。

2) 基于LTR技術的卡爾曼濾波器設計

根據式(8)～式(10)設計卡爾曼濾波器，通過合理選擇參數在大頻率范圍內恢復回比函數。

3) 自適應反饋控制律設計

在標稱控制器的基礎上，根據自適應算子式(18) 和反饋控制律式(14)設計飛機四維航跡/姿態一體化自適應控制律。

5 仿真驗證

以某型民機進近階段典型工作點為例，分別設計縱向航跡/姿態一體化控制器和橫側向航跡/姿態一體化控制器，同時進行數字仿真以驗證控制器性能，參考工作點狀態如表1所示。

表1 民機典型工作點狀態Table 1 States of operating point of civil aircraft

通過設定飛機縱向和橫側向航跡/姿態一體化控制器參數Q，R可得反饋增益矩陣Kc。通過設定飛機縱向和橫側向航跡/姿態一體化控制器卡爾曼濾波器參數W，q可得卡爾曼濾波器增益矩陣Kf。通過設定飛機縱向和橫側向控制參數矩陣G，并代入式(18)可解算系統自適應反饋控制量。

(21)

大氣擾動對飛行控制的影響可認為是飛機氣動系數存在乘性不確定性，如式(22)所示：

C=(1+0.3sint]C*

(22)

式中：C*為氣動系數標稱值；C為氣動系數實際值。

圖5～圖7為存在大氣擾動條件下飛機縱向位置誤差、高度誤差和側向位置誤差響應曲線，圖8 為存在大氣擾動條件下飛機側滑角響應曲線。

由圖可知，基于自適應投影算子的LQG/LTR控制器能夠抑制較大氣動參數不確定性對飛控系統的影響，驗證了存在大氣擾動條件下民機四維航跡/姿態一體化自適應控制方法的有效性。

圖5 存在大氣擾動條件下縱向位置誤差響應曲線Fig.5 Response curves of vertical position error under atmospheric disturbance conditions

圖6 存在大氣擾動條件下高度誤差響應曲線Fig.6 Response curves of height error under atmospheric disturbance conditions

圖7 存在大氣擾動條件下側向位置誤差響應曲線Fig.7 Response curves of lateral position error under atmospheric disturbance conditions

圖8 存在大氣擾動條件下側滑角響應曲線Fig.8 Response curves of sideslip angle under atmospheric disturbance conditions

6 結 論

1) 基于LQG/LTR技術設計飛機四維航跡/姿態一體化控制器，實現狀態估計器和反饋控制器參數匹配，解決隨機多變量系統的綜合問題。

2) 提出了基于投影算子的自適應控制方法，估計和補償大氣擾動引起的氣動參數不確定性影響。

3) 基于自適應LQG/LTR控制方法的民機四維航跡/姿態一體化控制器，能夠實現大氣擾動作用下精確四維航跡跟蹤，減少飛行技術誤差。