含凹凸非線性項的一般擬線性橢圓方程解的存在性

張翔,潘文峰

(武漢理工大學數學系,湖北 武漢430070)

1.引言

在本文中,我們研究一類擬線性橢圓方程解的存在性,其表達式如下:

方程(1.1)來自于等離子體物理學中的超流薄膜方程,詳情可見文[7-8,12]以及更多關于物理背景的參考文獻.近幾年,在文[1,3,6-7,12-16]中,對于當α= 1 且μ= 0時的方程(1.1)解的存在性進行了廣泛的研究.而當μ >0時,在文[20]中,其主要的存在結果是通過約束極小化參數得到的.在文[13]中,先通過變量替換將擬線性問題(1.1)轉化成半線性問題,然后應用山路引理,構建一個Orilicz空間框架來證明正解的存在性.此外,通過應用變換替換,文[2,4,10]對于一般情況下的方程(1.1)也進行了深入的研究.與一般半線性橢圓方程相比,(?(|u|2α))|u|2α?2u的存在使得方程(1.1)更具挑戰性.在文[18]中,對于γ= 1時的方程(1.1),YANG等應用文[15]中的變量替換和文[5]中截斷函數方法,然后通過臨界點理論證明了在4α 0,(1.1)存在一個正解.但是在文[18]中,對于2

在本文中,我們應用文[5,15-16]中的方法,研究方程(1.1)在的情況下解的存在性,并且我們將指數條件延伸到了2到2α之間.

我們假設位勢函數V滿足

關于方程(1.1)解的存在性,我們有如下結果:

定理1.1假設位勢函數滿足條件(V1),并且則存在一個γ0,使得當γ ∈(0,γ0)時,方程(1.1)存在一個正解uγ(x),且此解滿足：

2.變量代換

當p ∈(2,2?)時,我們定義一個輔助函數gγ(t) : R→R+,如下:

其中η(t)∈C∞0(R,[0,1]) 是一個截斷函數.

首先,我們能夠建立一個適當的截斷函數ζ(t),令

然后可得ζ(t)∈C∞(R,[0,1]),0≤ζ(t)≤1,并且有

令ζ′(0) =ζ′(1) = 0,可得ζ′(0)≥0在[0,1]上一致有界.因此,存在一個C0>0,使得對于任意t ∈R,都有|ζ′(t)|≤C0.

若4α>p,我們可令

則ρ(t)∈C∞(R+,[0,1]),并且

最后,我們取

可得

考慮t ∈R+的情況,明顯有

可知當t ∈R+時,η(t)∈C∞0(R,[0,1]) 并且η′(t)t ≤0.此外,當t ∈R+時,通過(2.2)可得

接下來,我們考慮擬線性薛定諤方程正解的存在性：

通過gγ的定義,我們可知,若則方程(2.3)可變為方程(1.1).

若p ≥4α,我們可令

類似地,我們可得:

所以,我們的目標就是證明方程（2.3）存在一個正解,且此解滿足:

我們注意到,(2.3)是一個歐拉方程,并且其相關的自然能量泛函

在H1(RN)上具有很好的定義.

設

我們發現,其反函數(t)存在,并且是個奇函數.同時,Gγ,(R,R).

引理2.1Gγ(t) 存在如下性質:

當p<4α時,對任意的t ∈R,有

當p ≥4α時,對任意的t ∈R,有

證關于(2.4)(2.5)(2.7)的證明過程跟文[7]中的引理2.1相似,故省略.

對于(2.6),通過gγ的定義和(2.1),我們可得

對于(2.8),由于p ≥4α,很明顯有(p ?2)+(4p ?16α)α2γt2(2α?1)>0.因此

證畢.

通過引入變量代換u=(v),我們觀察到,泛函Iγ能被改寫成如下形式:

通過引理2.1,我們可知Jγ在H1(RN)空間上有較好的定義,J ∈C1(H1(RN),R),并且對于所有的v,ψ ∈H1(RN),有

引理2.2如果v ∈C2(RN)∩H1(RN) 是Jγ的一個臨界點,那么u=(v)∈C2(RN)∩H1(RN),并且u是方程(2.3)的一個經典解.

證將(t)∈C2(RN)的事實與引理2.1相結合,我們能直接計算出u=(v)∈C2(RN)∩H1(RN).

如果v是Jγ的一個臨界點,那么對于所有的ψ ∈H1(RN),

對于每一個(RN),我們令ψ=gγ(u)φ ∈C20(RN)?H1(RN) 并將其代入(2.9) 可得

所以u是方程(2.3)的一個經典解.證畢.

因此,為了找到方程(2.3)的正解,研究下面方程的存在性就足夠:

3.定理證明

引理3.1Jγ滿足山路幾何條件.

證通過(2.5)(2.7),我們可知以下兩點成立:

每個省份調查至少覆蓋40%地級市，每個地級市至少覆蓋1個城區和1個縣，覆蓋小學、初中、高中全年級……近日，三部委組織開展兒童青少年近視調查工作，摸底掌握各地近視率基數。此前印發的《綜合防控兒童青少年近視實施方案》要求，在核實2018年兒童青少年近視率基礎上，從2019年起將近視防控納入政府考核。這正是：

(i) 在H1(RN) 中,當v →0 時,如果p <4α,則有如果p ≥4α,則有

(ii) 存在一個e ∈H1(RN),使得

因此,Jγ滿足山路幾何條件.證畢.

根據引理(3.1),應用山路引理[19],然后可知存在一組(PS)cγ序列vn ?H1(RN),即存在一個序列使得Jγ(vn)→cγ和J′γ(vn)→0,其中cγ是Jγ的山路水平,具體表示如下:

其中

引理3.2Jγ的任意一組(PS)cγ的序列都是有界的.

證設vn是Jγ的一組(PS)cγ序列,可得

其中當n →∞時,on(1)→0.令通過性質(2.6)和(2.7),我們可得

因此ψn ∈H1(RN).選擇ψ=ψn作為一個測試函數代入(3.2),可得

若p<4α,通過(2.5)(2.6),再結合(3.1)和(3.3),我們能夠得到

類似地,若p ≥4α,有

所以vn在H1(RN) 空間上是有界的.證畢.

根據引理3.2,取vγ的某一子列仍用vγ來表示,存在一個vγ ∈H1(RN)使得在空間H1(RN)中vn →vγ,在空間Lsloc(Rn)中vn →vγ,s ∈[1,2?).由此可知,在?:= suppψ上幾乎處處有vn →vγ,并且存在一個ws ∈Ls(?),使得在?上,對于任意的n,幾乎處處滿足|vn(x)|≤|ws(x)|.

我們現在證明,對于任意的ψ ∈C∞0(RN),都有?J′γ(vn),ψ?= 0,即vγ是Jγ的一個臨界點.注意,當n →∞時,我們可得,在?上幾乎處處有

此外,根據引理2.1中的性質(2.6),我們有,在?上幾乎處處有

現在,結合(3.4)-(3.6),勒貝格控制收斂定理,以及在空間H(RN)上的弱收斂vn ?vγ,我們可得,當n →∞時,?J′γ(vn),ψ? →?J′γ(vγ),ψ?.又因為當n →∞時J′γ(vn)→0,于是有J′γ(vγ) = 0.在前面的推導過程中,用|vn|代替vn依然成立,于是可令在空間RN中vn ≥0.因此,vγ ≥0.

引理3.3vγ >0.

證若vγ ≡0,根據文[15],可知vn也是關于泛函:H1(RN)→R 的一組(PC)cγ序列,其中

其次,我們聲明存在α,R>0 以及yn ?RN使得

假設上述聲明的不成立,那么對所有的R>0,

然后根據Lions緊性引理[11],可知對任意的s ∈(2,2?)在Ls(RN)上都有vn →0.再結合引理2.1,我們得到

以及

根據引理2.1中的性質(2.4),可知對于任意ε >0,總存在一個對應的δ >0 使得當|vn(x)| <δ時,我們有

另一方面,我們還有

由于ε的任意性,結合(3.10)和(3.11),可得

因此,我們推斷出

再結合(3.8),(3.9)和(3.12),我們得到Jγ(vn)→0,這與已知的Jγ(vn)→cγ >0 相矛盾.所以證明前面的聲明是成立的.

設

根據文[20]中定理1.6,可得E(v)是弱下半連續的,然后根據Fatou引理,我們可知

因此,

根據來自文[9]中的論點,我們能夠建立一個山路路徑χ(t):[0,L]→RN,且其滿足:

(I)χ(0)=0,(χ(L))<0,∈χ([0,L]);

(II)χ(t)(x)>0 for allx ∈RN,t ∈[0,L];

(III) maxt∈[0,L](χ(t))=(v).

參照文[9],我們定義

然后我們可得

設χ(t)(x)=(x),我們看到

因此χ(t)∈C([0,∞),H1(RN)),并且有

于是,當t ∈(0,1) 時當t>1 時所以,當L>1 足夠大時,我們就得到了所需的山路路徑.定義

在t經過適當的尺度變化之后,我們可以假設χ(t)∈?！?同時,

最后,我們就得到了滿足(I)(II)(III)的山路路徑χ.根據這個限制,我們可以假設V(x)≤V∞成立,但是不成立(否則就不需要證明了).因此,χ(t)∈?！?Γ.我們可得

這個式子明顯自相矛盾,所以我們能肯定vγ0,根據Hopf引理,我們得到vγ >0.證畢.

接下來,我們要證明vγ在范數L∞上具備一致有界性.首先,我們證明其梯度的一致有界性.

引理3.4存在一個跟γ >0 不相關的常數f,使得vγ滿足

證當p<4α時,由于vγ是Jγ的一個臨界點,那么

因此,可以推斷出

另一方面,根據(2.5),我們可得

注意,方程

是一個歐拉方程,其相關能量泛函為P(v).在文[9]中,Jeanjean 和Tanaka 證明了d是P(v) 的最小能級.

考慮集合

由于Γ ?Γγ,于是有

因此,我們得到

根據(3.15)和Sobolev不等式,我們可得

其中S是最優Sobolev常數.

類似地,當p ≥4α時,我們能夠得到

證畢.

引理3.5存在一個跟γ不相關的常數K >0,使得‖vγ‖∞≤K.

證為了方便,我們用v來表示vγ.對于任意的m ∈N和β >1,令Am={x ∈RN:|v|β?1≤m}以及Bm=RNAm.定義

很明顯有vm ∈H1(RN),vm ≤|v|2β?1以及

將vm作為一個測試函數代入(3.2),我們可得

由(3.19),可得

設

然后可知w2m=vvm ≤|v|2β以及

因此,

然后根據(3.21) 和(3.22),可得

結合(2.5)(2.7)(3.20)(3.21)以及(3.23),由于β >1,我們可得

通過(3.15)(3.16)可知,對于任意的m ∈[2,2?],都有

因為在RN中以及在Am中|wm|=|v|β,所以我們有

根據單調收斂定理,讓m →∞,我們可得

令β=σ2并代入(3.26),可得

結合(3.27) 和(3.28),可知

分別令β=σi(i=1,2,...) 并重復代入(3.26),我們可得

因此,根據(3.13),使用Sobolev 不等式并且作j →+∞的極限,我們可得

其中K >0 跟γ不相關.證畢.

定理1.1的證明當p <4α時,令我們可知,對所有的γ ∈(0,γ0),都有

當p ≥4α時,令我們可知,對所有的γ ∈(0,γ0),都有

綜上所述,我們可得,若γ ∈(0,γ0),則所以uγ=(vγ)是方程(1.1) 的一個正解.