帶有積分邊值條件的分數階微分方程正解的存在性

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(山東科技大學 數學與系統科學學院，山東 青島 266590)

近年來，分數階微分方程被廣泛應用到各個研究領域，如流體力學、生物數學、控制和工程等。許多學者對分數階微分方程解的存在性問題做了大量研究，并且已經獲得了很多成果[1-17]。其中，不少文獻研究帶有積分邊界條件的分數階微分方程正解的存在性[1-4，7-8，12-17]。

文獻[1]研究了一類具有積分邊界條件的分數階微分方程邊值問題正解的存在性，通過利用Guo-Krasnoselskii不動點定理得到了該問題至少有一個正解存在。文獻[2]研究了具有非局部項的奇異非線性共軛型分數階微分方程正解的存在性，通過建立極大值原理、構造上下解并運用Schauder不動點定理得到了至少有一個正解存在的充分條件。文獻[3]利用單調迭代方法及與格林函數有關的不等式獲得了非線性分數階邊值問題有兩個非平凡解的存在性，而文獻[2-3]的邊界條件里都含有Riemann-Stieltjes積分。文獻[4]和[7]中，作者運用Leggett-Williams 不動點定理得到了Caputo型分數階微分方程多個正解的存在性，且文獻[7]運用Guo-Krasnoselskii不動點定理及上下解方法獲得了該問題正解的唯一性和存在性。文獻[8]中，作者運用上下解方法及Leray-Schauder度理論獲得了分數階微分方程的積分邊值問題至少有三個正解的存在性。

從上面的文獻分析可以看出，研究帶有積分邊界條件的分數階微分方程的相關成果已經有很多。但是，這些工作均建立在非線性項中不顯含導數項的前提下。而本研究方程的非線性項中顯含一階導數項，這是與以上所有文獻的不同之處。以上文獻處理帶有積分邊界條件的分數階微分方程所使用的方法不適用于處理非線性項中顯含一階導數項，而本文給出了該問題的處理方法。此外，給出的非線性項條件比文獻[4，7]中的更弱，是對現有文獻的一個推廣，也更具有普遍性。

本文研究如下分數階微分方程邊值問題解的存在性：

(0.1)

u(0)=u(1)=0；

(0.2)

(0.3)

其中f:[0,1]×R+×R→R+,α1>β1>0,γ1>δ1>0,g,h∈C([0,1],R+), 導數。運用推廣的 Leggett-Williams 不動點定理，得到了邊值問題(0．1)～(0．3)至少存在三正解u1(t)，u2(t)，u3(t)，最后給出數值例子來驗證給出結果的正確性和有效性。

1 預備知識

定義1．1設γ:P→[0,∞)是P上的一個非負連續泛函，若對所有x,y∈P，0≤t≤1，有γ(tx+(1-t)y)≥tγ(x)+(1-t)γ(y)，則稱γ為P上的一個非負連續凹泛函。

定義1．2設α:P→[0,∞)是P上的一個非負連續泛函，若對所有x,y∈P，0≤t≤1，有α(tx+(1-t)y)≤tα(x)+(1-t)α(y)，則稱α為P上的一個非負連續凸泛函。

設α,β:P→[0,∞)是兩個非負連續凸泛函，對給定正常數r，L，M，以及u∈P，有

(1.1)

Ω={u∈P|α(u)

(1.2)

顯然Ω是P上的非空有界子集。

定義1．3[9]給定常數r>a>0，L>0，α,β:P→[0,∞)滿足(2．1)，(2．2)，γ是P上的一個非負連續凹泛函，定義如下有界凸集：

P(α,r;β,L)={u∈P|α(u)

P(α,r;β,L;γ,a)={u∈P|α(u)a}，

引理1．1[11]微分方程

u″(t)+y(t)=0，0

u(0)=u(1)=0，

且G(t,s)有如下性質：

1)G(t,s)≤G(s,s)，0≤t≤1；

本文始終假設如下條件成立：

(A0)κ=κ1κ4-κ2κ3>0，κ1≥0，κ4≥0，其中

引理1．2[4]微分方程

引理1．3[4]令

則有：

由引理1．1和1．2易得如下結果。

引理1．4微分方程(0．1)～(0．3)對應的線性方程

u(0)=u(1)=0，

2 主要結果

本節將運用推廣的 Leggett-Williams 不動點定理來得到問題(0．1)～(0．3)的解。

則問題(0．1)～(0．3)至少有三個正解u1，u2，u3，滿足

因此

對于

結合引理1．1，引理1．3及(A3)，有

因此(2．1)式滿足定理1．1中的條件(iii)。

3 例子

考慮如下形式的邊值問題:

(3．1)

u(0)=u(1)=0，

(3．2)

(3．3)

其中，q=3.5，α1=γ1=2，β1=δ1=1，h(t)=t3，g(t)=t2，

經驗證:

(H1)～(H3) 滿足定理2．1的所有條件。因此問題(3．1)～(3．3)至少存在三個正解。