有價值的解題線索藏哪兒了?

福建省德化第一中學(362500) 吳志鵬

廣東省汕頭市澄海華僑中學(515800) 潘敬貞

線索是什么? 警察辦案就是要找案犯留在現場的蛛絲馬跡，這蛛絲馬跡就是破案線索；類比數學的解題，那么線索又是什么呢? 線索就是命題者留下的讓學生有線可尋的解題提示，當然命題者在題目中提供的線索并不單一，時而簡單時而復雜，那么怎樣的線索才是有價值的? 這就需要學生在解題時擦亮慧眼、抽絲剝繭.數學有價值的解題線索就隱藏在題目的字里行間，然而在這方寸之間較量的卻是命題者與解題者的智慧.本文就解題線索幾種常見的隱藏方式作整理，以供讀者參考.

一、結構相近有玄機

類似的結構，相似的“面孔”，很快就能讓我們聯想起已學過的某一定義、公式、函數等，由此我們可對題目所給的式子進行改造，轉化為熟悉的知識進行求解.“類似的結構”在解題中為我們提供了有價值線索的來源.

例1函數的圖像如下圖所示，下面數值排列正確的是( )

A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)-f(2)

B.0＜f′(3)＜f(3)-f(2)＜f′(2)

C.0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)-f(2)

D.0＜f(3)-f(2)＜f′(2)＜f′(3)

圖1

分析初見本題，會讓人有一種“摸不著頭腦”的感覺，很難將f′(2)、f′(3)與f(3)-f(2)聯系起來.但如果從導數的定義入手我們就可以見到熟悉的結構并獲得解題線索.

例2已知則a、b、c的大小關系是____.

分析由a、b、c的結構特征可以聯想到函數(x＞0)，此時可以通過求解函數的導數來判斷其單調性，再利用單調性進行大小比較就可以了.

二、縱橫聯系隱玄機

解題時我們常常通過分析問題所包含的知識，通過知識間的縱橫聯系：如條件間橫向的知識聯系，條件與結論間縱向的知識聯系等來尋找有價值的解題線索，使得解題思路“豁然開朗”.

1.條件與條件之間的知識聯系

例3在△ABC中，∠B=60°，AC=，則AB+2BC的最大值為____.

分析從題目的條件中我們發現了邊角的關系，且為對邊、對角的關系，利用這個橫向的知識聯系，我們找到了使用正弦定理來解決問題的有效線索.在△ABC中，即所以AB=2 sinC，BC=2 sinA，所以AB+2BC=2 sinC+4 sinA=2 sin(120° -A)+4 sinA=cosA+5 sinA=所以AB+2BC的最大值為

2.條件與結論之間的知識聯系

例4設Sn是等差數列{an}的前n項和，若則=____.

分析本題所給的條件與an相關，而所求結論則與Sn相關，分析條件與結論之間縱向的知識聯系，我們找到了用an與Sn的聯系來解決問題的合理線索.

解

三、數字設計現玄機

數字是構成數學問題的重要元素，命題者往往會利用特殊的數字來設置問題，所以我們要細心的觀察、大膽猜想，尋找數字之間可能出現的聯系，以期找到有價值的解題線索.這些充滿智慧的數字給我們設置了一扇扇的“窗”，打開之后便是一道道美麗的“風景”.

例5已知數列{an}的首項為a1=1，且an+1=(n=1,2,3,···)，求a2018的值.

分析本題已知的是數列中a1的值，要求的是a2018的值，下標數字的跨度比較大，如何實現兩個數字的對接，選擇采用求數列的通項的方法，或是采用歸納推理，或是通過求數列的周期來實現對接都有可能.數字的變化情況就為我們的解題尋找到了三條常見而又有用的線索.

解法一當n=1 時，a1=1； 當n=2 時，當n=3 時，當n=4時，由此我們可歸納猜想出數列的通項公式為所以

法二由得所以是等差數列.可求得所以a2018=

例6已知f(x)是定義在實數集上的函數，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，若求f(2015)的值.

分析同上述思路一樣為了實現兩個跨度較大數字的對接，我們可求函數的周期，再利用周期求函數值.

解由條件可知所以f(x)=f(x-8)，所以函數的周期為8.所以f(2015)=f(8×251+7)=f(7)=f(-1)=

例7求證：

分析把不等式兩邊的數字進行對比，不難發現數字的設計上存在一定的玄機：左邊各式的分母相同，分子是從1 到2017 的一個等差數列.觀察這個式子我們可以知道：1+2+3+···+2017==1009×2017，所以所以對比不等式兩邊的項數可猜想：由上述結構我們可證：x ∈(0,1)，sinx＜x即可.

四、項數比較含玄機

有時式子的項數也隱藏著某些解題的信息，通過項數的比較，感知式子結構的變化，以便我們能夠較好的選擇解決問題的思路、方法.

例8定義在(-1,1)上的函數f(x)滿足：①對任意x,y ∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=當x ∈(-1,0)時，有f(x)＞0.證明：

分析本題易證函數f(x)是定義域內的奇函數且單調遞減，從本題要證明的不等式左右兩邊的項數可知：左邊有n項，而右邊只有一項，可猜想左邊的式子能夠通過求和或是裂項相消等辦法將項數合并，顯然，通過求和的方法解決難度較大，那么只能采用裂項相消求和再證明，項數的比較為本問題的解決指明了方向.依所給式子裂項如下：再求和(過程從略).

例9a,b,c為不全相等的正數，且abc=1，求證：

分析將abc=1 代入不等式的左邊可得：bc+ac+ab＞觀察式子兩邊的項數知：左右兩邊都是三項，若能證明不等式左邊的每一項均大于右邊相對應的項，問題就能迎刃而解，可結論是否定的.回顧基本不等式a,b ∈R+，左邊的項數是右邊的兩倍，如此只要將不等式左邊的項數變為右邊的兩倍，就可通過基本不等式加以證明.

證明因為abc=1，要證：只需證：即證：2(bc+ac+ab)＞即證：(ac+ab)+(bc+ab)+(bc+ac)＞因為a、b、c為不全相等的正數，所以且上述三式不能同時取得等號.所以成立.所以原命題成立.

五、形似解法有玄機

數學中有許多“形似”的問題，對于這些結構相似，又存在明顯差異的問題，我們有時也可以嘗試用解決“原型”的方法去求解與其“形似”的問題，也許能夠收到良好的解題效果.

例10求函數的值域?

分析型如函數值域的求法，我們比較熟悉，可用分離常數的法求解，其值域為{那么題中所給的式子與之“形似”，但又有差異，可否遷移其解題方案或結論呢? 結果是：解題方案可以遷移，結論不可“復制”.

解因為x2+1 ≥1，所以所以所以函數的值域為{y|-1＜y≤1}.

例11(2010 全國卷I 第10 題)已知函數f(x)=lg|x|，若0＜a＜b且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是( )

分析由f(a)=f(b)得lg|a|=lg|b|，又因為0＜a＜b，所以所以0＜a＜1＜b且ab=1.要求的是a+2b的取值范圍.根據題目的式子的結構特征我們可類比線性規劃：若x、y滿足求z=x+2y的取值范圍.由于類比后我們觀察得知，其可行域并不是一個區域而是曲線xy=1(0＜x＜1)的一段，對于這樣的一種可行域，嘗試采用線性規劃的方法進行求解也是可行的.

解分析線性目標函數可得而此時即在(0,1)單調遞減，所以過點(1,1)時z的值最小為3，但等號取不到.所以a+2b的取值范圍為(3,+∞)，選擇C.

結語分析問題的目的是為尋找有價值的解題線索(解題思路的突破口)，有價值的解題線索是順利解決問題的前提，這個過程充滿了與命題者智慧的較量.平時我們只有勤于思考、勤于實踐、善于觀察總結，方可從試題相近的結構、題目涉及知識的縱橫聯系、題干中數字的設計、式子的項數以及形似的解法等特征中快速找到有價值的解題線索，獲得解題思路.