直覺模糊序決策系統的部分一致約簡*

杜文勝

鄭州大學 商學院，鄭州 450001

1 引言

粗糙集理論[1]是由波蘭學者Pawlak提出的一種能夠處理不精確、不確定和不完備信息的軟計算工具。該理論現已成功應用于人工智能、數據挖掘、模式識別與管理決策等領域[2-3]。需要指出的是，經典的粗糙集理論以等價關系（不可區分關系）為基礎，然而，在現實世界中很多問題是基于優勢關系的，如學生評教、教師職稱評定以及學校學科評估。為了解決這類問題，Greco等提出了優勢粗糙集理論[4]，經過近二十年的發展，現已發展成為粗糙集理論的一個重要分支[5]。

保加利亞學者Atanassov提出了直覺模糊集的概念[6]，它提供了元素屬于此模糊概念的隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三方面的信息，可同時表示肯定、否定和介于肯定與否定之間的猶豫性。由于其在處理模糊性和不確定性等方面的靈活性和實用性，有關該理論的研究受到了國內外相關領域學者的極大關注，并被應用于醫療診斷、專家系統、近似推理、機器學習和市場預測等領域[7-8]。

近年來，將優勢粗糙集理論與直覺模糊集理論相結合成為研究的一個熱點[9-11]，研究的主題是直覺模糊序信息系統的屬性約簡，其中包括一致直覺模糊序決策系統的相對約簡。針對不一致直覺模糊序決策系統，國內學者提出了分布約簡和最大分布約簡，并證明了二者的等價性[12-13]。另外，與基于等價關系的不一致系統類似[14-15]，序決策系統還存在分配約簡[16]、部分一致約簡[17]以及其他形式的約簡[18-20]。徐偉華等將分配約簡引入到直覺模糊序決策系統[21]，并將部分一致約簡推廣到區間值模糊序決策系統的情形[22]，但對直覺模糊序決策系統目前尚未展開相關的討論。

本文提出直覺模糊序決策系統的部分一致約簡，得到了部分一致約簡的判定定理，然后構造部分一致辨識矩陣和辨識函數，建立了求解直覺模糊序決策系統所有的部分一致約簡的具體方法，并通過實例驗證該方法的有效性。同時，證明了下約簡和下近似約簡與部分一致約簡等價，從而進一步豐富了優勢粗糙集理論。

2 直覺模糊序決策系統

傳統的模糊集[23]給出了論域中元素的隸屬度，而直覺模糊集不僅給出了隸屬度，而且還給出了非隸屬度。

定義1[6]論域U上的直覺模糊集是下列形式的對象：

其中，uA(x)為x屬于A的隸屬度，vA(x)為x的非隸屬度，并且滿足關系式0≤uA(x)+vA(x)≤1,?x∈U。

定義 2[24](格(L*,≤L*))為方便說明，記L*={(x1,x2)∈ [0,1]2|0≤x1+x2≤1}，L*上的序關系≤L*如下：

定義3稱四元組S=(U,C?{d},V,f)是一個直覺模糊序決策系統，其中U為有限非空對象集；C為有限非空條件屬性集，d為決策屬性，且C?{d}=?;V為屬性值值域；f為對象屬性值映射。即，U={x1,,Vc為條件屬性c的值域，其中每個元素均為直覺模糊元[25]，且它們之間的序關系由定義2確定。對象屬性值映射f:U×C→V,且 f(x,c)∈Vc,即 f(x,c)=(uc(x),vc(x)),?x∈U。決策屬性值映射f(x,d)∈{1,2,…,m},值域為有序實值。

若vc(x)=1-uc(x),?x∈U,?c∈C,則該系統退化為普通的模糊序決策系統。

定義4如果成立，稱x關于屬性c占優y，并記為x?cy。稱x關于屬性集A占優y，記為x?Ay，若x?cy,?c∈A。

注1由于≤L*是L*上的一個偏序關系，x?cy與y?cx可能同時不成立。

在直覺模糊序決策系統中可定義關于條件屬性集和決策屬性的優勢關系，記：,。記為關于條件屬性集A占優x的集合，則。另外,其中。

定義5[11]設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，,則關于條件屬性集B的下近似為：

定義6[9]設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，若,則稱該系統為一致的，否則該系統為不一致的。

直觀地，直覺模糊序決策系統是不一致的，如果存在x,y∈U,有x?Cy,但是 f(x,d)

Table 1 Intuitionistic fuzzy ordered decision system表1 直覺模糊序決策系統

例1如表1所示，S=(U,C?{d},V,f)是一個直覺模糊序決策系統，其中，U={x1,x2,…,x8},C={a1,a2,…,a5}。

3 部分一致約簡

設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，對x∈U,B?C，記：稱δB(x為)x關于條件屬性集B的部分一致函數。

例2計算表1給出的不一致直覺模糊序決策系統中各元素關于屬性集C的部分一致函數。

經計算得：

因此：

命題1設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統：

（1）若B?A?C,則對任意x∈U有δB(x)?δA(x)。

（3）直覺模糊系統為一致的充要條件是δC(x)=其中i=f(x,d)。

定義7設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，若對任意x∈U有δB(x)=δC(x),則稱B為系統S的部分一致協調集。更進一步，若B的任何真子集均不為部分一致協調集，則稱B為系統S的部分一致約簡。

命題2設S=(U,C?{d},V,f)是一致直覺模糊序決策系統，則B為部分一致協調集?B為相對協調集。

證明若,則稱B為相對協調集[9]。B為相對協調集

推論1設S=(U,C?{d},V,f)是一致直覺模糊序決策系統，則B為部分一致約簡?B為相對約簡。

證明若B為部分一致約簡，則B為部分一致協調集，而B的任何真子集均不為部分一致協調集，由命題2得：B為相對協調集且B的任何真子集均不為相對協調集，因此B為相對約簡。反之亦然。

推論1表明部分一致約簡為相對約簡在不一致系統中的有效推廣。下面給出部分一致約簡的判定定理。

定理1設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，則B為部分一致協調集?對任意x,y∈U,當δC(y)? δC(x)時，有[x]≥B?[y]≥B。

證明“?”（反證法）若當時，有,進而由命題 1（2）得。由 B為部分一致協調集，于是有δB(x)=δC(x),?x∈U。綜上可得 δC(y)?δC(x),這與假設 δC(y)?δC(x)相矛盾，因此結論成立。

“?”若對任意 x,y∈U,當 δC(y)?δC(x)時，有成立 。因此當，可得

另一方面，由命題1（1）有δB(x)?δC(x)，綜上所述有δB(x)=δC(x)，即B為部分一致協調集。

定義8設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，記D*δ={(x,y)|δC(y) ? δC(x)}，定義：

稱Dδ(x,y為)對象x和y的部分一致辨識屬性集。矩陣Dδ={Dδ(x,y)|x,y∈U}為該系統的部分一致辨識矩陣。

例3計算表1給出的不一致直覺模糊序決策系統的部分一致辨識矩陣。

Table 2 Partially consistent discernibility matrix表2 部分一致辨識矩陣

由 例 2 知 D*δ={(x1,x2),(x1,x8),(x3,x1),(x3,x2),(x3,x7),(x3,x8),(x4,x1),(x4,x2),(x4,x7),(x4,x8),(x5,x1),(x5,x2),(x5,x7),(x5,x8),(x6,x1),(x6,x2),(x6,x7),(x6,x8),(x7,x2),(x7,x8)}。由此可計算此直覺模糊序決策系統的部分一致辨識矩陣，如表2所示（為簡化表達，辨識矩陣中?未列出）。

定理2設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，B?C,則B為部分一致協調集?對任意(x,y)∈D*δ,有B?Dδ(x,y)≠?。

證明“?”對任意(x,y)∈D*δ,即 δC(y)?δC(x),由 B 為部分一致協調集則 [x]≥B?[y]≥B。因此存在a∈B,使得(x,y)?R{a},≥即 a∈Dδ(x,y)。于是有B?Dδ(x,y)≠?成立。

“?”若對任意 (x,y)∈D*δ即 δC(y)?δC(x),有B?Dδ(x,y)≠?,則存在a∈B使得(x,y)?R{≥a},因此x? [y]≥a,且x?[y]≥B。另外，顯然 x∈[xa]≥B，從而[x]≥B?[y]≥B。由定理1知B為部分一致協調集。

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定義9設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，Dδ為S的部分一致辨識矩陣，記：

稱Fδ為該決策系統的部分一致辨識函數。

定理3設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，Fδ為該決策系統的部分一致辨識函數，Fδ的最小析取范式為：

證明直接由定理2和最小析取范式的定義可得。

例4計算表1給出的不一致直覺模糊序決策系統所有的部分一致約簡。

可以計算得：

即此系統的部分一致約簡為{a2,a4}和{a4,a5}。

接下來將本文提出的部分一致約簡與其他形式的約簡進行比較。對象x關于條件屬性集B的（最大）分布函數為[12-13]：

根據計算得：

系統的（最大）分布約簡和分配約簡為各對象均保持與關于C的（最大）分布函數和分配函數相同的極小子集[12-13,21]?？梢则炞C{a2,a4}為系統的（最大）分布約簡，{a2,a3}和{a2,a4}為系統的分配約簡?？梢宰C明（最大）分布約簡為部分一致協調集。事實上，B為（最大）分布約簡，則根據定義7，顯然B為部分一致協調集。另外，可以驗證{a2,a3}不為部分一致約簡，而{a4,a5}也不為分配約簡，因此，部分一致約簡和分配約簡之間并無關聯。

4 部分一致約簡的等價定義

本章介紹與部分一致約簡等價的兩種約簡形式。

設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，對B?C，記：

命題3設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統：

（1）對任意B?C，有1≤λB≤m。

定義10設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，對B?C，若λB=λC，則稱B為系統S的下協調集。更進一步，若B的任何真子集均不為下協調集，則稱B為系統S的下約簡。

定理4設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，則B為部分一致協調集?B為下協調集。

證明“?”設B為系統的部分一致協調集，即對任意x∈U有δB(x)=δC(x)。則對任意Di≥(i≤m):

“?”設B為下協調集，則λB=λC成立。即：

因此δB(x)=δC(x),B為系統的部分一致協調集。

推論2設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，則B為部分一致約簡?B為下約簡。

證明證明過程和推論1的證明類似。

在文獻[11]中，Xu等引入了下近似協調集和下近似約簡的概念，下面證明這兩個概念分別與下協調集和下約簡等價，進而與本文介紹的部分一致協調集和部分一致約簡分別等價。

定理5設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，則B為下近似協調集?B為下協調集。

證明B為下近似協調集，即B為下協調集。

推論3設S=(U,C?{d},V,f)是直覺模糊序決策系統，則B為下近似約簡?B為下約簡?B為部分一致約簡。

證明證明過程和推論1的證明類似。

例5驗證{a2,a4}和{a4,a5}為表1給出的不一致直覺模糊序決策系統所有的下約簡和下近似約簡。

可以計算得：

取B={a2,a4}或{a4,a5},則：

因此，{a2,a4}和{a4,a5}為系統的下協調集和下近似協調集。同時可以驗證任何真子集均不為下協調集或下近似協調集。

另外，可以驗證C的其他子集均不為下約簡或下近似約簡。因此，{a2,a4}和{a4,a5}為系統所有的下約簡和下近似約簡。

5 結束語

本文提出了基于優勢關系的直覺模糊決策系統的部分一致約簡，證明了其在系統一致的情形下與相對約簡等價，給出了部分一致約簡的判定定理，提供了利用部分一致辨識矩陣和辨識函數求解系統所有的部分一致約簡的方法，進一步豐富了優勢粗糙集理論的研究內容。同時，討論了部分一致約簡與（最大）分布約簡以及分配約簡應滿足的條件間的強弱關系。具體地，（最大）分布約簡的條件較部分一致約簡的條件強，而部分一致約簡與分配約簡間無強弱關系。另外，給出了部分一致約簡的兩種等價形式：下約簡和下近似約簡。從其他角度闡釋部分一致約簡是決策系統的一種有意義的約簡。