考慮范德華力的微型活齒傳動系統應力分析

曹富林 史旭飛 許立忠

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

0 引言

微加工技術的發展(如光刻、電鑄和注塑(LIGA)等三維微加工技術逐漸成熟)促進了基于微機電系統(MEMS)技術的微型電機、微型渦輪等微型旋轉機械的發展，為微結構中各種能量之間的轉換、微動力輸出以及大幅度位移運動的實現提供了可能。1988年，FAN等[1]利用微加工技術研制出了直徑僅100 μm左右的硅微機械馬達(以靜電力作為驅動力)，該馬達的問世標志著微機電時代的開始。微傳動結構是微驅動器核心部件，微驅動器在微機器人、航空航天以及生物醫學領域均具有廣闊的應用前景。2012年，KAGAN等[2]成功制造出以鈦、鎳、金為材料的管狀微型發動機，其外徑為40 μm，并以脈沖超聲波為驅動力實現了對發動機的驅動。2013年，GARCA等[3]研制出以催化聚合物、鎳、鈦為材料的微管發動機，可通過磁場引導輸送分子進行細胞免疫測定。2014年，MHANNA等[4]制成一種鎳鈦合金螺旋微電機，該電機以電磁動力驅動。2017年，MA等[5]研制出過氧化氫酶驅動的Janus顆粒納米電動機，其尺度在90 nm以下。TU等[6]利用口腔細胞幾何形狀的非對稱性，制造出一種細胞馬達，尺度僅有幾十個微米。

活齒傳動作為一種結構新穎、傳動效率高、結構緊湊的傳動機構[7]，其微型化研究具有重要意義?？茖W界一直把研究的重點放在如何制造、控制和操縱微/納米執行器，對微執行器的物理特性和力學性能的研究較少[8]。DELRIO等[9]和金凱等[10]的研究表明：當器件的尺寸減小至納米級別時，范德華力對器件工作性能的影響不能忽略不計。為此，本文提出了考慮范德華力的活齒結構力學模型，通過對微型活齒機構的靜力分析、接觸應力分析，得到考慮范德華力的活齒受力及接觸應力變化規律，并探討了不同幾何參數下范德華力對活齒受力狀態的影響。

1 系統結構和傳動原理

微型集成活齒傳動結構見圖1，由波發生器H、活齒架S、中心輪K、活齒G四部分組成。

圖1 活齒傳動模型示意圖Fig.1 Movable tooth transmission model diagram

圖1中，機構運轉時，波發生器H在驅動力的作用下逆時針轉動，波發生器H與活齒G產生徑向推力，推動活齒G在活齒架S的徑向導槽內移動，活齒G與中心輪K的波齒嚙合，反推活齒架S順時針轉動，波發生器H的連續旋轉迫使活齒G在活齒架S的導槽內往復移動，使活齒架獲得連續的旋轉運動，從而帶動與活齒架固連的輸出軸產生連續旋轉，完成運動和動力的傳遞。取樣機的活齒數為3，中心輪的波齒數為4，獲得傳動比為4的微型集成活齒傳動系統，其整體徑向尺寸為1 μm，厚度為300 nm。

2 活齒受力分析

根據活齒傳動原理可知，活齒是傳遞運動和動力的主要器件，所以選擇活齒作為研究對象。由于尺度效應的影響，在一般活齒傳動研究中不考慮的分子間作用力、表面力等成為主導因素，微尺度下器件的重力、慣性力等與幾何尺寸成三次方關系的體積力則可以忽略不計，上述因素使得微型活齒傳動系統的力學模型建立和分析方法不能照搬宏觀活齒傳動的研究方法，必須結合微型活齒傳動自身的特點，建立新的力學模型，提出新的分析方法。對于MEMS結構，隨著各器件之間間距的減小，微觀作用力逐漸增大，其中范德華力的增長速度最快[11]。為確?；铨X的受力分析更為精確，本文將范德華力考慮在內。根據活齒傳動系統運動的對稱性，可以分析任一活齒在一個嚙合周期的受力來代替其余活齒的受力情況，取第j個活齒為研究對象，忽略嚙合處摩擦力及活齒重力，將各接觸點附近的作用力簡化為集中力，嚙合副受力分析如圖2所示。圖2中，FVHj表示波發生器H對活齒G的范德華力，FVSj1、FVSj2分別表示活齒架S齒槽兩個側壁對活齒G的范德華力，FVKj表示中心輪K對活齒G的范德華力；α表示FVKj與Y軸的夾角，β表示FVHj與X軸的夾角，γ表示FVSj1(或FVSj2)與X軸的夾角。

圖2 活齒受范德華力示意圖Fig.2 Movable teeth by van der Waals diagram

建立與活齒架S固連的固定坐標系Oxy，以中心輪K的幾何中心O為坐標原點，它的齒間對稱軸為y軸。以活齒中心O2為原點，建立坐標系O2XY。由圖2可知，活齒在往復直線運動過程中球心的向徑OO2長度為

(1)

得到的活齒內端包絡的曲線即為中心輪的實際輪廓線，曲線方程為

(2)

式中,a為波發生器偏心距；r為活齒半徑；R為波發生器半徑；b=R+r；φ2為中心輪轉角；zK為中心輪齒數；0≤α≤π。

由于活齒G的半徑相對于波發生器H、中心輪K的曲率半徑較小，且考慮到彈性體受力后在接觸點附近發生彈性形變，為簡化問題，在接觸點附近將中心輪外緣與波發生器內緣近似認為是平面。根據文獻[12]可知，通常范德華力的作用范圍僅為幾十個納米，距離較大時可忽略不計。因在接觸點附近波發生器、活齒架、中心輪的尺寸遠大于范德華力的作用范圍，故將其處理為半無窮體。假定活齒與中心輪、活齒架、波發生器之間僅存在吸引力，對于間距為r0的兩分子，根據范德華力場的勢函數可得兩分子間勢能[13]：

(3)

式中，C為分子間相互作用系數。

如圖3左圖所示，假定活齒上單分子與波發生器內壁的距離為Z，波發生器單位體積分子數量密度為ρ2，活齒球單位體積分子數量密度為ρ1，則活齒上單分子與厚度為dy、寬度為dx的環形微元的勢能為[14]

(4)

則該分子與波發生器之間的勢能為

(5)

如圖3右圖所示，為求解活齒與波發生器之間的分子勢能，采用微元法，該微元橫截面與波發生器的分子勢能為

(6)

圖3 分子、球面-平面相互作用示意圖Fig.3 Molecular, spherical-plane interaction diagram

在活齒運動過程中，活齒與波發生器內壁是接觸的，通常假定活齒面距離內壁的距離為d(分子間最小距離)，文獻[15]給出其大小0.4 nm，那么沿活齒球水平徑向積分，可得到活齒與波發生器之間的分子勢能:

(7)

對范德華勢函數求偏導，可得范德華力大?。?/p>

(8)

A=π2ρ1ρ2C

式中，A為Hamacker常數，是相互吸引力的勢能系數。

當d?r0時，可推導出：

(9)

同理可得

(10)

圖4所示為綜合考慮范德華力與彈性力時的力學模型。其中，FEKj為中心輪K對活齒G的彈性作用力；FEHj為波發生器H對活齒G的彈性作用力；FESj為活齒架S對活齒G的彈性作用力。

在ΔOO1O2中，由正弦定理知：

(11)

活齒架順時針轉過φ2時，以第j個活齒為研究對象，得到靜力平衡方程：

(12)

令

FHj=FEHj-FVHj
FSj=FESj+FVSj1-FVSj2
FKj=FEKj-FVKj

求解上述靜力平衡方程，得

(13)

假定參加工作的每個活齒在活齒架內無間隙移動，在驅動力的作用下，波發生器與活齒接觸產生彈性形變，當波發生器轉過一個小角度Δθ時，活齒在接觸位置產生的彈性形變呈正弦規律變化[16]：

(14)

式中,δi為活齒在不同位置的彈性變形量；δmax為活齒彈性變形量的最大值。

可近似認為活齒的變形量與活齒受到的接觸力成正比，即可推得[17]

(15)

式中，Fjmax為波發生器對單個活齒的最大作用力。

當負載轉矩為Te時，根據扭矩平衡，活齒架承受的扭矩TeS=Te?；铨X架受到的轉矩與參與嚙合的n個活齒產生的力矩相平衡，則可以推知：

(16)

(17)

將式(14)、式(15)、式(17)代入式(16)，可得

(18)

令

聯立式(13)、式(15)、式(18)，則有：

(19)

則活齒受到彈性力的大小為

(20)

3 活齒的接觸應力分析

假設活齒傳動各零件均為均勻的、各向同性的完全彈性體，且接觸面為理想的光滑表面。接觸區發生小變形，則可根據Hertz彈性接觸理論，對活齒的接觸應力進行分析計算。

取受載前兩彈性體公切面為xy平面，Z軸正向為過接觸點O的彈性體內法線方向，如圖5所示，兩彈性體在點O附近的曲面方程分別為z1=f1(x,y)，z2=f2(x,y)。由于接觸面尺寸與彈性體曲率半徑相比尺寸很小，故略去高階項，可用下面的表達式近似表示原點附近的曲面：

(21)

則點O附近彈性體表面上兩點S1和S2的距離為

z1+z2=(A1+A2)x2+(B1+B2)y2+
(C1+C2)xy

(22)

圖5 接觸數學模型示意圖Fig.5 Contact mathematical model diagram

通過坐標變換使得xy項的系數為零，則有：

z1+z2=Ax2+By2

(23)

式中，x、y為S1、S2兩點在新坐標系下的坐標。

假定在接觸點O處，彈性體1的主曲率半徑為R11、R12，彈性體2的主曲率為R21、R22，兩個表面的主曲率軸的交角為θ，根據光滑非協調表面接觸特性，得

(24)

在壓縮過程中，兩彈性體內部遠處的點分別向O點平行于Z軸方向移動位移δ1、δ2，若接觸時不發生形變，則它們的輪廓如圖5虛線所示，兩彈性體表面由于接觸力發生平行于Z軸的位移，其位移大小為w1、w2。若發生形變后S1和S2點在接觸面內重合，則有：

w1+w2=δ1+δ2-(z1+z2)

(25)

如果接觸的兩個彈性體均為旋轉體，于是彈性體接觸區為半徑為c的圓[18]，且有R11=R12=R1，R21=R22=R2，于是得

(26)

聯立式(23)、式(25)、式(26)，可得在接觸區內有：

(27)

式中，R0為接觸區內任意點到接觸中心的距離。

作用于兩個相互接觸無摩擦彈性旋轉體之間的應力分布由Hertz理論給出：

(28)

式中，pmax為接觸區圓心處的應力最大值。

由于作用于彈性體1的力與作用在彈性體2上的力相等，故根據彈性力學得到接觸區內的位移為

(29)

式中，ν1、ν2分別為彈性體1和2的泊松比；E1、E2分別為彈性體1和2的彈性模量。

聯立式(27)、式(29)，可得接觸區圓形域的半徑：

(30)

作用在彈性體上的力與接觸應力的關系為

(31)

聯立式(30)、式(31)可得

(32)

因為活齒為旋轉體，且活齒曲率半徑較小，故將波發生器、活齒架和中心輪與活齒接觸點的附近近似處理為平面。令R1→r，R2→∞，可得活齒受到的接觸應力峰值為

(33)

將波發生器、活齒架和中心輪對活齒的作用力FEHj、FESj和FEKj代入式(33)，可得對應的接觸應力:

(34)

4 算例的求解與分析

4.1 活齒受力算例

選擇波發生器H的半徑R=400 nm，偏心距a=20 nm，活齒半徑r=50 nm，活齒齒數ZG=3，中心輪波齒數ZK=4，阻力矩Te=10-14N·m，Hamacker常數A=4×10-19J，根據式(19)、式(20)，可得到范德華力對活齒受力的影響，如圖6所示。

由圖6可知，嚙合活齒在活齒架導槽內移動過程中，范德華力對活齒架的作用力變化無影響。當只考慮彈性力且活齒處于嚙入嚙出位置時，受到的作用力FEHj、FESj和FEKj均為零，隨著活齒在齒槽內移動，作用力緩慢增加，在中心輪轉角為π/8時出現受力峰值，當中心輪轉角為π/4時，活齒嚙出，完成一個工作循環?？紤]范德華力時，活齒開始嚙入與嚙出時，受力均不為零，且波發生器和中心輪對活齒的彈性作用力均增加1.17倍左右。據此可知，范德華力在微尺度下對活齒的受力具有顯著影響，不可忽略。

4.2 活齒應力算例

表1給出了微型活齒傳動系統中活齒、波發生器、活齒架以及中心輪的材料類型以及材料的彈性模量、泊松比。納米材料具有大的比表面積、高濃度晶界，這對納米材料的物理及力學等性能有著重要影響，納米鎳許用強度為5～7 GPa，納米氮化硅抗壓強度最高可達15 GPa，納米聚甲基丙烯酸甲酯的抗壓強度為700～1 000 MPa。

將表1中的數據代入式(34)，可得考慮范德華力時任意活齒在一個工作循環內的接觸應力變化，見圖7。嚙合活齒在活齒架齒槽中一個工作周期內的接觸應力變化規律與嚙合活齒的受力變化規律相同，范德華力對活齒架作用下的接觸應力無影響；對于波發生器與中心輪，在考慮范德華力的情況下，活齒嚙入點和嚙出點存在較大的接觸應力突變，且活齒受到的接觸應力增大了30 MPa，范德華力對接觸應力影響顯著。

(a)波發生器

(b)活齒架

(c)中心輪圖6 考慮范德華力時活齒受力對比圖Fig.6 Consider Van der Waals force movable toothforce comparison chart

材料彈性模量(GPa)泊松比活齒納米氮化硅3850.30波發生器微電鑄鎳2170.29活齒架聚甲基丙烯酸甲酯6.50.25中心輪聚甲基丙烯酸甲酯6.50.25

(a)波發生器

(b)活齒架

(c)中心輪圖7 考慮范德華力時活齒接觸應力對比圖Fig.7 Consider van der Waals force movable toothcontact stress comparison chart

5 參數變化對活齒受范德華力的影響

以任一活齒為例，改變活齒傳動結構的幾何參數，得到范德華力對活齒受力規律變化的影響，如圖8～圖10所示。

(1)分析圖8可知，隨著波發生器偏心距a的增大，范德華力的大小不變，但范德華力對活齒受到彈性力的影響明顯增加。當a增至初值的兩倍時，考慮范德華力時，活齒受到的彈性力FEHj、FEKj約為不考慮范德華力時活齒受到彈性力的2倍,活齒受到的接觸應力pEKj、pEHj約增大1倍?？梢?，偏心距a對范德華力產生的作用有明顯的影響。

(2)由圖9可知，隨著活齒半徑r的增大，活齒受到的范德華力明顯增大，當活齒半徑增大80%時，活齒受到的范德華力也增大80%，同時，考慮范德華力時，活齒受到的彈性力FEHj、FEKj約為不考慮范德華力時活齒受到彈性力的1.25倍，活齒受到的接觸應力pEKj、pEHj約增大20%?？梢?，活齒半徑r對范德華力產生及范德華力產生的作用均有明顯的影響。

(a)波發生器與活齒的作用力

(b)波發生器與活齒的接觸應力

(c)中心輪與活齒的作用力

(d)中心輪與活齒的接觸應力1.a=20 nm 2.a=30 nm 3.a=40 nm 4.考慮范德華力，a=20 nm 5.考慮范德華力，a=30 nm 6.考慮范德華力，a=40 nm圖8 活齒受力隨偏心距a的變化Fig.8 Movable tooth with eccentricity a change

(a)波發生器與活齒的作用力

(d)中心輪與活齒的接觸應力1.r=50 nm 2.r=70 nm 3.r=90 nm 4.考慮范德華力，r=50 nm 5.考慮范德華力，r=70 nm 6.考慮范德華力，r=90 nm圖9 活齒受力隨活齒半徑r的變化Fig.9 The force of movable tooth changes with the radius of movable tooth’s r

(a)波發生器與活齒的作用力

(b)波發生器與活齒的接觸應力

(c)中心輪與活齒的作用力

(d)中心輪與活齒的接觸應力1.R=400 nm 2.R=450 nm 3.R=500 nm 4.考慮范德華力，R=400 nm 5.考慮范德華力，R=450 nm 6.考慮范德華力，R=500 nm圖10 活齒受力隨波發生器半徑R的變化Fig.10 Movable teeth with wave generator changes the force by the radius R

(3)分析圖10可知，隨著波發生器半徑R的增大，范德華力的大小不變，范德華力對活齒受到彈性力的影響減弱，當波發生器半徑增大25%，考慮范德華力時，活齒受到的彈性力FEHj、FEKj約為不考慮范德華力時活齒受到彈性力的1.1倍，活齒受到的接觸應力pEKj、pEHj約增大7%?？梢?，波發生器半徑R對范德華力產生的作用較弱。

綜上所述，在考慮范德華力的情況下，波發生器偏心距、活齒半徑、波發生器半徑等幾何參數均對活齒受到的作用力及接觸應力有不同程度影響，其中活齒半徑、波發生器偏心距和范德華力的影響正相關，且波發生器偏心距影響較大；波發生器半徑對范德華力的影響較弱。

6 結論

根據半無窮空間理論，應用范德華勢函數，推導出活齒受范德華力的公式，在考慮范德華力的情況下，建立了任一活齒不同嚙合位置處的靜力學方程，并得到波發生器、活齒架、中心輪對活齒的作用力與轉角的關系式，得出了微尺度下活齒受力變化曲線；同時運用接觸力學理論，得到了在考慮系統不同幾何參數設置情況下嚙合活齒在波發生器、中心輪作用下活齒接觸應力的變化規律曲線，并分析了不同情況下范德華力的影響強弱。