用好對稱性解決圓形邊界磁場問題

河北 牛紅標

熟練使用連心線，平分對稱關系現。

圓形邊界磁場問題是帶電粒子在磁場中偏轉的一個難點，很多同學由于抓不住要害，經常不能迅速準確地做出相關幾何圖形，找不出對應的幾何關系而導致解題失敗，其實若能夠熟練掌握以下幾何關系，便能順利解決問題。

有關數學幾何知識：

對于圓形邊界磁場中的偏轉問題，通常涉及的是兩個圓的相交關系，一個為邊界圓，一個為軌跡圓，如果做出這兩個圓的連心線(兩個圓心的連線)，可以看出，這兩個圓的幾何關系是關于這條連心線對稱平分，設這兩個圓的半徑分別為R和r，兩個圓的公共弦長為d，與公共弦對應的圓心角分別為θ和α，如圖1所示，連心線將兩個圓心角對稱平分，且滿足以下幾何關系：

圖1

圖2

如果對以上幾何知識掌握得很熟練，有關圓形磁場中偏轉問題的幾何關系就比較容易得到，下面引證一些實例。

一、對心入射問題

當帶電粒子沿半徑方向(即對著圓心)進入圓形邊界的磁場時，滿足以上幾何關系中兩個半徑相互垂直的情形，再根據關于連心線對稱，粒子離開磁場時一定沿半徑方向，即背離圓心射出，兩個半徑滿足正切關系。

【例1】如圖3所示，電視機的顯像管中，電子束的偏轉是用磁偏轉技術實現的。電子束經過加速電場后，進入一圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直于圓面。不加磁場時，電子束將通過磁場中心O點而打到屏幕上的中心M點，加磁場后電子束偏轉到P點外側?，F要使電子束偏轉回到P點，可行的辦法是

( )

圖3

A.增大加速電壓

B.增加偏轉磁場的磁感應強度

C.將圓形磁場區域向屏幕靠近些

D.將圓形磁場的半徑增大些

【分析】本題中帶電粒子沿半徑方向進入磁場，屬于典型的兩個半徑相互垂直的相交圓問題。

圖4

【點評】帶電粒子的加速過程，往往根據動能定理求粒子得到的速度，帶電粒子在磁場中勻速圓周運動問題，根據牛頓第二定律求半徑，做出兩個圓的連心線，由幾何知識分析偏轉角度與兩圓半徑的關系，這些都是基本的思路。

二、任意位置入射問題

當粒子從圓形邊界磁場中某一位置，沿任意方向進入圓形磁場，一段時間后由磁場離開，這時粒子的圓形軌跡與圓形邊界相交，同樣關于連心線對稱，畫出相應幾何圖形也能比較輕松地得到答案。

圖5

( )

【分析】兩個同種粒子在磁場中運動時間相同，可知兩粒子經過磁場時轉過的圓心角相同，均為60°，由對稱性得，連心線將這個角平分，作圖找幾何關系即可求解。

圖6

圖7

圖8

【例3】(多選)如圖8所示是半徑為R的一圓柱形勻強磁場區域的橫截面，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，磁場外有一粒子源，能沿一直線發射速度大小不等的在一定范圍內的同種帶電粒子，帶電粒子的質量為m，電荷量為q(q>0)，不計重力，現粒子以沿正對cO中點且垂直于cO方向射入磁場區域，發現帶電粒子恰能從bd之間飛出磁場。則

( )

A.從b點飛出的帶電粒子的速度最大

B.從d點飛出的帶電粒子的速度最大

C.從d點飛出的帶電粒子的運動時間最長

D.從b點飛出的帶電粒子的運動時間最短

【分析】粒子在磁場中，受到洛倫茲力作用做勻速圓周運動，由軌跡的特點可知圓心位于垂直速度的直線上，由對稱性知圓心位于進出磁場兩點連線垂直平分線上，兩直線交點即為圓心。根據題意作出粒子運動軌跡如圖9所示。

圖9

【點評】根據兩圓關于連心線的對稱性特點，甚至可以不去畫出粒子的軌跡圓(正確而迅速地畫出粒子的軌跡圓是有一定難度的)，便可利用對稱性的特點畫出圓心及半徑，得到相關的幾何關系，使問題迎刃而解。

三、通過圓形磁場的最長時間問題

由圓形邊界上某點，以一定的速率，沿不同方向進入磁場中的粒子，在磁場中運動的時間不同。若粒子的軌跡圓半徑大于邊界圓半徑，粒子軌跡在磁場中為一段劣弧，軌跡越長對應的弦越長，此時對應的圓心角越大，粒子運動時間越長，由上面幾何關系可知，當邊界圓直徑為公共弦時，粒子在磁場中的運動存在最長時間。

圖10

圖11

【點評】粒子穿過圓形磁場，軌跡為劣弧時，以磁場圓直徑為弦偏轉角最大，粒子運動時間最長。

四、離開圓形區域最大問題

由圓形邊界上某點，以一定的速率，沿不同方向進入磁場中的粒子在通過磁場過程中，若粒子的軌跡圓半徑小于邊界圓半徑，粒子在磁場中運動一段時間后，只能在邊界上的某個范圍內離開磁場，而不能到達邊界上的所有位置，所以離開磁場的位置有最大范圍。

圖12

【例5】(2017年全國卷Ⅱ)如圖12，虛線所示的圓形區域內存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點。大量相同的帶電粒子以相同的速率經過P點，在紙面內沿不同的方向射入磁場。若粒子射入的速度為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速度為v2，相應的出射點分布在三分之一圓周上，不計重力及帶電粒子之間的相互作用，則v2∶v1為

( )

【分析】由前面幾何知識可知，兩個圓相交時，公共弦的最大長度為小圓的直徑，這恰好是本題中對應出射粒子的最大區域。

圖13

圖14

【點評】本題屬于動態圓的分析問題，關鍵在于兩個相交圓處于不同的相對位置時，要熟悉公共弦的最大值為小圓的直徑這一幾何關系。

五、磁場區域的最小面積問題

帶電粒子經過圓形磁場完成偏轉，其運動軌跡在磁場區域內，可以求解磁場區域面積的極值。

圖15

【例6】如圖15所示，一帶電質點，質量為m，電荷量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域。為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當的地方加一個垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區域內，試求這圓形磁場區域的最小半徑。重力忽略不計。

圖16

【解析】質點在磁場中做半徑為R的圓周運動

本題所求的圓形磁場區域的最小半徑為

所求磁場區域如圖16中實線圓所示。

【點評】粒子穿過圓形磁場時，若軌跡是確定的，則以軌跡圓弧對應的弦為直徑時，磁場圓最小。

六、在磁場中周期性的運動問題

粒子在圓形磁場區域中做周期性運動時，每次的運動規律都滿足兩個相交圓的一般規律，和題目中給定條件相結合，找出規律，解決問題。

【例7】(2017年洛陽二統)在光滑絕緣的水平面上，左側平行極板間有水平方向勻強電場，右側圓筒內有豎直方向勻強磁場，磁感應強度大小為B，俯視圖如圖17所示。圓筒的圓心為O點，半徑大小為R。一質量為m、電荷量大小為q的帶電小球(可視為質點)，初始位置在A點，現由靜止經電場加速后從C孔沿直徑射入磁場區域，粒子和圓筒壁的碰撞沒有動能和電荷量損失。B、R、m、q為已知量，圓筒僅有一個出入口C。

圖17

(1)求平行板間電壓U和小球在磁場中運動半徑r的函數關系式；

(2)如果小球能從出入口C返回，求它在磁場中運動的最短時間；

(3)求小球能從出入口C返回且在磁場中運動時間最短情況下，平行板間所加電壓U的可能值。

【分析】本題的難點在于粒子運動的周期性，每次碰撞后的運動相對圓心都會轉過一個小于π的角度，多次碰撞后，最終由C孔出來時，轉過的角度一定是2π的整數倍。

【解析】(1)如圖18所示，小球沿直線由A運動到C，再沿圓弧運動到P點，圓弧運動的圓心在D點，設圓弧運動的線速度為v，半徑為r，∠COP=θ，兩板間電壓為U。

圖18

即n取2k+1、2k+2、2k+3…

當n=2k+1時，在磁場中運動的時間取最小值，即

【點評】本題是典型的沿半徑方向入射的圓形磁場邊界問題，與邊緣發生的每次碰撞都沿半徑方向，注意題目中要求粒子回到出發點，可能在磁場中轉過了多圈。

總結