力的矢量三角形視角下的高考動態平衡問題

浙江 周 凱

以力的三角形為切入點，解決動態平衡問題。

縱觀各地高考和名?？荚囌骖}，在三力平衡當中，有一類較為有趣的問題—動態平衡，指的是在某一物理情景當中，控制某一個條件緩慢變化從而引起物體受力情況相應地發生變化，在這一個過程中，物體處于一系列的平衡狀態。此類問題涉及題型多，而且同一個題型解法也不是唯一的，所以筆者這里嘗試將這一類問題的多個題型，均從力的矢量三角形視角進行梳理，以期與各位同好交流學習。

1.力的矢量三角形

如圖1.1所示，一個物體在三個力作用下保持平衡，合力為0。我們可以依據三角形法則將作用力平移成圖1.2所示力的矢量三角形。由于在動態平衡問題當中，一般物體都只受三個力，所以可以將動態平衡的問題以力的矢量三角形為基礎，進行分析。

圖1.1

圖1.2

2.動態平衡問題分類

在此觀點下，解決所有動態平衡問題的第一步都是受力分析，并依據三角形法則，畫力的矢量三角形，而又因為后續方法操作不同，筆者將其分為五類—圖解法三角形、相似三角形、全等三角形、恒等腰三角形和圓內接三角形。

2.1 圖解法三角形

【例1】(2016年全國卷Ⅱ)質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖2.1.1所示。用FT表示繩OA段拉力的大小，在O點向左移動的過程中

( )

圖2.1.1

A.F逐漸變大，FT逐漸變大

B.F逐漸變大，FT逐漸變小

C.F逐漸變小，FT逐漸變大

D.F逐漸變小，FT逐漸變小

【解題過程】第一步，以O點為研究對象進行受力分析，O點受力情況如圖2.1.2所示：

圖2.1.2

根據物體所受合力為0，將其平移為力的矢量三角形如圖2.1.3所示，再根據題意，O點向左移動意味著在力的矢量三角形當中，FT這一條邊順時針轉動，如圖2.1.4所示，易得F和FT都變大。故選A。

圖2.1.3

圖2.1.4

【方法要點】這一種方法筆者稱之為圖解法三角形，它的適用條件非常明顯，需要有一個恒力，一個方向不變的力即定向力和一個變力。我們可以提取出幾個關鍵詞—“恒，定，變”。

【拓展】這一類題目還可以拓展出變力最小值問題，畫矢量三角形可知，當變力和定向力垂直的時候有最小值。

2.2 相似三角形

【例2】一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈固定在豎直輕桿AO上，B端掛一重物，且系一細繩，細繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住，如圖2.2.1所示?，F將細繩緩慢往左拉，使桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減小，則在此過程中，拉力F及桿BO所受壓力FN的大小變化情況是

( )

圖2.2.1

A.FN先減小，后增大 B.FN始終不變

C.F先減小，后增大 D.F始終不變

圖2.2.2

【方法要點】這一種方法筆者稱之為相似三角形，它的適用條件也非常明顯，需要有一個和矢量三角形相似的幾何三角形，而這個幾何三角形存在于物理結構中。關于受力的特點，受到一個恒力和兩個變力，我們也可以提取出幾個關鍵詞—“恒，變，變”。

2.3 恒等腰三角形

【例3】(2017年天津卷)如圖2.3.1所示，輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，衣服掛于繩上處于靜止狀態。如果只人為改變一個條件，當衣架靜止時，下列說法正確的是

( )

圖2.3.1

A.繩的右端上移到b′，繩子拉力不變

B.將桿N向右移一些，繩子拉力變大

C.繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小

D.若換掛質量更大的衣服，則衣服架懸掛點右移

【解題過程】第一步，此題以懸掛點受力分析如圖2.3.2所示：

圖2.3.2

圖2.3.3

圖2.3.4

當d或者l發生變化時，如圖2.3.4所示，也可以直觀地看出力的大小和方向變化情況。故選AB。

【方法要點】這一種方法筆者稱之為恒等腰三角形，它的適用條件也非常明顯，需要有一個恒成立的等腰三角形。

2.4 全等三角形

【例4】如圖2.4.1所示，小方塊代表一些相同質量的鉤碼，圖中O為輕繩之間連接的結點，裝置處于靜止狀態，現將圖中的B滑輪稍稍上移一些，則關于θ角的變化說法正確的是

( )

圖2.4.1

A.θ角增大 B.θ角不變

C.θ角減小 D.θ角不確定

【解題過程】第一步，受力分析并平移力的矢量三角形如圖2.4.2所示。會發現這里三個力的大小不變，相當于在三角形中三條邊長不變，根據“SSS”定理，三角形全等，所以力的方向也不會發生變化。故選B。

圖2.4.2

【方法闡述】這一種方法筆者稱之為全等三角形，受力特點比較簡單，所受均為大小不變的力，我們也可以提取出幾個關鍵詞—“恒，恒，恒”。

2.5 圓內接三角形

( )

圖2.5.1

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

【解題過程】第一步，分析初狀態和末狀態的受力，分別如圖2.5.2和圖2.5.3所示，觀察到末狀態受三個力，依據末狀態畫矢量三角形。這里發現不能通過之前的任何方法去處理，但是根據題目，發現矢量三角形中的恒力G對應的角度是恒定不變的，這讓我們想到幾何當中一條不變的弦對應著一個不變的圓周角，引出力的矢量三角形的外接圓。

圖2.5.2

圖2.5.3

圖2.5.4

第二步，以末狀態的力的矢量三角形做外接圓，根據題意，OM繩是從初狀態逆時針轉動到末狀態，很明顯這個過程中OM繩的力先變大后變小，MN繩的力始終增大。故選AD。

【方法要點】這一種方法筆者稱之為圓內接三角形，受力特點也是比較明顯的，受到一個恒力，以及這個恒力所對的角度是不變的，我們也可以提取關鍵詞—“恒力對恒角”。

3.結束語

此文只是對動態平衡問題的一些基本情況進行梳理，其進一步遷移，嵌套的其他更深刻情景也是值得關注的，比如2018年4月浙江選考物理的第13題。關于動態平衡問題的進一步遷移，這里暫不做深入討論。