剖析電磁感應中框類問題

浙江 徐華兵

掌握核心方法，剖析框類問題。

框類問題是電磁感應中的一類重要問題，往往以力學和電學為主線考查電磁感應的主干知識。由于這類問題綜合性強，涉及的物理過程復雜多變，近年來這類問題深受高中各大、中、小型考試命題老師的青睞。筆者在實際教學中發現許多學生在求解這類問題時常理不出頭緒、抓不住要領，現結合筆者多年教學經歷，對這類問題的?？碱}型的求解思路分類剖析，以饗讀者。

1.電磁感應中框類問題求解思路

線框類問題往往是力學和電學的綜合問題，在解決這類問題時可先將這類問題進行分解，分解為電學問題和力學問題兩部分，理出解題思路，然后再各個擊破，分類求解。

基礎模型：一正方形線框，邊長為L，每條邊電阻為R，以某一初速度v0沿光滑水平面進入寬度為d(d>L)，磁感應強度為B，垂直紙面向里的有界勻強磁場中(如圖1所示)，分析線框的受力情形、運動情形和能量情形。

圖1

電學分析：當線框切割磁感線運動時，切割磁感線的那條邊相當于電源，其余部分相當于外電路，整個線框構成一個閉合回路，當線框進入磁場過程中的電路結構圖如圖2所示。

圖2

圖3

力學分析：當線框中有感應電流時，處在磁場中的線框邊會受到安培力的作用，如圖3所示。通過對線框進行受力分析和運動過程分析，列出線框運動方程、動力學方程和能量方程等。

2.電磁感應中框類問題分類剖析

電磁感應中的框類問題往往是電磁知識與其他知識相綜合的形式出現的，根據常見試題形式可將電磁感應中框類問題分為四類：與電路綜合類問題、與圖象綜合類問題、與力學綜合類問題和與能量綜合類問題。

2.1 導體線框與電路綜合類問題

導體框與電路綜合類問題是指在導體框進出磁場切割磁感線的過程中，由于切割磁感線那部分導體發生變化，導致電路結構發生變化的問題。在求解這類問題時，做好電路結構分析是關鍵，分清內電路和外電路。畫出電路中等效電源和回路電流方向，內電路中電流從電源負極流向正極，外電路中電流從電源正極流向負極。

【例1】用相同導線繞制的邊長為L或2L的四個閉合導體線框，以相同的速度v勻速進入右側垂直紙面向里的勻強磁場中，如圖4所示。在每個線框進入磁場的過程中，M、N兩點間的電壓分別為Ua、Ub、Uc和Ud。下列判斷正確的是

( )

A.Ua

C.Ua=Ub

圖4

2.2 導體線框與圖象綜合類問題

導體線框與圖象綜合類問題是指線框進出磁場的過程中產生的感應電動勢、感應電流或某兩點間的電壓隨時間變化的圖象問題。常見的圖象主要有B-t圖象、Φ-t圖象、E-t圖象和I-t圖象等。

【例2】如圖5所示，閉合直角三角形導線框ABC的直角邊BC與勻強磁場邊界平行，若讓框沿BA方向勻速通過有明顯邊界的勻強磁場區，磁場寬度L>AB，則在整個過程中，線框內的感應電流隨時間變化的圖象是下圖中的(取逆時針方向為電流正方向)

( )

圖5

A

B

C

D

【分析與求解】導線框ABC進入磁場前，未切割磁感線，產生的感應電流為零；導線框進入磁場過程中，等效切割長度增加，回路中有方向為逆時針大小均勻變化的感應電流；當導線框穿出磁場過程中，等效切割長度增加，產生順時針大小均勻變化的感應電流。故D項正確。

2.3 導體線框與力學綜合類問題

導線框與力學綜合類問題是指在導線框進出磁場的過程中，在某些特殊的位置狀態滿足一定力學條件的問題。常見的力學條件有：恰好勻速運動，即合外力為零；恰好做勻變速直線運動，即滿足牛頓第二定律。解決這類問題的關鍵是在這些特殊的位置狀態對線框進行受力分析，根據受力分析結果和運動狀態列式計算。

【例3】如圖6所示，一邊長L=0.2 m、質量m1=0.5 kg、電阻R=0.1 Ω的正方形導體線框abcd，與一質量為m2=2 kg的物塊通過輕質細線跨過兩定滑輪相連。開始時ad邊距磁場下邊界為d1=0.8 m，磁感應強度B=2.5 T，磁場寬度d2=0.3 m，物塊放在傾角θ=53°的斜面上，物塊與斜面間的動摩擦因數μ=0.5?，F將物塊由靜止釋放，經一段時間后發現當ad邊從磁場上邊緣穿出時，線框恰好做勻速運動。(g取10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)求：(1)線框ad邊從磁場上邊緣穿出時繩中拉力的功率；(2)線框剛剛全部進入磁場時速度的大小。

圖6

【分析與求解】(1)當ad邊從磁場上邊緣穿出時，線框恰好做勻速運動。即線框m1和物塊m2均處于平衡狀態：

對物塊m2有m2gsinθ-μm2gcosθ-F=0 ①

對線框m1有F-m1g-BIL=0 ②

聯立①②③三式解得F=10 N，v=2 m/s

繩中拉力的功率P=F·v=20 W

2.4 導體線框與能量綜合類問題

導線框與能量的綜合類問題是指導線框在切割磁感線的過程中伴隨著能量的轉化與轉移問題。在這類問題中，常常有電能、重力勢能、動能和熱能等能量參與轉化和轉移，但在轉化和轉移的過程中總能量卻保持不變。

圖7

【例4】如圖7所示，在傾角為θ的光滑斜面上，存在著兩個磁感應強度大小相等的勻強磁場，其中一個磁場的方向垂直斜面向下，另一個磁場的方向垂直斜面向上，寬度均為L。一個質量為m、邊長為L的正方形線框以速度v剛進入上邊磁場時恰好做勻速直線運動。當ab邊到達gg′和ff′的中間位置時，線框又恰好做勻速直線運動。求：線框從開始進入上邊的磁場至ab邊到達gg′和ff′中間位置的過程中，線框中產生了多少熱量。

導線框ab邊越過ff′后，導線框的兩邊ab和cd同時切割磁感線，線框回路產生的電動勢E′=2BLv′ ②

當線框再次做勻速直線運動時有

對導線框從剛進入上邊磁場到ab邊到達gg′和ff′中間位置的過程應用能量守恒有

3.點評分析