無時限序列通過LSI系統的間接z域分析方法*

陳紹榮，徐 舜，朱行濤，栗鐵樁

（陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035）

0 引 言

在國內外《信號與系統》著作中[1-2]，均提到常數序列、符號序列、抽樣函數形式的序列、無時限復指數序列和周期序列的雙邊z變換不存在。這些序列通過LSI因果系統時，不能采用z域分析法求解系統的零狀態響應。本文在著作的[3]基礎上，借助序列分解的概念，首先將這些序列分解成反因果序列和因果序列之和，再利用LSI因果穩定系統響應的可加性求解系統的零狀態響應。

1 無時限復指數序列通過LSI因果系統的間接z域分析方法

1.1 LSI因果系統零狀態響應的復頻域表示式

設n階LSI因果系統的轉移函數為：

式中，vi(i=1,2,…,n)為LSI因果系統的特征根。

設激勵f(k)=Avk=AewkT，其中A為常數，w為復變量，且滿足主導條件 |v|＞|vi|max(i=1,2,…,n)。

無時限復指數序列f(k)=Avk可寫成：

式中，ε(k)為單位階躍序列。

考慮到式（2），LSI因果系統的零狀態響應可以表示為：

由于：

因此，對式（3）兩邊取雙邊ZT，并結合式（4）和式（5），LSI因果系統的零狀態響應的z域表示式為：

式（6）是間接利用z域分析法求解無時限復指數序列通過LSI因果系統時的零狀態響應的依據。

1.2 無時限復指數序列通過LSI因果系統的間接z域分析方法舉例

例1：設描述二階LSI因果系統響應y(k)與激勵f(k)關系的差分方程為：

解：對差分方程式（7）兩邊取雙邊ZT，可得：

由式（8）可得二階LSI因果系統的轉移函數：

由式（9）可得二階LSI因果系統的單位沖激響應，即：

對式（11）兩邊取IZT，可得：

即：

由式（13）可知，系統的零狀態響應分別為：

2 周期序列通過LSI因果穩定系統的間接z域分析方法

2.1 LSI因果穩定系統零狀態響應的z域表示式

設n階LSI因果穩定系統的轉移函數為：

式中，vi(i=1,2,…,n)為LSI因果穩定系統的特征根，且 |vi|max＜1(i=1,2,…,n)。

設f0(k)是時限于區間k∈[0,N-1]的時限序列，即滿足：

式中：

顯然，時限序列f0(k)的雙邊ZT的收斂域為有限全z平面，即：

又設：

對式（20）兩邊取雙邊ZT，并結合式（19），有：

式（23）又可以表示為：

對式（21）兩邊取雙邊ZT，并結合式（19），有：

考慮到式（22），LSI因果系統的零狀態響應可以表示為：

對式（26）兩邊取雙邊ZT，結合式（24）和式（25），LSI因果穩定系統的零狀態響應的z域表示式為：

式（27）是間接利用z域分析法求解周期序列通過LSI因果穩定系統時的零狀態響應的依據。

2.2 周期序列通過LSI因果穩定系統的間接z域分析方法舉例

例2：設描述一階LSI因果穩定系統響應y(k)與激勵f(k)關系的差分方程為：

解：對差分方程式（28）兩邊取雙邊ZT，可得：

由式（29）可得一階LSI因果穩定系統的轉移函數，即：

考慮到：

則有：

考慮到式（30）和式（32），由式（27）可得：

由于：

因此，對式（33）兩邊取IZT，結合式（34）、式（35）、式（36）及式（37），可得系統的零狀態響應為：

3 結 語

本文借助序列分解的概念，將無時限復指數序列或周期序列分解為反因果序列和因果序列之和，利用LSI因果穩定系統響應的可加性，給出了一種求解系統零狀態響應的間接z域分析方法。