最終嚴格對角占優矩陣的逆矩陣無窮范數的上界估計

李艷艷

(文山學院 數學學院, 云南 文山 663099)

數值分析中，矩陣A的逆矩陣A-1的‖A-1‖∞被用于計算條件數K(A)=‖A‖∞·‖A-1‖∞，所以對‖A-1‖∞的計算或估計，是矩陣理論研究的熱點之一。近些年關于非奇異H矩陣類中的嚴格對角占優矩陣，弱鏈對角占優矩陣，Dashnic-Zusmanovich矩陣，Nekrasov矩陣，S-Nekrasov矩陣等的逆矩陣無窮范數的估計已得到了許多較好的結果[1-8]。而關于最終嚴格對角占優矩陣的研究，僅有文獻[9,10]。 所以本文對最終嚴格對角占優矩陣的逆矩陣無窮范數的上界進行較為深入和詳細的研究，在利用Nekrasov矩陣逆矩陣無窮范數已有估計式的基礎上，得到了最終嚴格對角占優矩陣的‖A-1‖∞的一些新的改進的結果。

1 預備知識

設A=sI-B,其中s為復數，I為單位矩陣，B為復矩陣。如果存在正整數k使得skI-Bk為嚴格對角占優矩陣(SDD)，就稱A為最終嚴格對角占優矩陣(SDD?)，記作A∈SDD?。

由文獻[11]知，SDD?Nekrasov?H,SDD??H。

引理1(Varah界)[12]設矩陣A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優矩陣，則

或

有

對于最終嚴格對角占優矩陣A的‖A-1‖∞的上界估計, 文獻[9]和[10]都做了一定的研究。

引理5[9]如果存在正整數k使得A=sI-B∈SDD?，則

引理6[10]如果存在正整數k使得A=sI-B∈SDD?，則

2 主要結果

本部分，利用引理2、引理3、引理4中的Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數的估計式和SDD?矩陣的定義式，給出SDD?矩陣一些改進的新估計式。

‖A-1‖∞≤ ‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞×

則

(sI-B)-1=(skI-Bk)-1(sk-1I+sk-2B+…+

sBk-2+Bk-1)，

即

‖A-1‖∞≤‖(skI-Bk)-1(sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1)‖∞

≤‖(skI-Bk)-1‖∞‖sk-1I+sk-2B+…+

sBk-2+Bk-1‖∞。

對skI-Bk應用引理2得，

‖A-1‖∞≤ ‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞

‖A-1‖∞≤‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞

‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞

< ‖sk-1I+sk-2B++sBk-2+Bk-1‖∞

定理3如果存在正整數k使得A=sI-B∈SDD?，若

|sk-(Bk)11|-h1(skI-Bk)

有‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞

注：定理2和定理3說明，本文所給的估計式，從理論上提高了文獻[9]和[10]中的結果。

下面用數值算例，對本文估計式的可行性和有效性，進一步說明。

3 數值算例

A1=5I-B1,取k=1,2,3,4,5，計算知k=2,3,4,5均是嚴格對角占優矩陣，所以A1∈SDD?，應用本文定理2,3得‖A1-1‖∞≤0.8259， 事實上，‖A1-1‖∞=0.6667。

令A2=5I-B2，取k=1,2,3,4,5，計算知k=2,3,4,5均是嚴格對角占優矩陣，所以A1∈SDD?，應用本文定理2,3得‖A2-1‖∞=0.5347， 事實上，‖A2-1‖∞=0.4657。