Bézier曲線在五軸直線插補刀路優化中的應用*

劉 江，黃 可，陶永德，丁仁華

(常州機電職業技術學院 機械工程學院，江蘇 常州 213164)

0 引言

在數控加工中，所有的數控程序都由最基本的插補指令構成，插補指令可以分為直線插補與圓弧插補[1-2]。圓弧插補過程中，刀具切線方向和圓弧曲率連續性好，帶來的速度波動與機械沖擊都較小，加工狀態較好。但在直線插補過程中，線段曲率與刀具切向會發生突變，導致進給速度會發生波動，容易使機床發生震顫，降低零件表面質量[3]。3軸數控加工中使用的直線插補，可以在去余量過程中，經過CAM軟件在直線插補拐角處適當的增加圓角過渡，或使用擺動路徑進行加工，已有較為系統的研究成果[4-5]。對于五軸刀路光順，目前還處在探索的階段，比較有效的方法有：轉接光順，擬合光順。擬合光順算法是對離散小線段采用高階樣條曲線進行逼近，所以計算量比較大，難以控制擬合精度，在實時計算環境中很難使用[6]。轉接光順則用高階連續的樣條曲線或圓弧對小線段拐點處進行過渡[7]。文獻[8]對五軸機床數控代碼進行了軌跡插補計算，分別用3次Bézier曲線對旋轉軸和直線軸進行光順。

文獻[9]對刀軸矢量與刀位點進行了轉接光順，速度規劃方法存在一定的迭代過程，需要對多元非線性方程組用雅可比迭代求解算法進行計算。文獻[10-11]針對各進給軸的加速度在轉接點處不連續，分別對刀軸和刀位點進行轉接光順，使得刀軸滿足G2連續，但刀位點沒有實現G2連續。5軸數控程序在程序編制時要同時考慮刀軸以及刀位點對零件的影響，刀具光順計算更加復雜，主要有以下問題：工件坐標系映射到機床坐標系需要經過RTCP轉換，各進給軸的運動也同樣會受RTCP轉換的影響；刀軸與刀位點的誤差控制及同步參數化；補償必須具有實時性[12]。目前，這些問題仍需深入研究。圍繞這些問題，本文提出一種新的5軸機床刀路光順方法，將5軸機床直線插補所采用的球面坐標系，轉換成平面笛卡爾坐標系，分別對刀軸矢量和刀位點軌跡進行光順。平面笛卡爾坐標系中用2個歐拉角表示刀軸矢量，結合基于機床特性的前瞻技術與運動學約束，以滿足進給軸速度與加速度光滑連續。

1 5軸直線插補G2連續轉接光順

G2連續轉接光順即直線刀路連接處具有公共的曲率矢。5軸加工過程中刀具路徑G2連續可以減小加工過程中的震動，G2連續性的最低階次曲線為3次曲線，本文為了保證旋轉軸與直線軸同時滿足G2連續，并且在加工過程中實時同步，采用3次Bézier曲線分別對刀軸與刀位點進行光順。Bézier曲線的定義如下[12]：

(1)

式中，t是Bézier曲線中的定義參數，0≤t≤1，Bj則對應的是Bézier曲線的各個控制點。

1.1 刀位點的光順

圖1所示為Bézier曲線光順示意圖，P0、P1、P2分別定義線段P0P1和線段P1P2的端點，線段P0P1的單位矢量用T1表示，線段P1P2的單位矢量用T2表示，轉接過渡圓弧的4個控制點為：{B0,B1,B2,B3} ，且

d=P1B3=B0P1

(2)

將式(1)進行化簡，可以將式(2)代入式(1)得出：

(3)

轉接圓弧與原插補路徑的最大直線距離，當t=0.5時最大，最大偏差距離為：

(4)

因此，當給定刀尖點的光順誤差ε，轉接長度d可以如下計算，當刀位點的轉接誤差為ε時，光順圓弧長度d可表示為：

(5)

圖1 Bézier曲線光順示意圖

1.2 刀軸矢量轉接光順

刀軸矢量的轉接光順與刀位點的光順有所區別，具體如圖2所示，都是采用3次Bézier曲線進行轉接光順，不同的是刀軸方向用o=[oi,oj,ok]表示，為了便于表達，將刀軸矢量通過兩個歐拉角度轉換成平面矢量，如式(6)：

α=arctan(oj/oi)
β=arccos(ok)

(6)

基于式(6)的映射關系，結合式(3)和式(5)即可確定刀軸的轉接光順曲線，在球面坐標系中刀軸如圖2所示，Q=[α,β]表示該平面內與o所對應的點，在確定轉接誤差εq時，刀軸的方向誤差εo與轉接誤差εq有如下關系：

εq<εo

(7)

圖2 球面坐標系轉換平面坐標系

圖2中,△abc中歐拉角與刀軸矢量關系為：

(8)

可由三角形邊長關系得出：

(9)

bc與ab的夾角：

∠abc=arccos(cos(180-β-0.5Δβ)cos(90-0.5Δα))

(10)

由于ε和Δβ、Δα都較小，可以忽略，式(8)可化簡為：

(11)

將cos(90-Δα/2)≈0，帶入式(10)，可得出：

∠abc≈90

(12)

將式(11)、式(12)帶入式(9)得：

ε2=(sinβ)2△α2+△β2

(13)

因為εq<εo，可得：

(14)

刀軸是通過歐拉角轉換成平面問題進行轉接光順的，實際應用中需要將平面計算結果重新返回到球面坐標系，Q所對應的球面坐標內，刀軸o=[oi,oj,ok]符合：

(15)

1.3 刀位點與刀軸光順同步性

在5軸直線插補中，刀位點轉接光順與刀軸轉接光順的同步性非常重要，即要求同時開始轉接光順，同時結束轉接光順，保證各直線軸和旋轉軸速度與加速度沒有突變，保持連續。轉接光順后的5軸直線插補軌跡，Bézier曲線圓整了曲線拼接區域，同時滿足刀軸與刀位點的轉接要求，光順刀位點與刀軸的曲線采用相同的曲線參數進行圓整，可以實現實時的同步，選擇相同的曲線參數時，必須滿足以下條件：

(16)

式(16)中各參數如圖3所示，BQ(t)在刀路QiQi+1的光順長度用dq2表示；BP(t)在刀路PiPi+1的光順長度用dp2表示；BQ(t)在刀路Qi-1Qi的光順長度用dq1表示；BP(t)在刀路Pi-1Pi的光順長度用dP1表示。

圖3 轉接同步示意圖

2 光順后直線插補軌跡生成

利用Bézier曲線將5軸直線插補軌跡進行光順，圖4為非對稱與對稱轉接曲線，光順后的軌跡引進了曲線，曲線的曲率越大，弓高誤差越大，向心加速度越大，是制約進給速度的重要因素。文獻[11]給出，曲率最大值點的進給速度必須進行限制，當Bézier曲線對稱，最大曲率極值在曲線的中點t=0.5處，最大曲率可以表示為：

(17)

圖4 非對稱與對稱轉接曲線

速度規劃單元可以依據光順后插補路徑的曲率來分，將Bézier曲線的中點定義為分割點，對任意兩個分割點之間的路徑進行插補計算及速度規劃。刀具路徑經過光順，實現高階幾何連續性，位移對時間的導數可以體現運動的平滑性。運動的平滑性越好，所對應的導數連續性越高，所以路徑的連續性取決于插補軌跡的幾何特性。根據分段函數進行進給軸的加減速控制，更符合伺服電機的機械特性。直線軸與旋轉軸的加速度也需要限制。7段式S型速度規劃方法如圖5所示，可以根據分段函數實時規劃出躍度曲線，連續的直線軸與旋轉軸加速度曲線，相較于其他速度規劃方法，可獲得更高的進給速度，規劃加速計算時間也可以更長。CNC5軸加工數控系統，在進行5軸直線插補過程中，會執行程序預讀功能，例如在直線插補PiPi+1段，PN-1PN之間的路徑，已經被預讀到系統內部，進行路徑規劃。所以光順后直線插補軌跡生成都要經過以下幾步。

(1)直線插補軌跡計算，根據生成的速度曲線對加工刀位點與刀軸進行插補計算;

(2)速度規劃，根據直線插補的起點和終點通過7段式S型速度規劃對躍度、加速度、進給率、路徑長度、速度，進行規劃，最終得到加速度連續的速度曲線，減小直線軸與旋轉軸的機械沖擊;

(4)路徑光順，計算出Bézier曲線和線段的表達式就能對PO和PN之間的軌跡進行光順。窗口末端不需要進行光順，保證末端執行器加工結束后能夠平穩地停在PN。

圖5 7段式S型速度規劃方法

3 仿真模擬分析與試驗驗證

3.1 仿真模擬分析

為了對光順后的5軸直線插補軌跡進行模擬驗證，特設計如圖6所示的刀路軌跡，在模擬過程中，刀軸的轉接誤差為0.05°，刀位點的轉接誤差為0.08mm，最大進給速度F為80mm/s，插補周期Ts設定為0.2ms，最大切向躍度Jmax設置為4000mm/s3，最大切向加速度Amax設置為230mm/s2，具體機床結構如圖7所示，各軸運動學模型轉換成:

X=Pysin(C)-Pxcos(C)
Y=(Pz+Lac,z)sin(A)-ycos(A)sin(C)-Pxcos(A)sin(C)
Z=(Pz+Lac,z)cos(A)+ycos(C)sin(A)+Pxsin(A)sin(C)
A=arccos(ok)
C=arctan(oi/oj)

(18)

式(18)中，5軸機床的直線軸X，Y，Z最大速度為200mm/s，最大加速度為1000mm/s2，旋轉軸A,C的最大速度為10rad/s,最大加速度為30rad/s2，Lac,z為5軸機床內部設置參數，設置為45。結構圖見圖7。

圖6 用于仿真模擬的5軸直線插補刀路

圖7 雙轉臺5軸機床結構圖

上述仿真模擬計算在數據處理軟件Matlab7.0環境下分析計算。為了避免大的計算量同時提高進給率，在程序預讀時預讀3條直線插補路徑，Matlab7.0計算結果如圖8～圖11所示。

圖8 進給速度對比圖

圖9 轉接光順誤差

在Mori Seiki NMV5000數控系統中模擬加工，各刀位點的距離比較近，且各進給軸進給方向變化比較多，所需加工時間為3.50s，從圖8可以看出，光順后的加工時間為2.93s，光順前的加工時間為3.82s，綜合比較光順后所需的時間最少。光順后的5軸直線插補軌跡與原軌跡會產生一定的偏差，偏差的來源為原本突變的離散刀位點被Bézier曲線圓滑過渡，圖9中可以看出光順誤差確實存在，刀軸方向的誤差范圍約為0～0.02°，刀位點的誤差范圍為0～0.1mm，都沒有超過系統的預設值。因此本文采用的Bézier曲線圓滑過渡離散刀位點的過渡方法可以滿足誤差要求。

圖10所示為各軸的進給速度曲線，在僅考慮運動學約束情況下，X軸的速度在進給到18～35mm范圍內反向達到最大值；圖11所示為各軸的加速度曲線，X軸在加工到40mm和58mm處加速度超出允許最大值，Y軸在加工到40mm處加速度超出允許最大值，C軸在加工到40mm和58mm處加速度超出允許最大值。當同時考慮運動學和伺服約束時，圖10和圖11中所有的速度與加速度點都處于正負極限之間，驗證了Bézier曲線圓滑過渡離散刀位點的合理性。Bézier曲線圓滑過渡離散刀位點的過渡方法中，每個插補點所消耗的直接計算時間為0.186ms，本次模擬共生成839個插補點，因此實時性可以滿足。

圖10 各軸的進給速度曲線

圖11 各軸的加速度曲線

3.2 試驗驗證

Bézier曲線圓滑過渡離散刀位點的過渡方法，在仿真模擬環境下能夠很好的完成預期結果。接下來在5軸龍門式雕銑機上試驗驗證，圖12所示為試驗平臺組成圖，該平臺可以拆分為3個部分。

圖12 試驗平臺組成圖

(1)5軸龍門式雕銑機，伺服驅動器采用YASKAWA SGDV系列，直線軸選用線軌接觸，提高響應靈敏度，旋轉軸采用雙轉臺結構，雖然加工范圍受限，但制造工藝簡單，完全能夠滿足本次試驗。

(2)d SPACE實時控制系統，主要用于采集各伺服軸的光電編碼器信號，并從計算機獲取實際插補位置指令，進行伺服閉環控制，最后實現模擬量輸出等伺服閉環功能。

(3)計算機，配置為 Intel i5 8400處理器，6GB RAM，主要用于Matlab/Simulink仿真試驗的搭建。

表1所示為各軸最大跟蹤誤差試驗結果，圖13為各軸的跟蹤誤差?？梢钥闯?，Bézier曲線圓滑過渡離散刀位點的過渡方法，能夠提高系統位置控制精度。

表1 各軸最大跟蹤誤差試驗結果

圖13 各軸的跟蹤誤差

4 結論

分別對刀位點與刀軸進行了光順，在刀軸光順的過程中引進了歐拉角，將刀軸所在的球面坐標系轉換成了平面矢量。刀位點與刀軸的光順曲線采用參數相同的Bézier曲線，進行圓整，保證了各直線軸和旋轉軸速度與加速度沒有突變，保證了刀位點轉接光順與刀軸轉接光順的同步性。

光順后的軌跡引進了Bézier曲線，曲線的曲率越大，弓高誤差就越大，向心加速度也越大，制約了進給速度。根據分段函數對進給軸的加減速進行控制，符合伺服電機的機械特性。

對光順后的5軸直線插補軌跡進行模擬和試驗驗證。在模擬過程中共生成839個插補點，每個插補點所消耗的直接計算時間為0.186ms，能夠滿足實時性要求。在5軸龍門式雕銑機上進行驗證，光順后的速度和加速度沒有超過最大約束值。