自錨式獨塔懸索橋豎向彎曲振動基頻估算公式

郭 俊，劉勝紅，高 嵩，蔡林真

(云南云路工程檢測有限公司，云南 昆明 655600)

獨塔自錨式懸索橋具有造型優美、觀賞效果極佳等特點，是一種在城市市區或風景區等對景觀要求較高地方具有競爭力的橋型。獨塔自錨式懸索橋固有振動特性研究是分析該體系動力特性的基礎[1-6]。

由于自錨式懸索橋是將主纜錨固在加勁梁上，此時加勁梁將承受較大軸向壓力，故將導致其與地錨式懸索橋動力特性存在著較大差異[7-8]。王志誠[9]在考慮主塔剛度影響與否下，分別推導了帶有外伸梁的雙塔自錨式懸索橋豎向振動基頻估算實用公式；張超等[10]采用Rayleigh法，在計入主塔剛度影響下，以三塔自錨式懸索橋為研究對象，推導了該體系豎向彎曲振動基頻計算式；文獻[11]所給出的振動基頻估算式僅只針對地錨式懸索橋，而并未給出自錨式獨塔懸索橋振動基頻估算公式；王玉田等[12]以青島海灣橋為研究對象，采用有限元分析對其開展了動力特性研究。

上述研究成果表明：學界對對稱自錨式獨塔懸索橋動力特性研究較少[13-14]。故筆者采用Rayleigh法，推導了豎向彎曲振動基頻實用公式，可用于該體系橋梁在初步設計階段選擇合理的結構參數或校核有限元計算結果。

1 豎向彎曲頻率計算

1.1 勢 能

自錨式獨塔懸索橋在鉛垂平面豎彎振動時的勢能分為主纜、加勁梁及主塔勢能的總和。橋跨布置立面如圖1。

圖1 橋跨立面布置

主纜內力變化引起的彈性勢能Uce如式(1)：

(1)

式中：Ec、Ac分別為主纜的彈性模量及橫截面面積；Hi為第i跨主纜水平分力增量；ls1、ls2分別為主纜虛擬長度；f1、f2分別為主纜垂度；θ1、θ2分別為主纜水平傾角。

主纜重力作用點引起的重力勢能Ucg如式(2)：

(2)

式中：Hq為成橋時刻主纜水平分力；v為加勁梁豎彎振動時振型函數。

加勁梁勢能Ugs如式(3)：

(3)

式中：Eg、Ig分別為加勁梁彈性模量和抗彎剛度。

加勁梁軸向壓縮彈性勢能Uge如式(4)：

(4)

式中：Ag為加勁梁截面積。

主塔勢能Ut如式(5)：

(5)

式中：Sti為第i號主塔縱向單位抗彎剛度。

故自錨式獨塔懸索橋在鉛垂平面內振動時的總體勢能U如式(6)：

(6)

1.2 動 能

自錨式獨塔懸索橋在鉛垂平面豎彎振動時的動能為主纜、加勁梁、主塔及吊索動能總和。

主纜動能Tc如式(7)：

(7)

式中：mc為主纜單位橋長質量。

加勁梁動能Ts如式(8)：

(8)

式中：mg為加勁梁單位橋長質量。

主塔動能Tt如式(9)：

(9)

式中：mti為第i號主塔質量；Ki為第i號主塔抗推剛度。

吊索動能為TH如式(10)：

(10)

式中：mhi為第i號吊索質量。

故自錨式獨塔懸索橋在鉛垂平面內振動時的總體動能Tc如式(11)：

(11)

1.3 頻率計算

由能量法可得自錨式獨塔懸索橋豎彎頻率計算表達式如式(12)：

(12)

式(12)為獨塔自錨式懸索橋豎彎基頻能量表達式，需對其進一步簡化。張超等[10]指出：在自錨式懸索橋體系勢能中，主纜勢能和加勁梁勢能在該結構體系勢能中占主導地位；該體系動能中，主纜和加勁梁動能在該體系動能中占主導地位，故式(12)可簡化為式(13)：

(13)

2 變形協調條件

自錨式獨塔懸索橋一階對稱和反對稱豎彎基本振型如圖2。

圖2 一階對稱和反對稱豎彎基本振型

2.1 一階對稱豎彎基本振型及變形協調方程

圖3為該體系在一階對稱豎向振動時的主塔受力情況。

圖3 一階對稱主塔受力示意

由圖3可知：主塔未發生縱向變形，即主塔兩側主纜水平增量之差為零，主塔受力平衡方程如式(14)：

H1=H2

(14)

由變形協調條件，可得錨跨變形協調方程如式(15)：

(15)

由式(14)、(15)可得式(16)：

(16)

2.2 一階反對稱豎彎基本振型及變形協調方程

圖4為該體系在一階反對稱豎向振動時的主塔受力情況。

圖4 一階反對稱主塔受力示意

根據變形協調原理，可得錨跨及主跨變形協調方程分別如式(17)、(18)：

(17)

(18)

主塔兩側主纜水平力增量與主塔變形相互平衡如圖4，其受力平衡方程如式(19)：

H1=H2+Stu

(19)

由式(17)～(19)可求得式(20)：

(20)

3 一階對稱豎彎頻率計算

加勁梁一階對稱振型如圖2(a)。假設其外伸跨、錨跨和主跨加勁梁振型函數分別如式(21)～(23)：

(21)

(22)

(23)

由加勁梁振型函數滿足變形協調條件，則可得式(24)：

(24)

由此可得式(25)～(27)：

ls1)EcAc

(25)

(26)

(27)

將式(25)～(27)代入式(12)，并簡化可得其一階對稱基頻估算表達式為式(28)：

(28)

4 一階反對稱豎彎頻率計算

加勁梁一階反對稱振型如圖2(b)。設外伸跨、錨跨及主跨加勁梁振型函數分別如式(29)～(31)：

(29)

(30)

(31)

由加勁梁振型函數滿足變形協調條件，可得式(32)：

(32)

由此可得式(33)～(35)：

(33)

(34)

(35)

將式(33)～(35)代入式(12)，并簡化可得其一階豎彎反對稱基頻的估算表達式如式(36)：

(36)

5 算 例

某橋為自錨式獨塔懸索橋，其跨徑布置為(80+190+260+80)m，其計算參數與文獻[12]一致。該橋計算參數及計算結果如表1、 2。

表1 計算參數

注：E為彈性模量；A為截面積；I為豎向抗彎慣性矩；Q為荷載集度。

表2 解析解與文獻解計算結果比較

算例分析表明：由文中所推導的估算公式計算得到該體系豎彎基頻與文獻[12]之間存在一定差異，其中一階對稱豎彎之間的誤差僅為5.61%，而一階反對稱豎彎的誤差為11.52%。因此，一階對稱豎彎基頻誤差比一階反對稱基頻誤差要小，其原因在于該結構體系在做低階反對稱豎向振動時其實際振型為低階反對稱豎向振動與縱飄振動的耦合振動，而文中解沒有計入耦合項，即該體系在做振動時僅僅視為豎向彎曲振動而忽略縱飄振動，從而使得一階反對稱豎彎振動與有限元解存在較大誤差。

6 結 論

1)計算獨塔自錨式懸索橋豎向彎曲振動基頻時，其動力特性由主纜、加勁梁決定。

2)筆者采用能量法，推導了自錨式獨塔懸索橋豎彎振動基頻估算公式，可用于該體系橋梁初步設計階段中結構參數的合理選擇或校核有限元計算結果。

3)筆者所推導的豎彎振動基頻估算實用公式僅適用于獨塔自錨式懸索體系豎彎基頻估算，而不適用于其他支承體系豎彎基頻估算。為進一步提高所推導的估算公式計算精度，在后續研究中可計入縱飄振動對豎彎振動的影響，以提高文中推導的估算公式精度。