靜電力平衡式石英撓性加速度計閉環控制系統的設計與分析*

劉燕鋒，劉吉利，馬官營

0 引 言

加速度計是慣性導航系統中最基本的傳感器之一.隨著對航天器導航、制導精度要求的提高，對加速度計的測量精度的需求也進一步提高.現有的液浮擺式加速度計和石英撓性加速度計的精度在10-6g范圍以內[1]，難以滿足高精度導航的任務需求.靜電懸浮加速度計可實現超高分辨率，適合測量緩慢變化的微弱加速度，量程極小，主要用于空間微加速度的測量[2-4].

為了滿足導航系統高精度加速度測量要求，綜合石英擺式加速度和靜電懸浮加速度計的優點，研制了一種靜電力平衡式石英撓性加速度計.該加速度計采用靜電力實現力反饋閉環，代替傳統石英撓性加速度計使用的電磁力閉環，無需在結構上設計線圈和永磁體，結構簡單，且力反饋精度高，可滿足空間電推進加速度的測量精度要求.

靜電力平衡式石英撓性加速度計采用靜電力反饋、電容檢測的驅動檢測方式.隨著加速度計測量精度的提高，機械熱噪聲成為影響加速度計精度的主要因素之一，因此加速度計表頭需要具有高真空度，這導致加速度計表頭的阻尼為0，在擺片固有頻率處產生振蕩.同時，加速度計驅動電容的極板之間的電壓差會引起靜電力負剛度，導致加速度計在動態工作條件下表頭剛度不斷發生變化，甚至整個表頭剛度變為負數，影響加速度計的正常工作.因此，根據靜電力平衡式石英撓性加速度計的表頭參數特點進行閉環控制系統的設計具有重要意義.

本文針對靜電力平衡式石英撓性加速度計，建立了加速度計表頭的系統模型，建立了擺片的剛度模型和撓度模型，并分析了靜電力負剛度對表頭系統模型的影響；在閉環控制系統中引入了阻尼補償環節，并設計了系統校正環節，提高了系統的穩定性和快速性動態特性.

1 加速度計表頭模型

靜電力平衡式石英撓性加速度計表頭主要由敏感擺片、驅動電容和檢測電容構成，如圖1所示.

圖1 靜電力平衡式石英撓性加速度計表頭示意圖Fig.1 Schematic diagram of electrostatic force-balance quartz-flexure accelerometer

設測量加速度為a，擺片轉動角度為α，敏感擺片的動力學微分方程為[5]：

(1)

其中，P為擺片的擺性，設擺片質量為m，擺片質心距離(相對懸臂梁固定端)為L，則擺性P=mL；J為擺片的轉動慣量；K為擺片的轉動剛度；C為擺片的轉動阻尼，當表頭具有高真空度時，C≈0.

則表頭系統的傳遞函數為：

(2)

當擺片轉動時，驅動、檢測電容的電極間隙變化不均勻，影響驅動力和檢測電容變化量等參數.下面對加速度作用下擺片的剛度和撓度進行分析.

敏感擺片主要由撓性梁和敏感質量塊組成.敏感質量塊的厚度為幾百μm，撓性梁的厚度僅為十～幾十μm，因此敏感擺片的剛度由主要由撓性梁剛度組成.敏感擺片可以等效為懸臂梁模型，如圖2所示.

圖2 敏感擺片示意圖Fig.2 Schematic diagram of sensitive pendulum

懸臂梁任意截面x處的轉角θ和撓度y的關系滿足tanθ=dy/dx.

懸臂梁質心處受到作用力為F=ma,撓性梁的彎矩方程為[6]：

M(x)=-F(L-x)

(3)

邊界條件滿足：

(4)

式中，y0表示當x=0時，撓度y的取值，以此類推.

設擺片材料的楊氏模量為E,撓性梁慣性矩為I,則撓性梁的轉動微分方程為：

(5)

由方程(3)～(5)可求得撓性梁轉角公式和撓度公式：

(6)

(7)

則撓性梁的轉動剛度為：

(8)

敏感質量塊可等效為剛體，不發生形變.則當x≥l時，懸臂梁(敏感質量塊)的撓度公式為：

(9)

由式(9)可以求得擺片各位置的位移，即電容間隙的變化量.敏感質量塊的位移梯度為：

(10)

隨著作用力F的增大，敏感質量塊的撓度梯度增大，電容間隙變化量的不均勻性增大.當加速度計在開環工作或測試條件下，需要考慮電容間隙變化量不均勻對驅動、檢測參數的影響.

因此，加速度計一般工作在力平衡閉環條件下，擺片受平衡力的作用一直工作在平衡位置附近，轉動角度十分小，電容間隙變化量可以近似為恒定值，等效為電容面積形心處的位移.

靜電力平衡式石英撓性加速度計采用靜電力反饋，在差分式驅動電容上施加反饋驅動力.設介電常數為ε,電容面積為Ad,電容初始間隙為dd,則單邊驅動電容的初始值為Cd=εAd/dd[7].施加在擺片驅動電極上的恒定直流電壓為Vb;施加在另一個驅動電極上力平衡反饋電壓為Vf,差分驅動電容上的力平衡反饋電壓大小相等，方向相反.當擺片位移為z時，差分式驅動電容的總儲存能量為：

(11)

差分式驅動電容上總靜電力為：

(12)

式(12)中，右項為反饋靜電力，通過改變反饋電壓Vf的大小，即可改變反饋靜電力的大??；左項為負剛度靜電力，該力與擺片位移呈正比，等效靜電力負剛度(轉動)為：

(13)

因此，加速度計表頭系統的總剛度為K′=K-Ke,且隨著擺片位移變化量的增大而減小，甚至為負剛度.

2 加速度計閉環控制系統

為了提高加速度計表頭的工作穩定性和工作精度，需要合理設計加速度計閉環控制系統.

為了提高加速度計的精度，降低機械熱噪聲，加速度計表頭需要具有高真空度，導致表頭系統阻尼為0，在擺片固有頻率處產生振蕩，因此需要在加速度計閉環控制系統中設計阻尼補償環節.表頭系統的諧振頻率較低，導致加速度計帶寬低，擺片位移變化時，表頭系統剛度發生變化，因此需要增大加速度計閉環控制系統的帶寬，增加表頭剛度變化條件下的閉環系統魯棒性.

以一款靜電力平衡式石英撓性加速度計參數進行閉環控制系統的設計與仿真分析.

在高真空度下，表頭系統的傳遞函數為：

(14)

仿真得到表頭的開環頻率特性曲線如圖4所示，系統在頻率14.5 Hz處有一個諧振峰，工作過程中易發生振蕩.

圖3 加速度計閉環控制系統框圖Fig.3 Close-loop control system of accelerameter

圖4 加速度計表頭的開環頻率特性曲線Fig.4 Open-loop frequency response of accelerometer

經過阻尼后補償后的傳遞函數為：

G2(s)=

(15)

加速度計的檢測放大參數KCKD≈5 000,力反饋參數由驅動電容的力放大系數決定：Kfb≈1.22×10-7,阻尼補償環節的設計參數為KP=20，τ=0.005.仿真得到阻尼補償后系統開環頻率特性曲線如圖5所示.經過阻尼補償后，系統不出現振蕩，但該系統閉環后不穩定且帶寬較低，需要引入校正環節[8-9].

圖5 阻尼補償后系統開環頻率特性曲線Fig.5 Damping-compensated open-loop frequency response of accelerometer

為了消除系統的靜態誤差，在系統中引入積分環節，積分后的系統開環頻率特性如圖6所示，系統開環截止頻率18.63 kHz，相角裕度0.7°.系統的開環截止頻率過大，相角裕度過小，不滿足系統穩定性和動態特性的要求，因此需要加入校正環節.

圖6 加入積分環節后系統開環頻率特性曲線Fig.6 Open-loop frequency response with integral element

采用超前校正環節來進行系統校正，選定校正環節表達式為：

(16)

校正后的系統開環頻率特性曲線見圖7.系統開環截止頻率1 579 Hz，相角裕度78°，滿足系統穩定性條件.校正后的系統閉環頻率特性曲線如圖8所示，幅頻特性曲線無諧振峰，系統的阻尼比接近0.707，系統帶寬約2 380 Hz.

圖7 加入校正環節后系統開環頻率特性曲線Fig.7 Open-loop frequency response with correction element

圖8 加入校正環節后系統閉環頻率特性曲線Fig.8 Close-loop frequency response with correction element

加速度計閉環系統階躍響應圖線如圖9所示，系統超調量為3%，調節時間為0.5 ms，閉環系統穩定.

圖9 閉環系統的單位階躍響應曲線Fig.9 Step response of closed-loop system

下面分析靜電力負剛度增大對閉環系統的影響.由于加速度計工作在閉環條件下，擺片在平衡力的作用下工作在平衡位置附近，受到的靜電力負剛度接近0(在平衡位移處為0).為了驗證閉環系統穩定性，取比較極端的情況，設靜電力負剛度增大到原系統剛度的20倍，加計表頭系統的傳遞函數為：

(17)

仿真得到表頭的開環頻率特性曲線見圖10，系統相位恒定為-90°，系統不穩定.

圖10 靜電力負剛度增大后的表頭系統的開環頻率特性曲線Fig.10 Open-loop frequency response of accelerometer with the increase of negeative stiffness

閉環系統頻率特性曲線如圖11所示，系統帶寬為2 383 Hz.閉環系統階躍響應圖線如圖12所示，系統超調量為3%，調節時間為3 ms，閉環系統依舊穩定.

圖11 靜電力負剛度增大后的系統閉環頻率特性曲線Fig.11 Close-loop frequency response with the increase of negeative stiffness

圖12 靜電力負剛度增大后的閉環系統的單位階躍響應曲線Fig.12 Step response of closed-loop system with the increase of negeative stiffness

3 結 論

本文針對一種靜電力平衡式石英撓性加速度計，建立了其表頭系統模型并設計了一種靜電力力平衡式閉環控制系統.針對表頭擺片擺動引起的電容間隙不均勻對驅動、檢測參數的影響，建立了擺片的剛度模型和撓度模型，為加速度計的驅動、檢測設計提供了理論基礎.針對加速度計表頭高真空度引起的表頭振蕩，在閉環系統中引入阻尼補償環節，并在加閉環系統中設計積分環節和校正環節來增加系統的快速性和穩定性.仿真結果表明，系統帶寬約2 380 Hz，階躍響應的超調量為3%，調節時間為0.5 ms.當系統靜電力負剛度增大時，閉環系統也可以穩定工作.