井眼軌跡不確定性表征方法

劉修善

（中國石化石油工程技術研究院，北京 100101）

0 引言

井眼軌跡設計、監測與控制的基本目標是定位井眼軌跡的空間位置。然而，由于存在測量、計算等誤差，井眼軌跡定位不可能絕對準確。通過誤差校正等途徑能提高井眼軌跡定位精度，但是卻無法完全消除誤差，因此井眼軌跡存在不確定性問題。特別是密集井網、薄油層等油氣田開發和海上平臺、救援井等鉆井作業更需要定量表征井眼軌跡的不確定性，以降低鉆井作業風險并提高油氣田開發效果[1]。

為規范井眼軌跡不確定性的評價方法，國際石油工程師協會（SPE）成立了專門的行業指導委員會（Industry Steering Committee for Wellbore Survey Accuracy，簡稱ISCWSA），建立了ISCWSA井眼軌跡誤差模型，并隨時更新和維護誤差源及誤差模型[2-10]。相比 Wolff and De Wardt、SESTEM 等模型[10-11]，ISCWSA模型被公認為是國際性行業標準。

基于井眼軌跡誤差模型可以得到各測點處的協方差矩陣，用以描述井眼軌跡空間位置的不確定性，但是ISCWSA不提供井眼軌跡誤差橢球的表征方法。雖然用橢球主軸與參考系坐標軸的夾角能表征誤差橢球的空間姿態[12]，但是不符合行業習慣且使用不便。此外，還有用水平面截取誤差橢球以分析水平面上的井眼軌跡誤差的研究成果[13-14]。

為滿足涉及井眼軌跡誤差分析的各種工程需求，本文提出了誤差橢球姿態表征、截面誤差橢圓解算、誤差橢圓柱構建等方法，用以分析井眼軌跡在空間任意平面上的誤差和軸向包絡誤差及其沿井深變化情況，具有清晰的物理和工程意義。

1 誤差傳播與集成模型

誤差源是井眼軌跡誤差分析的基本要素，ISCWSA已識別出80多個誤差源[10]，常見誤差源包括傳感器誤差、BHA（井下鉆具組合）軸向及周向磁干擾、BHA下墜及工具組件徑向不對稱引起的不對中誤差、地磁場不確定性、井深誤差等。井眼軌跡誤差模型主要考慮具有代表性的不確定性因素，不包括偶然事件、測斜儀缺陷、錄入數據有誤等過失誤差。誤差模型的假設條件為[2-10]：①只考慮測量誤差引起的井眼軌跡位置誤差；②每個測點可用井深、井斜角和方位角來表征；③不同誤差源的誤差在統計學上相互獨立；④測量誤差大小與相應井眼軌跡位置變化為線性關系；⑤各種測量誤差對井眼軌跡位置的綜合影響等于各自影響的向量和。

為表征誤差源對井眼軌跡位置誤差的影響規律，Brooks和Wilson建立了誤差傳播方程[2-5]：

為表征不同測點、多次測量以及不同井之間的誤差相關性和累積效果，ISCWSA將誤差傳播模式分為隨機誤差、系統誤差、單井誤差和全局誤差，并定義了相關系數。據此，任一測點K處的誤差累計結果可表示為：

ISCWSA提供了不同誤差傳播模式下的協方差矩陣計算方法[2-10]，所以在每個測點處都可得到3×3協方差矩陣CK，其中井口坐標系O-NEH下的協方差矩陣可表示為：

2 誤差橢球及姿態表征

假設井眼軌跡的位置誤差服從正態分布，則誤差分布的等概率密度面為[2-5]：

這是關于放大系數k的橢球族，給定1個k值就確定1個橢球。由于協方差矩陣CNEH是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣H使其對角化。H由CNEH的特征向量構成，將3個特征向量按列組裝可得到：

根據線性代數理論，H與CNEH及特征值存在如下關系：

求得CNEH的特征值及特征向量后，在誤差橢球的主軸坐標系O′-UVW下，便可得到標準形式的橢球方程：

誤差橢球的尺寸可用3個主軸半徑來表征，即：

如圖1所示，根據井斜角、方位角和工具面角的定義，選用誤差橢球主軸W的井斜角αW、方位角φW及繞主軸W的偏轉角θW來表征誤差橢球的姿態，則有：

圖1 誤差橢球及姿態表征

在實際應用中，往往需要確定特征值及特征向量與橢球主軸之間的對應關系。一般情況下，可將靠近橢球高邊方向的主軸作為U軸，將靠近鉛垂方向的主軸作為W軸，并按右手法則確定V軸，使U軸、V軸和W軸構成右手坐標系。

3 截面誤差橢圓

在鉆井過程中，往往需要分析井眼軌跡在水平面、鉛垂面、法平面甚至任意平面上的誤差，用以評價井眼軌跡的不確定性。為此，可用過誤差橢球球心的平面來截取誤差橢球，在相應平面上得到截面誤差橢圓（見圖2）。

圖2 誤差橢球及截面誤差橢圓

為建立截面誤差橢圓的通用表征和計算方法，用單位向量m表示任意姿態平面的法線方向，則該法線的井斜角αm和方位角φm確定了這個平面的空間姿態。如圖2所示，以誤差橢球球心為原點，建立截面坐標系O′-XYZ，其中Z軸指向該平面的法線方向，X軸為該平面與過Z軸鉛垂面的交線且指向高邊方向，Y軸水平指向右側。根據（3）式的協方差矩陣CNEH和坐標系間的旋轉變換關系，在截面坐標系O′-XYZ下協方差矩陣為：

將CNEH分塊并保留參數X和Y相關項，可得到截面誤差橢圓的方程為：

截面誤差橢圓的尺寸和姿態可用 2個主軸半徑和1個偏轉角來表征，計算公式為：

常用的平面姿態包括水平面、鉛垂面和法平面，分別截取誤差橢球得到水平截面、鉛垂截面和法截面誤差橢圓。以下 3種情況為上述通用方法的特例，只需適當選取法線的井斜角和方位角便可得到相應結果：①水平截面誤差橢圓。取αm=φm=0，矩陣T為單位矩陣，偏轉角θ從正北方向起算；②鉛垂截面誤差橢圓。取αm=90°，φm為鉛垂平面的法向方位角，此時偏轉角θ從鉛垂方向起算；③法截面誤差橢圓。αm和φm取值分別為井眼軌跡的井斜角α和方位角φ，此時偏轉角θ從井眼高邊方向起算。

4 誤差橢圓柱

將井眼軌跡的誤差橢球依次串聯在井眼軌跡上，誤差橢球中心位于測點處。若用一個曲面來包絡這些誤差橢球，將得到一個誤差橢圓柱面，由此構成的橢圓柱體可表征井眼軌跡的軸向包絡誤差及其沿井深的變化情況（見圖3）。

圖3 誤差橢圓柱及構建原理

然而，誤差橢圓柱的形態十分復雜。首先，井眼軌跡（即橢圓柱軸線）是三維撓曲線，而非直線、圓弧等形狀簡單的曲線；其次，橢圓柱的橫截面為橢圓形，由于各測點處的誤差橢球尺寸不同，所以橫截面橢圓的長短半徑隨井深變化；再者，由于各誤差橢球的姿態不同，所以橢圓柱面沿井眼軌跡是扭曲面。事實上，誤差橢圓柱面是不可展曲面，并不是嚴格意義上的包絡面。

為便于理解誤差橢圓柱的形成原理，假想地層為冰，而誤差橢球具有高溫，當誤差橢球沿井眼軌跡移動時，將消溶所觸及到的冰體。這樣，在地層中所形成的“井筒”就是誤差橢圓柱，而“井壁”就是誤差橢圓柱面。

如圖3所示，誤差橢圓柱面與誤差橢球相切，其切點構成一條閉合曲線。在井眼坐標系O′-xyz下，將這條閉合曲線投影到xy平面上，得到一條閉合的投影曲線。這條投影曲線就是誤差橢球在xy平面上投影區域的邊界曲線，也是誤差橢圓柱在該測點處的橫截面邊界曲線。顯然，誤差橢圓柱的橫截面邊界曲線為橢圓，若能得到各測點處誤差橢圓柱的橫截面橢圓，就可確定整個誤差橢圓柱。

首先，基于坐標系的旋轉變換關系，可得到井眼坐標系O′-xyz下的誤差橢球方程。若用 3個向量Bi（i=1，2，3）表示坐標系O′-UVW與坐標系O′-xyz間的轉換矩陣B，用向量r表示井眼軌跡位置誤差坐標（x，y，z），則誤差橢球方程為：

而橢圓柱面與誤差橢球的相切條件為：

消去向量r中的參數z，便得到誤差橢圓柱面與誤差橢球的相切曲線在xy平面上的投影曲線方程：

若用矩陣G表示矩陣F的逆矩陣，則誤差橢圓柱的橫截面橢圓主軸半徑及偏轉角為：

將各測點處的橫截面橢圓沿井眼軌跡串聯起來就構成了誤差橢圓柱，可用于評價井眼軌跡的軸向包絡誤差及其沿井深變化情況。

5 實例分析

某水平井按行業規程實施測量和井眼軌跡計算，得到以真北為參考基準的計算結果（見表1）。該井的地磁場強度為56 356.51 nT，磁偏角為-10.60°，磁傾角為64.72°，子午線收斂角為0.876°，誤差橢球放大系數取2.0。采用無軸向校正及BHA下墜等基本MWD（隨鉆測量）誤差模型，按本文的井眼軌跡誤差表征和計算方法，得到如表2和表3所示的評價結果（限于篇幅，表1—表3僅列出部分數據）。

表1 井眼軌跡計算結果

表2 井眼軌跡誤差橢球及誤差橢圓柱評價結果

表3 井眼軌跡截面誤差橢圓評價結果

6 結論

井越深井眼軌跡誤差越大，深井超深井的井眼軌跡位置誤差可達數十米。要提高井眼軌跡監測與控制精度，首先必須嚴格按行業規程進行測斜作業，包括定期校驗測量儀器、現場檢驗地磁場及重力場、按行業規范確定MWD無磁間距和測點間距等。

井眼軌跡的誤差橢球主軸與井眼坐標系的坐標軸不重合。用誤差橢球主軸的井斜角、方位角及偏轉角來表征誤差橢球的空間姿態，具有明確的物理意義，便于工程應用。

井眼軌跡截面誤差橢圓的概念及算法具有通用性，可評價井眼軌跡在水平面、鉛垂面、法平面、甚至任意平面上的誤差，還可用于中靶概率分析等。

井眼軌跡的誤差橢圓柱可評價井眼軌跡的軸向包絡誤差及其沿井深變化情況，誤差橢圓柱橫截面橢圓的最大主軸半徑大于等于法截面誤差橢圓的最大主軸半徑，甚至有可能大于誤差橢球的最大主軸半徑。

符號注釋：

A、B、H、F、T——坐標變換矩陣；C——協方差矩陣；E——東坐標，m；e——井眼軌跡關于N、E、H坐標的誤差向量；Glob——全局誤差；G——矩陣F的逆矩陣；H——垂深，m；h——誤差源的編號；k——誤差橢球的放大系數，無因次；L——井深，m；m——法向量；N——北坐標，m；Rand——隨機誤差；R——誤差橢球的主軸半徑，m；r——誤差橢圓的主軸半徑，m；r——井眼軌跡的位置誤差向量；Syst——系統誤差；U，V，W——誤差橢球主軸坐標系，m；Well——單井誤差；X——截面坐標系的高邊坐標，m；x——井眼高邊坐標，m；Y——截面坐標系的右向坐標，m；y——井眼右向坐標，m；Z——截面坐標系的法向坐標，m；z——井眼切向坐標，m；α——井斜角，（°）；ε——誤差源；φ——方位角，（°）；λ——協方差矩陣的特征值，m2；θ——誤差橢球及橢圓的偏轉角，（°）；σ——誤差大小，或方差及——測量誤差對N、E、H坐標的影響矩陣。