一種基于模型預測控制的柔性關節空間機械臂的軌跡跟蹤控制*

吳 昊，譚 元，郭小龍，毛新濤

0 引 言

由于柔性機械臂有著質量輕，耗電少，低成本，且能夠產生較大的有效載荷等優點[1-5]，因此柔性機器臂在空間機器人、微外科手術操作和核電站維修等重要領域已經得到了廣泛的應用.然而，它們的柔性會導致結構振動，有的空間機械臂除了連桿柔性外，還存在關節柔性.這種關節柔性主要是由電機轉矩波動聯合傳動元件(如齒輪和執行機構軸)產生的.因此，在柔性機械臂實現軌跡跟蹤時，考慮關節的聯合傳動性是必要的.

柔性關節空間機械臂的控制是一個非常具有挑戰性的問題，這主要是因為系統自由度的數量是控制輸入的兩倍.在某些情況下，如果在控制設計中忽略關節的柔性甚者會導致系統不穩定.在大多數文獻中，機械臂的關節柔性常常被忽略，但在需要輕量級結構的空間應用中，如果忽略關節柔性的影響，機械臂的動作將非常緩慢.然而，即使在處理較大的有效載荷時，即使保持非常慢的運動也可能產生明顯的振蕩.因此在空間機械臂的應用中，考慮關節柔性是必不可少的.

在建模方面，文獻[6]提出了一個簡化的模型，這個模型假設電動機轉子的角動能只是由它們圍繞驅動軸的相對旋轉而產生的.文獻[7]提出了在電機與連桿之間存在聯軸器的精確動態模型.

在控制器設計方面，文獻[8]提出了一種用于柔性關節機器人的簡單比例微分(PD)調節器，其設計思想類似于用于剛性機器人的PD調節器.文獻[9]提出了一種考慮關節柔性、執行機構動力學和摩擦力的擴展PD調節器.在文獻[10]中，針對調節任務提出了一種具有在線重力補償的PD控制器.除了PD控制器外，一些研究者研究奇異攝動(SPB)控制策略[11-15].基于柔性機械臂的動力學特征，SPB控制是由一個基于剛性機器臂模型的慢速控制和一個抑制關節彈性振蕩的快速控制組成的控制方法.文獻[16]提出了Slotine and Li (SLI)控制律，該方法用于剛性關節機械臂和快速關節扭矩控制器的組合.文獻[17]提出了一種用于剛性關節空間機械臂的模型的自適應控制(MRAC)方法，文獻[18]將SPB方法擴展到柔性關節空間機械臂.基于文獻[19-21]的思想，文獻[22-24]提出了柔性機械臂的非線性反步法控制.文獻[25]開發了一種使用調優函數的自適應后退方法.

本文研究了柔性關節空間機械臂的動力學問題，利用拉格朗日方法，建立了其狀態空間模型.該模型為軌跡跟蹤控制器的設計提供了的基礎.因此，我們利用所導出的動態模型的結構，結合模型預測控方法，使機械臂末端執行器在關節柔性存在的情況下跟蹤理想的軌跡.最后，數值仿真驗證了該方法的有效性.

本文剩余部分的結構如下: 第2章給出了柔性關節空間機械臂的狀態空間模型;第3章給出了適用于柔性關節空間機械臂的非線性模型預測控制方法；為了驗證方法的有效性，第4章給出了一些仿真結果；最后對本文的工作進行了總結.

1 柔性關節空間機械臂動力學建模

本文考慮圖1所示的大型雙連桿機械臂，該機械臂具有轉動式的肩關節和肘關節.由于該機械臂應用在空間中，因此忽略重力效應.

假設該機械臂只做平面運動，每個關節都被建模為一個恒定剛度的線性扭轉彈簧.如圖2所示，該關節轉動直接由直流電機驅動.文獻[17]利用歐拉—拉格朗日公式，從動力和勢能的角度推導了具有柔性關節的2連桿機械臂的非線性動力學方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

qi(i=1,2)為轉動關節的角位移，Li(i=1,2)表示連桿i的長度，ri(i=1,2)是連桿i重心到上一個關節的長度，mi(i=1,2)表示桿i的質量，連桿i的轉動慣量Ii(i=1,2)與xoy平面垂直.

圖1 兩連桿機械臂Fig.1 Two-link manipulator

圖2 柔性關節模型Fig.2 Flexible-joint modeling

(6)

2 非線性模型預測控制器的設計

傳統的模型預測控制(MPC)采用離散時間線性模型.然而，大多數動力系統是非線性連續的，所以不能直接應用傳統的模型預測控制方法.為了解決這個問題，可以采用逐次線性化的方法.該方案的主要想法是在當前系統狀態的時刻點對連續非線性系統進行線性化.得到線性化連續系統后，進行離散化.最后，將離散化方程擴展成預測方程，構建一個二次規劃(QP)問題來求取最優控制序列.

2.1 連續非線性系統線性化

式(6)中描述的系統可以通過在期望操作點找到其梯度矩陣來線性化.狀態向量分量的導數函數f的雅可比子矩陣可以寫成

(7)

定義線性化的系統狀態向量為xL,控制向量為uL,該系統能用下列式表示：

(8)

式中的常數項用G∈Rnx表示，則線性化系統的狀態空間方程表示為

(9)

2.2 連續線性系統離散化

接下來，將連續線性化系統進行離散化.首先，將式(9)兩邊同時乘矩陣指數e-Act得

(10)

等式(10)能重寫為：

(11)

對式(11)兩邊同時乘以eAct,得到連續線性動力模型為：

(12)

定義離散時間指標為xL(t)=xL(kTs)，Ts為采樣時間，在式(12)中用kTs取代t，有

xL(k+1)=eAcTsxL(k)+

(13)

假設在每個采樣點的輸入uL=uL(k)，Ac是可逆的，式(13)轉化為

xL(k+1)=

(14)

(15)

2.3 模型預測控制器的設計

(16)

令S=Fc-r為常量，式(16)寫成

(17)

控制器性能的量化指標即成本函數定義為

(18)

Q，R分別為誤差權值對角矩陣和輸入向量對角矩陣，將式(17)帶入(18)得

(19)

模型預測控制的一個重要特性就是處理約束的能力，它可以對狀態變量施加約束.與式(17)類似，在時刻k預測未來Np狀態向量Xk為：

令Sx=Fxc為常量，該式可寫成：

(20)

狀態約束定義為xmin≤VXk≤xmax,結合式(20)得

其中V狀態約束的矩陣系數，控制輸入約束定義為Umin≤Uk≤Umax,一個QP問題能表示為：

(21)

(22)

Umin≤Uk≤Umax

(23)

該運行機理如下：

(1)根據式(21)～(23)計算控制輸入Uk;

3 仿真實驗

為了驗證建立的狀態空間模型結果，進行如下仿真實驗.2連桿柔性關節空間機械臂的參數為L1=L2=1 m，m1=m2=0.5 kg，Jm1=Jm2=1 kg·m2，k1=k2=200 N·m/rad.假設采樣周期為Ts=0.1 s，預測時域Np=5，加權矩陣為Q=1 000I8，R=I2.

3.1 無約束情況

圖3 圓軌跡跟蹤結果Fig.3 Trajectory tracking result of a circle

圖4 正方形軌跡跟蹤結果Fig.4 Trajectory tracking result of a square

3.2 有約束情況

為了提高機械臂運行的穩定性，桿1的旋轉角和控制輸入約束為

-π≤q1≤π

-20≤τ≤20

參考軌跡定義如下：

首先在本文方法中設計了不同的預測時域Np=5，10，20，仿真效果如圖5～6所示，可以發現當預測時域越大，達到跟蹤期望的時間越快.

圖5 在不同預測時域Np下桿1轉動角度Fig.5 Angles of link 1 with different prediction time domains Np

圖6 在不同預測時域Np下桿2轉動角度Fig.6 Angles of link 2 with different prediction time domains Np

圖7 桿1轉動角度Fig.7 Angles of link 1

圖8 桿2轉動角度Fig.8 Angles of link 2

圖9 桿1轉動角速度Fig.9 Angular speed of link 1

圖10 桿2轉動角速度Fig.10 Angular speed of link 2

4 結 論

本文在對柔性關節空間機械臂進行動力學分析的基礎上，重點研究了機械臂軌跡跟蹤問題，提出了一種連續線性化的模型預測控制方法，實驗表明柔性關節空間機械臂末端可以快速穩定到達目標位置.