關于ss-擬正規子群和c-正規子群

程 丹, 徐穎吾

(西安工程大學 理學院, 陜西 西安 710048)

1 預備知識

首先介紹與ss-擬正規子群有關的結果:

引理1[2]設H是G的ss-擬正規子群,K≤G且N是G的正規子群.

1) 如果H≤K, 那么H是K的ss-擬正規子群.

2)HN/N是G/N的ss-擬正規子群.

3) 如果N≤K且K/N是G/N的ss-擬正規子群, 那么K是G的ss-擬正規子群.

4) 如果K是G的擬正規子群, 那么HK是G的ss-擬正規子群.

與c-正規子群相關的引理如下:

1) 如果X在G中c-正規, 那么X在H中c-正規.

2) 設π是素數集,N是G的正規π-子群,X是G的π′-子群. 如果X在G中c-正規, 那么XN/N在G/N中c-正規.

3) 設N是G的可解極小正規子群,N有一個在G中c-正規的極大子群, 那么N是素數階的循環群.

4) 假設p∈π(G)使得(|G|,p-1)=1. 如果Gp擁有一個極大子群H且H是G的c-正規子群, 那么G的p-冪零剩余G(P)是一個p-群.

引理4[11]設G是一個群且p是一個素數, (|G|,p-1)=1.

1) 如果N是G的正規子群, 那么N≤Z(G).

2) 如果G有一個循環p-子群, 那么G是p-冪零的.

引理5[1]設N是G的正規Hall子群, 則

1)N在G中有補;

2) 若N或G/N可解,H和H1是N在G中的2個補群, 則存在u∈N使得Hu=H1.

2 主要結果

定理設G是有限群,p∈π(G)且滿足(|G|,p-1)=1. 假設P是G的一個Sylowp-子群, 如果M(P)的每個元素在G中或是ss-擬正規的或是c-正規的, 那么G是p-冪零的.

證明假定結論不真, 我們設G是極小反例.

置M(P)={P1,P2,···,Pm}. 由假設, 每個Pi要么在G中ss-擬正規要么在G中c-正規. 不失一般性, 設存在一個自然數k(1≤k≤m), 使P1，···，Pk在G中c-正規, 而Pk+1，···，Pm在G中ss-擬正規.

由于Pi(i=1,···,k)在G中c-正規, 由引理2之4)知,G/(Pi)G是p-冪零的.

記

所以N≠1.

我們分4個步驟來證明.

第1步 證明G有Hallp′-子群H.

因為商群G/N是p-冪零的, 所以商群G/N存在正規Hallp′-子群M/N. 那么M有正規Hallp-子群N. 由引理5,M有p-補, 記為H. 這個H即為G的Hallp′-子群. 即為所求.

第3步 記N*=N∩Wj. 考察

N∩Wj=P∩N∩Wj=N∩(P∩Wj)=N∩(P∩PjH)=N∩Pj

又由于G/Φ(P)是p-冪零的且p-冪零群類是一個飽和群系, 我們得出G是p-冪零的. 得出最后的矛盾.

證畢.

推論假設G是一個群. 如果M(G)的每個元素在G中要么是ss-擬正規要么是c-正規, 那么G有超可解型Sylow塔.

證明設p是|G|的最小素因子,P是G的Sylowp-子群. 由假設M(P)的每個元素或是c-正規或是ss-擬正規, 由上一定理可知,G滿足該定理條件, 從而G是p-冪零的. 設U是G的正規p-補, 由引理1(2)和引理2(2)有,U滿足推論的條件, 由極小反例法可知,U擁有超可解型Sylow塔, 形如,U?U1?U2?…?Ur, 從而G就有超可解型Sylow塔, 形如,G?U?U1?U2?…?Ur.證畢.