智慧教學，探究數學本質

☉江蘇省常熟市梅李高級中學 馬俊華

數學具有抽象性、邏輯性等特點，因此在高中數學教學中，教師要引領學生認識數學的本質，關注數學學科自身的特點，強調數學知識的邏輯銜接與拓展延伸，以促進學生智慧學習.在核心素養的引領下，如何立足于高中數學的教學實際，發展學生的數學核心素養呢？教師需要從挖掘數學教法，創設數學學習情境，啟發學生數學思維等方面，透析數學的本質，增進學生對數學概念、結論、方法的深刻理解與靈活運用.

一、數學概念的學習，要把握其本質

在高中數學教材中，方程是其重要內容，也是最基本的概念之一.何為方程？教材中明確定義為“含有未知數的等式”.但對于該描述，很多學生雖然會背、會解方程，但并未建立全面的“方程觀”.對于方程的概念，以及方程的解法，可以從訓練中來獲得.但怎樣理解方程的本質、未知數及等式，這都需要從挖掘概念的本質中獲取.首先，對方程本質的理解，要突出“變量”.在某一個方程x2+4y2=4中，通過觀察，該方程有兩個未知數，這兩個未知數也是兩個變量.如果我們對該方程進行變形處理得到：從解析幾何視角來分析，該方程表示為一個橢圓.根據橢圓的定義，“到兩個定點的距離之和等于一個常數的點的軌跡”就是橢圓.對于該常數，應該大于兩個定點的距離.因此在橢圓方程中，x，y為兩個變量，而2a=4則為不變量.由此，橢圓方程是通過這個定量關系來構建起來的.為此，探討方程的本質，就是要尋找等量關系.如求等面積、等體積的三角形或三棱錐的高，其中“面積、體積是不變量”是重要條件.當然，在方程中還有靜態、動態之分.通過對“零點”的認識，讓方程與函數實現統一.方程可以是函數的一部分，如y=f（x），令y=0，則f（x）=0.同樣，借助于函數圖像、性質，還能為研究方程提供更寬廣的認知空間.如某方程x3-3x-a=0有三個不同的根，求a的取值范圍.從方程的視角來看，對于該方程的求解較為困難.但如果我們將該方程延伸到函數領域，利用數形結合思想，借助于函數的單調性、極值等特點來進行求解則較為簡易.根據方程，我們假設y=x3-3x與y=a相交的點的橫坐標為方程的根，則可以將三個根等價轉換為函數y=x3-3x與y=a的圖像有三個不同的交點.另外，對于數學概念的本質分析，還要體現出數學學科知識的承接性.在初中階段對函數的理解，以“變量說”為主，體現了函數的變化觀點，表示為兩個變量之間的關系.在高中階段，函數的概念解釋為“對應說”，將函數的兩個數集按照某種法則形成對應的映射關系.

二、數學結論的學習，要把握其本質

在數學領域，定理、公式、法則等結論性知識點很多，這些結論既反映了數學領域的一種特定現象，又是對數學知識的抽象概括.通常在高中數學課堂中，教師往往強調讓學生背誦、記憶這些結論，而很少關注對結論的解讀與理解.如對于函數圖像的平移問題，我們的背誦口訣為“左加右減”.但對于為什么，卻很少有學生能透徹明白其原因.可見，對于數學中的結論性知識，很多學生都停留于一般的直觀性認知層面，并未進行理性分析.函數的圖像是函數直觀化的表示方式，其變換規律可以從函數解析式入手，讓學生從中認識函數，進而培養理性精神.在不等式中，從代數結構上體現了算術平均數與幾何平均數的不等關系，也是對這兩種基本運算“和”與“積”的大小關系的表現.同樣，對于a+b+ab=1（a＞0，b＞0），求a+b與ab的取值范圍？在解該題時，需要我們認識到“和”與“積”的不等關系.首先，利用，將“積”轉換為“和”的形式，得到；再利用將“和”轉換為“積”的形式，得到，即可得到解題結果.另外，對于均值不等式的理解，我們還可以將之與幾何圖形相結合，如圖1所示.

圖1

在半圓O中，AD=a，DB=b，CD⊥AB，求的大小.從圖中分析可知，對于CD，可以得出等于在圓內，因為CD≤OC，所以可以得到.同樣我們也可以利用面積關系來建立不等式.在正方形BCDE中，假設，則正方形的面積大于或等于四個直角形的面積之和，即.由此結合幾何圖形，來加深學生對不等式的理解，拓展學生的數學解題思維.

三、數學方法的學習，要把握其本質

在數學領域，有很多方法性的常識或者約定，如度量的方法、運算的規則、變換的方法、論證的方法等.在高中階段的數學教學中，教師要認識到方法的重要性，要關注對于數學方法本質的理解，讓學生了解數學方法，認識數學方法，知其然且知其所以然.對于數學方法，其本質的挖掘在于突出數學方法與數學問題之間的關聯性.如在高中數學歸納法的探討中，歸納法是一種證明方法，其核心思想是建立在遞推的邏輯關系上.比如對于P（n）表示為與正整數n有關的命題，要想證明該命題成立，需要把握兩個步驟.一是證明P（1）為真；二是證明假設P（k）為真，則可以遞推P（k+1）為真，由此，對于該命題，就可以實現無窮動態的遞推過程.如P（1）為真，P（2）為真，P（3）為真→P（k）為真，P（k+1）為真→P（n-1）為真，P（n）為真.也就是說，對于任何一個正整數n，命題P（n）均為真.同樣，在應用數學歸納法時，還要強調兩點：第一點是對遞推基礎的確定；第二點是對遞推依據的確定.在應用數學歸納法時，要嚴格遵守證明方法的邏輯性，進行完全歸納，對于特殊情形若不完全歸納，都具有不確定性.所以說，一般在科學實驗中，對于大量個別事實的觀察，需通過歸納來形成一般性的結論，并通過反復驗證后得到正確性的結論.在高中數學中，對于數列求和方法的學習，可以有倒序相加法，也可以有錯位相減法，但不管采用什么方法，其本質都是通過消項，將無限變為有限，將不可求變為可求.同樣，在對等差數列進行前n項求和時，我們可以結合等差數列的性質，若m+n=p+q，則有am+an=ap+aq，利用倒序相加法，可以得到，從而得到.對于等差數列求前n項和的運算過程，主要是考查學生的求簡意識以及轉化技巧，讓學生能夠化無限為兩項，便于求解.對于等比數列的前n項和，我們可以利用相鄰項的關系an=an-1q，來計算Sn=a1+a2+…+an-1+an.兩邊乘以q，得到qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq，利用等比關系，對兩式進行綜合，得到，從而得到從該解題過程來看，在進行公式推導時，利用了錯位相減法，可以很好地將中間項進行消項處理，得到有限項的差.其實數列求和的方法還有很多種，但不同方法的運用都是將消項作為主要目標.如分組求和法、并項法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等等.教師在引領學生認識數列求和的方法時，都要突出消項這個目標，讓學生明白數列求和的本質，即化無限或化不可求為有限或為可求.

四、精心設計教學，把握數學思維

運用系統論來探究數學智慧教學，需要從教師、學生、教學內容，以及教學過程的各個方面來統合，明確相互之間的邏輯與關系，搭建起有序的數學課堂.教學設計是課堂教學的前提，因此教師要鉆研教材，挖掘數學知識點，并結合學生學情，兼顧知識與能力的培養.教師要激活學生的數學思維，通過優化教學設計來啟發學生的智慧.面對數學問題，教師要激發學生的猜想與想象，提升學生對數學概念、數學解法、數學問題的透徹分析.在函數的學習中，由于集合語言、運算語言等較為抽象，學生往往感到難度大，因此教師在呈現知識點時，要化解概念的難點，巧妙地安排一些課堂追問.如對于單調性的理解，在初中數學中，函數y隨x的增大而增大（減?。?；在高中數學中，利用集合語言來定義函數的單調性，從而幫助學生把握函數的本質特點.同樣，教師還要關注學生數學建模能力的培養，從數學函數知識的學習，到函數思維的建構，都要把握關鍵信息，綜合運用數學思想.如類比法、化歸法的應用，從而降低數學函數問題的難度.在學習完指數函數后，我們可以通過對指數函數的構建模型來分析對數函數，從函數的三要素、性質以及圖像等方面，運用類比、化歸、數形結合思想，提高學生對數學問題的理解和應變能力.

總之，高中階段的數學教學，教師要把握數學的本質，充分挖掘教材知識，全面備課，對所講的數學概念、法則、結論等內容，積極借鑒其他教學成果，并融入到課堂教學設計中，以直觀、生動、趣味的方式揭示數學的本質，促進學生理解數學知識，學深、學透、學懂數學知識.除此之外，教師也要加強對專業知識的學習，參與學科教研和交流，提高自身數學素養，以便于更好的打造數學智慧課堂.W