一類常微分方程的非標準有限差分法

劉明鼎 段素芳 張艷敏

（青島理工大學琴島學院，山東 青島266106）

微分方程是描述自然科學現象的常用工具，因此對微分方程數值求解的相關理論研究一直是各個領域學者的研究熱點。采用方法也比較多，目前常采用的數值求解方法主要有有限差分法、譜方法、有限元法、小波法、分解法等方法[1-6]。

非標準有限差分法Mickens在1994出版的文獻[7]中進行了詳細地描述。該方法主要討論在構造微分方程的差分格式時，對導數項離散后的分母函數應具有的形式以及非線性項離散后的形式兩個問題。目前國內學者對非標準有限差分方法的應用主要有王媛媛利用非標準有限差分法對Logistic方程進行了分析[8],張磊利用非標準有限差分法和參數擾動法討論了微分方程的求解[9]，秦雯娣討論了幾類偏微分方程非標準有限差分格式解的正性、有界性以及動力學相容性[10]，王倩倩利用非標準有限差分法研究了兩類含空間擴散生物模型數值解并研究了數值解的穩態性[11]。本文將利用非標準有限差分法研究兩類能量守恒振子方程[7]。能量方程在研究物理、流體力學等方面有著重要的作用，例如研究無粘不可壓縮流體以及無粘可壓縮流體的運動現象。

1.一類常微分方程的非標準有限差分格式

在滿足Hamilton原理下構造如下能量方程的非標準有限差分格式

ω,f,g為常數。

首先考慮

構造Lagrange函數[12]

對（3）式在tn處進行離散得：

滿足性質[12]

根據式（5）計算得a=b。所以有

對xn進行移位，利用離散Euler-Lagrange方程[13]，

式(6)滿足：

利用式(7)，結合式(6)得：

式(8)為一個二階非線性差分方程，是(2)式在滿足Hamilton原理下的一個非標準有限差分格式。對于式(2)非線性項采用了非局部離散方式為

對于式(2)，傳統的有限差分格式為

我們再來研究(1)式，采用與(2)式相同的處理過程。構造Lagrange函數

在滿足n+1?n差分格式不變的性質下，對(11)式利用非標準有限差分方法進行離散得

根據式(7)得：

(13)式為(1)式在滿足Hamilton原理下的一個非標準有限差分格式。

如果不考慮滿足Hamilton原理，可以得到如下的非標準有限差分格式：

利用傳統的有限差分方法對(1)式進行離散得

2.一類常微分方程組的非標準有限差分格式

在滿足Hamilton原理下構造如下非線性常微分方程組的非標準有限差分格式

對應的Lagrange函數為：

對式(18)進行離散得

對式(19)中xn,yn進行移位并利用式(7)得

則有

傳統的差分格式為

3.非標準有限差分格式性質

性質1 式(8)具有時間轉換不變性與能量守恒性[14]。

在式（2）中，令t?(-t)時，式（2）不變。對應于非標準有限差分格式(8)，令n+1?n-1，式(8)的格式也不會發生改變。所以式（8）、（13）在不同的相堆成的時間層上具有時間轉換不變性與能量守恒性。而傳統的有限差分格式（10），在第n+1和n-1和時刻時，差分格式完全不同，所以不具備上述性質。因此利用非標準有限差分方法構造的差分格式可以保持與原微分方程一樣的性質，優于傳統的有限差分法。

性質2 式（13）具有能量守恒性質。

令n+1?n-1，帶入式（13），得到的差分格式與原差分格式一致，所以式（13）具有能量守恒性，與原微分方程保持同樣的性質。而式（14）、（15）則不具備能量守恒性質。

性質3 式（22）、(23)具有能量守恒性質

令n+1?n-1，帶入式（22）、(23)中，變換后的差分格式與變換前的差分格式一致，所以式（22）、(23)具有能量守恒性質，與原微分方程保持同樣的性質。對傳統的差分格式（24）、（25）做同樣的變換，格式上發生了改變，因此不具備能量守恒性質。

4.結語

利用非標準有限差分方法，依據Hamilton原理對一類能量守恒常微分方程和方程組進行離散。對微分方程中的非線性項采用了非局部的離散方式，將離散后的非標準有限差分格式與傳統的差分格式進行比較得出，非標準有限差分格式在形式上更復雜，能更好地保留原微分方程能量守恒性質。因此，利用非標準有限差分方法構造的非標準有限差分格式是實用的。