橢圓的極點極線性質及推論

北京化工大學附屬中學(100029) 韓 毅

北京市朝陽區教育研究中心(100028) 蔣曉東

1.研究的緣起

在高考解析幾何題當中,經常會遇到求定值、定點、以及共線等等問題.這些問題的背后隱藏著更深層次的理論—極點極線理論.極點極線是法國數學家笛莎格于1639年在射影幾何學奠基之作《圓錐曲線論稿》中提出的.

初次接觸極點極線理論是在王雅琪所寫的《高觀點下的北京高考解析幾何試題》一文中,此文介紹了極點極線的定義、兩個推論和以極點極線為背景的高考解析幾何試題[1].該文并沒有對相關推論進行證明.查閱資料發現范方兵、王芝平所寫的文章《代數幾何相轉化相映成輝是一家》中,借助2018年北京高考的拋物線解答題,探究了該題的命題理論背景—極點極線理論,并介紹了調和點列及調和線束等概念[2].張留杰的《基于拋物線的一條性質的類比推廣》一文中,借助極點極線理論使得2017年北京高考理科的拋物線解答題結論得以推廣到一般的二次曲線[3].從以上文章中不難看出,以極點極線理論為背景命制的高考試題比較常見,但是極點極線在橢圓中如何體現的呢?它們的性質有哪些?推論有哪些?它們的推論以及性質是如何得到的呢?這些性質以及推論如何體現在高考試題當中呢?這些細致的問題值得研究與探討.

2.橢圓的切線以及切點弦直線

首先,如果點P(x0,y0)在圓O:x2+y2=1上,則過點P(x0,y0)與圓O相切的直線為x0·x+y0·y=1.那么,當點P(x0,y0)在橢圓上,用隱函數求導法、判別式法或仿射變換法,易求得過P(x0,y0)的切線為;用仿射變換法求該切線方法如下:

證明設則橢圓C變換為x′2+y′2=1,P(x0,y0)變換為,即.過點與圓x′2+y′2=1相切的直線為1,即.

若點P(x0,y0)在橢圓C:外,如圖1,則過P可以作橢圓C的兩條切線,切點為F,G,那么直線是過兩個切點F,G的直線,俗稱切點弦直線.證明如下:

圖1

證明設F(x1,y1),G(x2,y2)在橢圓上,因為PF,PG為橢圓的兩條切線,所以直線PF,PG方程分別為,又因為點P(x0,y0)在直線PF,PG上,所以進而可知點F(x,y),G(x,y)1122在直線,所以直線為過兩個切點F,G的直線方程.

若點P(x0,y0)在橢圓內部,但非中心(0,0)時,依然可以得到一條的直線.那么這條直線與橢圓的位置關系是什么呢?分兩種情況討論一下:

①若y0=0,帶入可得:x=.當|x0|＜a,P在橢圓內,由于,直線與橢圓相離;當|x0|=a,P在橢圓上,由于,直線與橢圓相切;當|x0|＞a,P在橢圓外,由于,直線與橢圓相交.

②若y0/=0,聯立直線與橢圓方程:利用判別式Δ=;當P在橢圓內,由于0,Δ＜0,直線與橢圓相離;當P在橢圓上,由于,Δ=0,直線與橢圓相切于P;當P在橢圓外,由于直線與橢圓相交.

上述討論可以得到,①當點P(x0,y0)在橢圓C:上,直線為過點P(x,y)00的切線;②當點P(x0,y0)在橢圓外,那么直線是過兩個切點的直線,即切點弦直線.③當點P(x0,y0)在橢圓內,那么直線在橢圓外.

3.橢圓極點與極線

3.1 極點極線的定義

事實上,點P(x0,y0)(不是原點)與直線,就是相對于橢圓的一對極點與極線.對于圓錐曲線的極點極線,有統一的定義:

已知圓錐曲線Γ:Ax2+By2+2Cx+2Dy+E=0,則稱點P(x0,y0)和直線l:Ax0x+By0y+C(x+x0)+D(y+y0)+E=0是圓錐曲線Γ的一對極點和極線[4].

3.2 橢圓的極點與極線的性質

在平面直角坐標系xOy中,極點P(x0,y0)(不是原點)相對于橢圓的極線為;有如下性質:

①一個確定的極點,有唯一確定的一條極線;反之亦然.

②如圖2,若極點P(x0,y0)在橢圓內,極線與橢圓相離,該極線是橢圓中過P點的割線的兩端點處切線的交點軌跡.

如圖3,若極點P(x0,y0)在橢圓上,極線與橢圓相切于極點P.

如圖4,若極點P(x0,y0)在橢圓外,極線與橢圓相交且為橢圓的切點弦直線(已證).

圖2

圖3

圖4

③當極點P(0,m)在y軸上時,極線為平行于x軸;當極點P(n,0)在x軸上時,極線為平行于y軸;特別的當極點P(±c,0)為橢圓的焦點時,極線為平行于y軸且為橢圓的準線.

④設極點P(x0,y0)不在坐標軸上,則直線OP的斜率為kOP,極線,其斜率為k,則.特別的,當極點P(x,y)00在橢圓內,用點差法易證明極線f平行于以P為中點的弦所在直線EF.直線OP與橢圓相交于點D,過點D作橢圓的切線i,則以P為中點的弦所在直線EF、過點D的切線i,極點P的極線f,三線相互平行,如圖5.

圖5

圖6

⑤設點P的極線為lP,點Q的極線為lQ,如圖所示,若lQ過點P,則lP過點Q,如圖6.證明如下:

設點P(xP,yP),則相應的極線為1,點Q(xQ,yQ),相應的極線為.因為lQ過點P,則P點坐標滿足方程,那么;即點Q坐標滿足方程,也就是l過點Q.P

由此可得結論,如圖7,共線點的極線必然共點(A、G、D、E四點共線,它們的極線a、g、d、e共交點F);共點線的極點必然共線(直線a、g、d、e共交點F,它們的極點A、G、D、E四點共線).

圖7

圖8

3.3 橢圓的極點與極線的推論

推論1如圖8,射線OP與橢圓交于點D,與點P的極線交于點C,則|OP|·|OC|=|OD|2;當點P在x軸上時,|OP|·|OC|=a2;當點P在y軸上時,|OP|·|OC|=b2.

證明設點P(x0,y0),則其極線為1,當點P不在x軸上時,直線OP的方程為.聯立方程組:解得.聯立方程組:解得,所以

易知當點P在x軸上時,|OP|·|OC|=a2;當點P在y軸上時,|OP|·|OC|=b2.

圖9

圖10

證明如圖10,過點P(x0,y0)(不在橢圓上)作橢圓的兩條割線,分別交橢圓于A、B、C、D四點,設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因為,所以(x1-x0,y1-y0)=λ(x2-x0,y2-y0),即

又因為A、B在橢圓上,即有

由(3)-(4)×λ2得:;整理得:

將(1),(2)代入(5)b2(x1+λx2)(1-λ)x0+a2(y1+λy2)(1-λ)y0=a2b2(1+λ)(1-λ);即:;兩邊同除以a2b2(1+λ)得:1.設點,從上式可以看出點恰好在直線上.又因為A(x1,y1),B(x2,y2),所以點為的定比分點,即.所以有,且點M恰好在點P關于橢圓的極線上.同理,在線段CD上可以找到一個點N,使得,且點N恰好在點P關于橢圓的極線上.所以且(內分比=外分比),則直線MN就是極點P(x0,y0)關于橢圓的極線.

如圖11,不僅點M、N在極點P(x0,y0)的極線上,直線AD、BC的交點Q,以及直線AC、BD的交點R,也都在該極線上.證明這個需要了解兩個著名的定理:梅涅勞斯定理以及塞瓦定理.

圖11

梅捏勞斯定理如圖12,13,若一條不過A、B、C三點的直線與△ABC的邊AB、BC、AC所在直線分別交于D、E、F,則.

圖12

圖13

塞瓦定理如圖14,15,已知平面上△ABC和點D(點D不在△ABC的三邊上),直線AD,BD,CD分別交直線BC、CA、AB于F、G、E,則.

圖14

圖15

推論2如圖16,在完全四邊形ABCD中,DB與CA的的延長線相交于R,BA與DC的的延長線相交于P,直線AD與BC相交于Q,若且(內分比=外分比),則點M、N在直線QR上.

圖16

圖17

證明先證明點N在直線QR上,如圖17,連接QR交PD于點N′,在△RCD中,因為RN′,CB,DA共點Q,由塞瓦定理得:;又因為P,A,B共線,由梅涅勞斯定理得:;比較以上兩式即有.又因為,所以,即點N,N′重合.

再證明點M在直線QR上,如圖18:連接QR交線段AB于點M′,在△AQB中,因為QR,AR,BR共點R,由塞瓦定理得:;因為P,C,D共線,由梅涅勞斯定理得:;比較以上兩式即有.又因為,所以,即點M,M′重合.綜上所述:M、N點在直線QR上.

圖18

圖19

推論2的意義在于給出了畫極點P所對應的極線的快速方法.如圖19,過點P(x0,y0)(不在橢圓上)作橢圓的兩條割線,分別交橢圓于A、B、C、D四點,在完全四邊形ABCD中,直線AD、BC相交點Q,以及直線AC、BD相交點R,則直線QR即為點P(x0,y0)的極線.

推論3如圖20,若P、A、M、B為一組調和點列(即滿足,則.

證明若,則

推論4設完全四邊形ABCD為橢圓的內接四邊形,且則點P的極線為RQ;點Q的極線為RP;點R的極線為PQ,稱△PQR為自極三角形,如圖21.

圖20

圖21

推論5如圖22,設四邊形ABCD為橢圓的內接梯形,AC//BD,AD∩BC=Q,則點P的極線過Q,且與直線AC、BD平行.特別的如圖23,若BC//AD//y軸時,點P的極線平行y軸,且與x軸的交點R也是AC、BD交點,根據推論1有|OR|·|OP|=|OF|2=a2.

圖22

圖23

4.極點極線理論在高考試題中的體現

例題1(2008年高考安徽卷理科)設橢圓1(a＞b＞0)過點,且著焦點為.

(I)求橢圓C的方程;(II)當過點P(4,1)的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A,B時,在線段AB上取點Q,滿足,證明:點Q總在某定直線上.

背景分析(II)因為,所以PQ調和分割AB(即P、Q兩點為線段AB的內外分點).所以點Q在點P的極線上,而點P的極線為2x+y-2=0,所以點Q總在2x+y-2=0上.

例題2(2010年高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,如圖24,已知橢圓的左、右頂點為A、B,右焦點為F.設過點T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m＞0,y1＞0,y2＜0.

(I)設動點P滿足PF2-PB2=4,求點P的軌跡;

(III)設t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).

背景分析(III)因為直線MN與直線AB的交點必在點T的極線上,而點T在直線x=9上.所以點T的極線必共點,且該點為直線x=9的極點,此點即為直線MN必過的定點.因為,直線x=9的極點為(1,0),所以,直線必過點為(1,0).

圖24

例題3(2011年高考四川卷)如圖25,橢圓有兩頂點A(-1,0)、B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點,并與x軸交于點P,直線AC與直線BD交于點Q.

圖25

(II)當點P異于A、B兩點時,求證:為定值.

背景分析(II)設P(t,0),則點P的極線過Q.因為橢圓方程為,所以點P(t,0)的極線為,即.所以1.

例題4(2012年高考北京卷理科)已知曲線C:.

(I)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;

(II)設m=4,曲線C與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證:A,G,N三點共線.

背景分析(II)如圖26,直線AN與BM的交點必在點P(0,4)的極線上,而點P(0,4)的極線為y=1.所以直線AN、直線BM、直線y=1共點,所以A,G,N三點共線.

圖26

5.小結

許多高考解析幾何試題的命制都是以極點極線理論作為指導的,因此對于極點極線理論的了解,有助于把握命題者的意圖,明確解決問題的方向,優化運算.探究極點極線性質、推論有較高的教育教學價值,因此作為一線教師可以有所了解.