美哉，分式的恒等變形

余中華

數學大師丘成桐說過：數學是一門很有意義、很美麗，同時也很重要的科學。從實用角度講，數學已滲透到物理、工程、生物、化學和經濟等領域，甚至與社會科學也有很密切的關系。文學的最高境界，是美的境界，而數學也具有詩歌和散文的內在氣質。達到一定的境界后，我們也能體會和享受到數學之美。數學既有文學性，也有應用性，探討它們之間妙趣橫生的關系，能讓人真正享受到研究數學的樂趣。

本文試通過幾道分式的變形，讓同學們體會數學的對稱美。

∴a2b+abc+a2c+ab2+b2c+abc+abc+bc2+ac2=abc，

∴（ab+b2+ac+bc）c+（ab+b2+ac+bc）a=0，

∴（ab+b2+ac+bc）（a+c）=0，

［b（a+b）+c（a+b）］（a+c）=0，

∴（a+b）（b+c）（a+c）=0，

∴a、b、c中至少有兩個互為相反數。

（a+b）（a+b+c）c+ab（a+b）=0。

∴（a+b）［c2+（a+b）c+ab］=0，

（a+b）（c+a）（c+b）=0，

∴a、b、c中至少有兩個互為相反數。

例2 計算：

賞析：第（1）小題非常有意思，直接通分四項會非常煩瑣，而前兩項計算的結果正好可以與第三項運算，運算得到最終的結果。是不是有種爬樓的感覺？

第（2）題以退為進，原本分式的化簡應該項數不斷減少，本題反其道而行之，將四項變成八項后，反而變得更簡便。生活中也是如此，以退為進有時候反而更容易達成目標。

第（3）題湊平方差公式、第（4）題裂項相消都非常巧妙，體現了數學的思維美。

賞析：本題解答過程除了體現對稱美外，所用的方法也很巧妙，巧妙地取倒數，給解題者一種美妙的享受。