納米時柵的電氣參數與誤差特性研究

孟 瑤，周啟武，鄭方燕，劉小康，施 海

(重慶理工大學 機械檢測技術與裝備教育部工程研究中心， 重慶 400054)

納米測量技術廣泛應用于航天科學、材料科學、生物制藥等眾多領域，是解決當前和未來高精度、高分辨率問題的關鍵[1-2]。目前，位移測量能達到納米級的設備主要有光柵和激光干涉儀。光柵是以柵距作為測量基準，抗干擾能力強、精度高，但是柵線制造的精密程度會直接影響光柵測量系統的測量精度和分辨率[3-5]。當光柵柵距逐漸接近光波波長時，光學衍射的現象會越發明顯，用進一步增加柵線密度的方法提高分辨率效果十分有限，可以說由于光學衍射極限問題致使光柵的精度無法進一步提高[6-7]。激光干涉儀是以激光波長作為測量基礎，其精度高于光柵，但是極易受到空氣溫度、濕度、大氣壓力等環境因素的影響，并且抗干擾能力低[8-9]。除此之外，絕大多數情況下都需要靶鏡來輔助測量，但是裝配靶鏡的場合不適用于大多的實際應用場合[10-11]。因此，激光干涉儀通常只作為校對基準而不能廣泛用于工業測量。

納米時柵是一種基于交變電場利用駐波合成電行波的方法而研制的位移傳感器[12-14]。運用“時空轉換”原理，用時間構成空間測量基準，誤差直接溯源回時間，利用人類目前對時間的測量精度比空間高3個數量級的優勢，降低了傳感器對制造工藝的要求，提高了測量精度[15-17]。本文分析了電氣參數對傳感器精度的影響，結合時柵結構主要分析了傳感器單元之間的阻抗特性與誤差的關系。首先建立時柵的電路模型，運用仿真軟件代入不同參數值，得到仿真結果，再設計實驗驗證阻抗特性與誤差特性之間的影響關系。

1 納米時柵傳感器工作原理

納米時柵由動尺和定尺兩部分組成，如圖1所示。動尺感應電極是由兩列區間在[0,π]上的函數曲線y=sin[π/(W-I)]x與y=0所構成的寬度為W-I、間隔距離為I的半正弦形極片對稱排布而成的陣列。定尺上的激勵電極由兩排寬度為W-I且間隔距離為I的矩形極片各自陣列而成，每排奇數號極片和偶數號極片分別用金屬導線連在一起，其中定尺上的兩排極片在空間上起始位置相差W/2的距離，這個距離在空間上就形成正交關系。從定尺上的4個極片處分別依次輸入4路頻率ω相等、幅值為Am的激勵信號U+S、U+C、U-S、U-C：

(1)

為便于下面理論分析，將激勵U+S、U-S統稱為S路，激勵U+C、U-C統稱為C路。

圖1 納米時柵結構示意圖

動尺正對于定尺平行安裝，保持間隙d，在動尺沿定尺極片排布的方向平行移動時，動尺感應極片與定尺激勵極片正對的重合面積會隨著時間改變，動定尺極片上的電極構成電容極板。S路動尺極片與U+S、U-S路定尺極片正對部分面積形成平板電容C1、C2。C路動尺極片與U+C、U-C路定尺極片正對部分面積形成平板電容C3、C4，在同一動尺極片覆蓋下的兩電容為差動電容。S路和C路的輸出方式一致。本文只對S路進行分析，S路的差動電容電路圖與結構示意圖如圖2所示。

圖2 差動電容電路示意圖

根據電路疊加定理可以求得輸出電壓UO：

(2)

其中：Ui是輸入的激勵信號；Z1和Z2分別為C1和C2的容抗；Z0為電橋平衡時初始容抗。

將動尺感應極片沿定尺的移動等效為定尺陣列極片沿動尺感應極片的移動，利用余弦函數的變上下限積分得到重合面積的變化量為

(3)

其中：L為感應電極長度；ΔS為動尺與定尺之間有效重合面積；S0為最大重合面積；Wd為極片寬度。

將式(3)代入式(2)得：

(4)

正弦路激勵與余弦路激勵在時間上是正交關系，所以另一路駐波信號US為

(5)

最終兩路駐波信號合成一路行波信號：

(6)

將行波信號UO通過前置電路進行放大濾波整形并輸出方波后輸入FPGA中與同頻參考信號Uf進行比相，利用高頻時鐘脈沖對相位差插補，記錄插補的脈沖數，求得相位差，直接利用FPGA計算處理后得到動尺與定尺之間的相對位移量。

2 電路模型及誤差分析

2.1 傳感器電路模型

傳感器采用平板電容結構，與周圍的金屬導體之間形成分布電容，同時電極和引線自身也帶有分布電阻，這些分布參數都會使交變電場信號發生畸變，從而帶來測量誤差，影響測量精度。電路板內部的傳輸線分布參數較小，對信號傳輸的影響可以忽略，傳感器單元的分布參數對信號傳輸影響較大，其中以傳感單元之間的阻抗(后面統稱為“單元阻抗”)、電感及分布電容為主。

用放大器采集駐波信號。放大器的輸入電阻可以認為是無窮大，但是集成運算放大器的第一級差動放大器需要外部提供穩定的直流偏置電壓，而電路節點上沒有對地的直流通路，所以需要設置輸入電阻R為運算放大器提供直流工作點。綜合上述因素，建立了一個完整的電路模型，如圖3(a)所示。

圖3中，電容C1與C2構成S路，電容C3與C4構成C路，C5和C6為定尺相鄰極片之間的分布電容。Z1、Z2、Z3、Z4分別表示4路激勵電極的阻抗，R為放大器的輸入電阻。對S路進行分析，其電路模型如圖3(b)所示。

圖3 含有電氣參數的電路模型

根據疊加定理、節點電壓法將U-S視為短路，對n1、n2、n3節點列KCL電路方程為：

(7)

將U+S視為短路,對n1、n2、n3節點列KCL電路方程為：

(8)

式中：Yz1、Yr5為單元阻抗；Z1為放大器輸入電阻R的導納；Yc1、Yc2為平板電容C1、C2的容納；Yc5為S路分布電容的容納。當只有S路激勵作用時，n2點輸出的電壓為：

(9)

同理可得，當只有C路激勵作用時，n2點輸出的電壓為：

(10)

式中：Yz3、Yz4為單元阻抗；Z3、Z4的導納；Yc3、Yc4為平板電容；C3、C4的容納；Yc6為C路極片分布電容的容納。

根據納米時柵的行波合成原理，在理想情況下，4路輸入信號的幅值大小相等，Z1=Z2=Z3=Z4→0，C5=C6=0，R→∞，則行波表達式可以寫成：

(11)

將式(11)化簡得：

當a=b時，行波UO化簡后與式(6)相同，說明理論推導正確。由此可以看出，理想情況下輸出行波信號的相位將不再受激勵信號的頻率和電容變化的影響，幅值的大小變化取決于各組差動電容差值。在通常狀態下，定尺激勵電極的4路阻抗一般不一致，即Z1≠Z2≠Z3≠Z4，此時輸出的行波信號幅值和相位不僅與差動電容差值有關，還與單元阻抗的大小有關，以下針對單元阻抗對傳感器誤差特性的影響做詳細分析。

2.2 單元阻抗仿真

由于分布參數的存在，信號不能按照理想模型進行傳輸，分布參數值的大小影響著信號誤差的大小。本文在單元阻抗的不同取值下對誤差特性的影響進行理論分析時，假設分布電感為0，將不同的單元阻抗值代入模型中，仿真了2路單元阻抗不等和4路單元阻抗不等狀態下的行波信號。

2.2.12路阻抗不等

(12)

由于cos(θ1-θ2)≠0，幅值A3不是常數，一個周期內幅值會先增大后減小再增大又減小。將式(12)代入Matlab中運行得到行波幅值變化曲線和相位誤差曲線，如圖4所示。

圖4 2路單元阻抗不等時幅值相位變化

觀察圖4(a)幅值變化曲線可更直觀地看出：在1個周期內，行波幅值曲線有2個波峰。由此可見，2路駐波單元阻抗不等帶來的是二次誤差。圖4(b)為相位角誤差曲線，代表θ1和θ2取不同的值時的誤差曲線，隨著位移的變化，相位角在1個周期中都會有2次變化。

2.2.24路阻抗不等

將式(13)放入Matlab中運行得出行波幅值和相位變化曲線，如圖5所示。

不同線型的曲線對應Aa1、Aa2、Bb1、Bb2取不同的值時的行波幅值變化曲線，從行波幅值變化和相位誤差曲線中可以觀察到行波幅值在y方向有個偏移量，由此可看出這必然會給測量結果引入1個一次誤差，相位變化曲線在1個周期內會變化2次，因此相位偏移的情況下會引入二次誤差成分。

圖5 4路單元阻抗不等幅值相位變化

從電路模型中可以看出：定尺4路激勵中都含有單元阻抗。結合所推導的公式來看，單元阻抗的取值會影響最終合成的行波的幅值和相位。本文著重分析了在分布電感為零時2路單元阻抗不等和4路單元阻抗不等時的情況。從中可以得出：在引線電阻不等的情況下會直接導致2路駐波幅值不等、相位偏移，或者單路駐波US路和U+S、U-S兩組，UC路和U+C、U-C兩組輸出信號駐波幅值不等、相位偏移。若是合成行波的2路駐波中的阻抗不相等，則會出現二次諧波誤差，若是合成駐波的US路和UC路的正負路單元阻抗都不等，則會同時出現一次和二次諧波誤差。

3 實驗驗證

為了驗證單元阻抗對時柵位移測量誤差特性的影響，搭建了精度測試實驗平臺，如圖6所示。傳感器定尺長600 mm，動尺長55 mm，寬均為32 mm，兩列分別為149對極和150對極。將傳感器的定尺安裝在美國Aerotech公司的ABL200精密直線氣浮導軌上并隨其移動，動尺安裝在可進行安裝調整的Physik InstrumenteH-811六自由度微動平臺上。通過調整六自由度微動平臺的位置，保證動尺平行安裝于定尺正上方，同時可以調整動定尺之間的間隙。整個實驗平臺處于千級實驗室，溫度和相對濕度恒定為24 ℃和40%。

1.激光干涉儀上位機；2.上位測量系統；3.PI六自由度安裝平臺；4.PI控制系統；5.納米時柵(上方定尺，下方動尺。6.Labview激勵系統

圖6 實驗平臺裝置

3.1 傳感器精度實驗

單元阻抗主要來自傳感器上的金屬導電極片，4路激勵電極之間因為制造的原因形成的阻抗各有差異，借助萬用表測得傳感器4路極片阻抗分布依次為0.21、0.24、0.23、0.21 Ω。

前面通過理論推導分析了單路和2路引線電阻不等的情況下的誤差特性曲線規律，下面借助實驗進行驗證。通過調整間隙d=1.2 mm，在此間隙下導軌對傳感器每個對極(即4 mm)進行200點的采樣。設置上位機測量程序點數，測量時柵樣機數據，并以光柵測量值為基準，根據時柵測量值與光柵測量值的差進而得到時柵誤差值。對傳感器進行測試，測得誤差結果如圖7所示。從圖7的誤差曲線可以看出：在分布電感不存在而單元阻抗不等導致2路駐波幅值不等、相位偏移時，曲線呈M型，頻譜分析可知對極內主要為一次和二次諧波成分。實驗結果與理論分析一致，說明了引線電阻的確是影響誤差特性的電氣參數之一。2路單元阻抗不等或是單路單元阻抗不等都會影響行波的合成，從而帶來誤差。

圖7 對極內誤差曲線

3.2 優化改進

既然合成行波的2路駐波中的單元阻抗不等會帶來二次誤差的成分，則需要對此作出改進。利用美國NI公司的Labview激勵系統，調整4路激勵的幅值以及相位，通過示波器觀察當行波信號標準后，重復上述實驗過程，驗證用更改激勵的方式能否改變由于單元阻抗帶來的諧波誤差，最后測得的數據如圖8所示。

圖8 優化后對極內誤差曲線

從圖8中可以看出：優化后在一個對極內誤差值為0.8 μm，相比優化之前有了較大的進步。通過頻譜分析，誤差成分中一次和二次的諧波誤差成分明顯減小，再一次驗證了仿真是正確的。

4 結束語

本文首先分析了納米時柵傳感器基本測量原理，建立了傳感器電路模型，探究了電氣參數對納米時柵測量誤差的影響，并著重分析了對測量誤差影響最大的單元阻抗參數。搭建了傳感器實驗平臺，對傳感器的位移誤差進行了測量。由實驗結果可知：一次與二次諧波誤差是由于激勵幅值不等和相位偏移而引入，進一步驗證了理論分析的正確性。據此，明確了單元電阻對時柵傳感器的誤差特性的影響規律。同時，利用時空轉換原理，通過調節激勵信號參數的方法減小了位移測量誤差，提高了納米時柵傳感器的精度。