再析斜面對平拋運動的限制

饒華東 鄭睿林

(1. 漳州第一中學,福建 漳州 363000; 2. 漳州第一中學,福建 漳州 363000)

貴刊刊登了李愛華老師的《限制空間范圍條件下(類)平拋運動的末速度極值問題舉例》一文,[1]文章就平面、豎直面、斜面、拋物面、圓弧面對(類)平拋運動的限制進行了全面、詳細的分析,讀完該文,深受啟發.美中不足的是文中關于斜面對平拋運動的限制的闡述存在一處計算失誤和一處表述不當,給筆者閱讀該文帶來一定的困擾,但瑕不掩瑜,該文不失為一篇極具參考價值的好文章.為避免給更多讀者帶來困擾,也為了讓該文更具完整性、科學性,筆者斗膽指出了文章的錯誤,并就該文例題3提出了新的解法,同時就斜面對平拋運動的限制進行了拓展分析.

1 原文再現[1]

圖1 原文圖

例1.如圖1所示,一質量為m的質點從傾角θ=45°的斜面底端正上方h=2.4 m處水平拋出,不計空氣阻力

(B) 若初速度加倍,小球飛行時間減半.

(C) 若小球垂直撞在斜面上,則初速度為4 m/s.

(D) 若落點由A到B逐漸升高,小球落到斜面時的動能逐漸增大.

2 錯誤糾正并提出新解法

2.1 錯誤糾正

此外,原文題干敘述為“一質量為m的質點”,并未說明是小球,但選項中用“小球”替代了“質點”,顯得不夠嚴謹,因為小球不一定能視為質點,兩者間不能等同,所以將題干敘述改為“一質量為m的小球(可視為質點)”更為合理.

2.2 利用導數法求解極值

3 拓展與延伸

3.1 拋出點水平右移

例2.例1中,若將拋出點水平右移x距離,試分析x為何值時,落點由A到B逐漸升高,小球落到斜面時的動能一直增大?

圖2 拋出點水平右移

3.2 拋出點豎直上移

例3.例1中,若將拋出點豎直上移h′距離,試分析h′為何值時,落點由A到B逐漸升高,小球落到斜面時的動能一直減小?

圖3 拋出點豎直上移

3.3 落點固定,拋出點豎直移動

圖4 落點固定，拋出點豎直移動

例4.如圖4所示,一質量為m的小球(可視為質點)從傾角θ=45°的固定斜面底端正上方不同位置水平拋出,均落在斜面上的D點,不計空氣阻力,已知D、C在同一水平線上,C在A點正上方,x=1 m,試分析h取何值時小球落在D點時的動能最小?

涉及極值求解的題目,要充分利用已知條件,將多變量問題轉化為單一變量問題,如本文中小球平拋的初速度、下落高度、空中運動時間等都是變量,根據平拋規律、動能定理及斜面的限制條件,將動能(或末速度)用單一變量(如下落高度)表示,再利用求導或構造均值不等式的數學方法求解.此外,利用函數(如三角函數)的單調性、配方、構造雙勾函數等方法也是求解極值的常用方法.這些方法在文獻[1]中均有舉例,在此不再贅述.