中國土地輪耕發展的數學模型研究

吳萬勤，陳 嬌，譚 昊，聶俊宇

(云南民族大學 數學與計算機科學學院，云南 昆明 650500)

0 引言

2016年開始，我國推行土地輪耕試點，輪作休耕就是要壓減庫存壓力大的玉米和稻谷，優化資源配置，調整種植結構，減少無效供給，增加有效供給.輪作主要是實行玉米大豆輪作，發揮大豆根瘤固氮、養地培肥作用，實現種地養地結合，農業可持續發展.休耕就是減少耕地水資源利用，使耕地得到休養生息，同時加以治理.我國是一個人口大國，糧食安全是國之根本，輪耕必須在糧食安全范圍之內，要形成耕地輪作休耕制度，國家財政投入是重要的支撐.土地輪耕對糧食安全有沒有影響？2017年輪耕土地1 200萬畝，其中輪作1 000萬畝，休耕200萬畝，影響糧食產量近80億斤，相當于整個糧食年產量的0.6%.數據顯示，2016年中央財政安排了14.36億元，試點面積616萬畝；2017年安排了25.6億元，試點面積1 200萬畝；2018 年擬安排約50億元，試點面積2 400萬畝.關于我國目前農村現狀和糧食分布狀況、土地輪耕發展方向對未來農業發展的影響大小以及預測我國未來主要糧食產量和土地輪耕面積等問題，我們運用樣本回歸模型[1]、灰色預測模型等方法來進行研究.

灰色預測模型一般是指GM(1,1)模型及其擴展形式，主要包括GM(1,1)模型、DGM模型和灰色Verhuls模型.GM(1,1)模型是灰色預測理論的基礎，其應用價值已經被人們所認同并已應用在社會的各個領域中.研究數據光滑度是很多學者選擇提高模型精度的方法，陳捷濤等[2]提出了用幾種典型的函數變換方法來提高原始數據序列的光滑度，從而使模型獲得了較高的預測精度；羅黨[3]應用實際曲線在區間上的面積作為背景值，重構了背景值的計算公式；何海[4]等指出了GM(1,1)的預測公式初值選取存在的缺陷，給出了幾種不同的初值選取方法 ；周偉[5]經過對GM(1)模型差分方程研究得出了差分GM(,1)模型以及還原時間響應函數，從而推導出基于級比優化的廣義GM(1,1)預測模型；謝乃明[6]從GM(1,1)模型的離散形式到白化形式的轉變，以及GM(1,1)模型預測穩定性問題為出發點，提出了能完全擬合指數序列的離散GM(1,1)預測模型.

對中國土地輪耕對糧食安全影響的問題，從統計的角度分析并建立數學模型求解.一是通過2016年至2018年土地輪耕數據分析，建立樣本回歸模型，以此來預測總體回歸模型，從而計算輪耕影響糧食產量達到5%時，中央財政預計需要安排的專項補貼資金；二是對于影響因素，建立了灰色預測模型，并建立常微分方程，來預測在國家糧食安全保障的基礎之下，2023年后我國可輪耕土地面積；三是兼顧國家財政的收入和投入，擬合財政收入與輪耕面積的曲線圖，從而預測我國5年后每年的土地輪耕面積，以及相應的國家財政投入.

1 土地輪耕數學模型

1.1 有關條件

1) 假設搜索的數據、資料具有代表性，且真實可靠；

2) 假設糧食總產量主要受問題中七個因素的影響，其他因素的影響忽略不計；

3) 假設在預測過程中不考慮自然因素對糧食產量的影響；

4) 假設數據統計的年限內沒有特大自然災害；

5) 假設土地輪耕發展的各因素限定,且不會互相影響.

1.2 符號說明

A(t)表示糧食的需求量，B(t)表示糧食的消費量，Y(t)表示糧食的生產量，F表示由地少缺水、城市化建設引起的糧食需求量，I表示由農村貧困人口及2億糧食不能自給的因素引起的需求量，L表示生產水平的變化率與需求量和生產水平差的比例系數，k表示消費系數，a表示常數，s表示積累系數，m表示常數，α表示式子中的代表量，β表示式子中的代表量.

1.3 模型的建立

對于建立樣本回歸模型.現實問題的研究中，往往難以掌握研究對象的全部資料，因此，總體回歸模型是未知的，從而在回歸分析中，需要通過樣本資料來估計總體模型的參數.根據樣本數據建立的回歸模型為樣本回歸模型，一般表述如下：

建立灰色預測模型.灰色預測是對既含有已知信息又含有不確定信息的系統進行預則，就是對在一定范圍內變化的、與時間有關的灰色過程進行預測.它通過鑒別系統因素之間發展趨勢的相異程度，即進行關聯分析，并對原始數據進行生成處理來尋找系統變動的規律，生成有較強規律性的數據序列，然后建立相應的微分方程模型，從而預測事物未來發展趨勢的狀況.灰色預測法用等時距觀測到的反映預測對象特征的一系列數量值構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間.其模型建立如下：

設原始數據為：

x(0)=x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n);

其一次累加生成數列為：

x(1)=x(1)(1)，x(1)(2)，…,x(1)(n)；

定義x(1)的灰導數為：

d(k)=x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1).

令z(1)為數列的鄰值生成數列，即：

z(1)(k)=αx(1)+(1-α)x(1)(k-1).

于是定義灰色預測模型的常微分方程為：

d(k)=αz(1)(k)=b,

x(0)(k)+αz(1)(k)=b.

將時刻表k=2,3,…,n代入有

引入矩陣向量：

所以灰色預測模型可表示為：Y=Bu.

2 數學模型的求解和分析

2.1 樣本回歸模型的求解

2017年影響糧食產量近80億斤，相當于整個糧食年產量的0.6%，由這兩個數據可以計算出糧食年產量為13 333.33億斤，當輪耕影響糧食產量達到5%時，則可以得到影響糧食產量為666.67億斤.設輪耕面積為x，中央政府補貼資金為y.

根據2016—2017年國家統計數據，以及上述計算出的數據，以輪耕面積為x軸,中央政府補貼資金為y軸，得到如下散點圖：

由圖1中得出樣本回歸模型的表達式為：

y= 0.02x+ 1.837 1.

(1)

由輪耕面積和輪耕影響的糧食產量得到方程式為：

666.67=0.137x-84.384.

(2)

將(2)中計算出的x值帶入(1)中的樣本回歸模型的表達式中得到，如果輪耕影響糧食產量達到5%時，中央財政預計需要安排的專項補貼資金111.479 5億元.

2.2 灰色預測模型的求解

土地輪耕的影響因素有國家財政收入、國家人口數量、人均糧食需求、工業糧食需求、糧食產量、耕地面積變化、天氣氣候等，類比國民經濟數學模型，列出求解糧食總產量的常微分方程：

A(t)=B(t)+I+F.

B=kYdY/dt=L(A-Y)，積累系數

A=(L-s)Y+I+F,即

dY/dt+LsY=L(I+F),

Y″+LsY′=LI′,

Y″+(Ls-Lma)Y′+LmI=0，

I=Y′/L+sY-F，

Y″+(Ls+m-Lma)Y′+sLmY=LmF.

在此引入代表量

α=Ls+m-Lma，

β=sLm，

Y″+αY′+βY′=LmF.

這是一個關于糧食生產總量的二階常系數微分方程，其α、β、L、m、F及、初始條件、Y′(0)均可由統計數據得到，得到方程可解，其特征根為：

μ1=(-α+(α2-4β)1/2)/2,

μ2=(-α-(α2-4β)1/2)/2.

經驗算可知F/s為方程的一個特解，對根的幾種情況進行討論:

1) 當α2>4β時，μ1、μ2均為實數，通解為

Y(t)=φeμ1t+ωeμ2t+F/s.

2) 當時α2<4β，μ1=μ2=-α/2，通解為

Y(t)=(φ+ωt)e2(μi)+F/s.

Y(t)=heμtsin(vt+w)+F/s.

根據上述得到的數學模型，查閱資料，并從總體上看糧食供需矛盾，分析得到供需預測表(表1).

表1 人口、糧食產量及需求預測表

注：人口從2010年后按0.6%增長測算，糧食產量從2010以后各年增幅按16測算；糧食需求:口糧農村年均減速1.4%測算，城鎮按增幅2.1%測算；工業用糧從2010年后按3%增速計算；飼料用糧按肉、蛋、奶、魚產量乘以肉1.8、蛋1.7、奶0.4、魚0.8系數求得.改革開放30年飼料用糧年均增幅為5%，以后各年按增2%測算，種子按產量3x計算；周轉糧即庫存按消費量的20%計算，從表上可以看出2010年糧食缺口達759萬t，占需求量的1.3%.若今后20年產量按1%增長，糧食缺口將逐步擴大，到2020年缺口達1 990萬t，2025年缺口增加到3 170萬t，比重上升到4.8%.

經查閱計算得到城市化水平每提高1%，耕地面積減少0.51%，糧食總產量減少1.16%，綜合影響因素引起的糧食需求量是87 136萬噸.

L=0.291，s=0.019，m=1，a=0.8,

a=Ls+m-l，ma=0.773，B=Lsm=0.005 46.

特征根μ1=0.007，μ2=-0.78，由Matlab解微分方程得出解為

Y(t)=φeμ1t+ωeμ2t+F/s,

Y(t)=351 528.9e(0.007t)+47 602.9e(-0.78t)-348 500.

方程的初始條件從2010年開始作為第0年，所以當t為9、10、11、12、13時即代表2019, 2020，2021，2022，2023年的糧食總產量.

預測出總產量如表2所示.

表2 糧食總產量預測表

利用散點圖擬合出線性曲線，從而利用線性方程計算出預測值.

糧食單位面積散點圖(圖2)為：

耕地面積散點圖(圖3)為：

用逐差法求得糧食單位面積產量、耕地面積平均每年的增長量，就是線性方程的斜率，即分別求得糧食單位面積產量、耕地面積的線性方程為：

y=2.13x-3 929.3,

y=-0.01x+40.4,

其中x表示年份，y表示因變量.

預測數據如表3所示.

表3 糧食單位面積產量、耕地面積預測數據表

然后，擬合預測出的總產量與輪耕面積的散點圖(圖4)為：

得到總產量與輪耕面積的線性方程為：

y=1.875 9x-114 862.

最后，得出在國家糧食安全保障的基礎下我國5年后可輪耕土地面積為6 286.909萬畝.

為了進一步求解研究內容提出的問題，搜索數據得到表4所示.

表4 輪耕面積、財政收入與投入數據表

擬合財政收入和財政投入的線性曲線圖：

擬合財政投入和輪耕面積的線性曲線圖(圖6).

根據財政收入和財政投入、財政投入和輪耕面積兩組數據的擬合，得到如下線性方程：

y=0.002 5x-170.89,

y=49.915x-91.499.

由上述線性方程預測出我國五年后每年的土地輪耕面積，以及每年國家財政的投入數據表(表5).

表5 預測數據表

3 模型檢驗

3.1 樣本回歸模型的檢驗

表6 樣本回歸模型的檢驗結果

表7 方差分析

關于樣本回歸模型的擬合優度檢驗，從回歸統計輸出結果可知，可決系數RSquare為0.999 824，調整后的可決系數也約為0.999 648，說明樣本回歸模型的方程擬合效果很好，表明我國土地輪耕的面積的增長中，99.9%是由于中央政府補貼資金的拉動作用.

關于回歸方程的顯著性檢驗，從方差分析輸出結果可知，F統計量的P值為0.008 445 853，顯然小于顯著性水平0.05(置信度默認為95%)，所以該樣本回歸模型的方程顯著，因此中央政府補貼資金對土地輪耕面積有顯著影響.

3.2 灰色預測模型的檢驗

預測數據為：

G1=20.21、20.20、20.19、20.18、20.17，

G2=90 222、95 364、100 799、106 544、112 671，

G3=54.665、67.520、81.108、95.470、110.652，

G4=2 637.104、3 278.762、3 956.982、4 673.886、5 431.721.

其中，G1表示5年后我國可輪耕土地面積；G2表示至2023年每年中央財政收入；G3表示至2023年每年中央財政的投入；G4表示至2023年每年的土地輪耕面積.

相對殘差Q檢驗：Q1=0.005，Q2=0.076，Q3=0.081，Q4=0.004，相對殘差的平均值為0.041 5，4.15%小于5%，因此模型建立較好，預測結果精度高.

小誤差概率P檢驗：P1 =0，P2 =0.2，P3 =0.1，P4 =0.15，小誤差概率都小于1，模型的誤差很小，充分說明模型精度較高.

3.3 模型結果分析

采用樣本回歸模型，用已知的數據分析出樣本線性回歸方程，以此來表示總體的回歸模型，從而計算出當輪耕影響糧食產量達到5%時，中央財政預計需要安排的專項補貼資金.并且通過函數、數組、回歸分析工具等方法的檢驗，得出模型能較好的對研究內容進行預測和計算.

灰色預測模型的建立使其問題簡單化，且該算法需要的信息少且通用性強.本題中我們通過對2013—2017年短期內每年的主要糧食產量做出預測.觀察實際值與觀測值的相對誤差，預測出未來5年的主要糧食產量，從而預測出未來5年我國土地的輪耕面積.通過模擬預測檢驗，得到灰色模型的預測結果具有一定的可靠性.

運用線性回歸分析，擬合出數據之間的曲線圖，從而得到線性回歸方程，以此來預測出至2023年我國每年的土地輪耕面積，以及每年國家財政的投入.

4 結語

回歸模型是一種預測性的建模技術，它研究的是因變量(目標)和自變量(預測器)之間的關系.這種技術通常用于預測分析，時間序列模型以及發現變量之間的因果關系.回歸模型重要的基礎或者方法就是回歸分析，回歸分析是研究一個變量(被解釋變量)關于另一個(些)變量(解釋變量)的具體依賴關系的計算方法和理論，是建模和分析數據的重要工具.在這里，我們使用曲線或線來擬合這些數據點，在這種方式下，從曲線或線到數據點的距離差異最小.

在不確定性和貧信息性系統的問題領域中,灰色系統理論具有十分廣闊的發展前景.灰色預測法的基本思想是通過鑒別系統因素之間發展趨勢的相異程度，既進行關聯分析，并對原始數據進行生成處理來尋找系統變動的規律，生成有較強規律性的數據系列,然后建立相應的灰色預測模型.可廣泛的應用于社會科學，自然科學領域，系統地分析、建模、預測、決策的問題中.因此灰色預測模型能夠運用到養殖業、種植業、水產業等相關產業的產品產量的分析預測.