基于Broyden族校正的電容層析成像圖像重建算法

陳宇　夏宗基　李紅波　周雨佳

摘 要：為解決電容層析成像（ECT）圖像重建中的“軟場”效應和典型的病態問題，提出了一種采用Broyden族校正算法對電容層析成像系統進行圖像重建的方法?；趯CT系統基本原理的研究，推導出實現電容層析成像圖像重建的Broyden族校正的數學模型，并采用歸納法分析了算法收斂性。對該算法應用于ECT上的可行性進行了探討，該算法符合收斂條件且成像精度高。實驗結果的數值表明Broyden族校正算法的重建圖像效果非常理想，且成像質量優于SD、LBP、Landweber及CG算法，給ECT圖像重建領域提供了一種有效的新方法。

關鍵詞：電容層析成像;圖像重建;迭代算法;Broyden族校正

DOI：10.15938/j.jhust.2019.03.003

中圖分類號： TN911.73

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2019）03-0016-06

Abstract：In electrical capacitance tomography technology， to solve the ‘softfield nature and the typical illposed problem， a Broyden Correction image reconstruction algorithm is proposed for electrical capacitance tomography system. After the analysis of the basic principles of the ECT system， to solve the problem of electrical capacitance tomography system， we deduced a mathematical model of Broyden Correction algorithm and analyzed the convergence of the algorithm using the monotony of the iterative error. The feasibility of this algorithm solving ECT problems is also discussed. This algorithm meets the convergence condition and the error of image reconstruction is small. Simulation data and experimental results indicate that this algorithm can provide favorable stabilization and high quality images compared with SD， LBP， Landweber and CG and this new algorithm provides a feasible and effective way for ECT image reconstruction field.

Keywords：electrical capacitance tomography; image reconstruction; iterative algorithm; Broyden Correction

0 引 言

過程層析成像技術開始于上世紀八十年代，電容層析成像是其中之一?，F在眾多研究者將其作為研究的主流[1-2]。ECT已被證明是一種非常適合于兩相或多相流成像過程的技術。目前，ECT技術在許多兩相和多相流檢測方面得到了廣泛應用，比如，能源、冶金、石油化工、制冷、醫藥、環境保護等領域[3]。為了得到混合物中的電介質的空間分布信息，采用ECT技術來檢測放置在它周邊的電極組之間的電容值，并且把這些測量值轉換成一個圖像，顯示的是一個基于像素的圖或圖像的分布。圖像是近似的，它們的分辨率較低，但是它們可以在相對較高的速度下生成。雖然圖像可能是任何橫截面的圖像容器，但是目前大部分的工作是在圓形橫截面上進行的。ECT可以用于任何混合的不同的非導電介電材料，如塑料，碳氫化合物，沙子或玻璃[4-5]。然而，ECT的一個重要應用就是觀察和測量一個由兩種不同介質材料組成的混合物的空間分布，在這種情況下，可以從介電常數分布獲得混合物的空間分布。明確介電常數得空間分布為圖像重建的主要任務。在進行圖像重建的過程中遇到了三個主要困難：（1）介電常數在分布上和電容成非線性的關系，電場因為目前材料有所失真，即“軟場效應”;（2）重建過程因為有限的測量電容值出現了不穩定問題;（3）反問題是病態和不適定的，導致測量結果對誤差和噪聲敏感[6-7]。所以，必須加大探索更有效的算法，這樣才能得到高質量的重建圖像。

目前在ECT方面，常使用的算法有：LBP算法[8]、人工神經網絡[9]、以模型為基礎的MOR算法[10]、Landweber迭代[11]、共軛梯度法[12]等。LBP算法屬于定性算法，具有算法簡單，重建圖像速度快的優點，但是在成像上其失真嚴重[13]。神經網絡法重建圖像的原理是創建圖像像素的灰度值與電容值之間得對應關系。其具有響應速度快，成像質量較高的優點，但是它需要有完整的訓練樣本，而實際中獲得的訓練樣本都不夠完備。MOR算法在重建圖像時，與LBP算法相比，其具有更高的精確率，但是MOR算法在表示介電常數的空間分布時必須設定參數，重建的時間與參數的多少息息相關，參數多就會時間長，所以其弊端就是成像時間長。Landweber迭代算法[12]在改善迭代穩定性，控制噪聲方面具有一定效果，從而使成像速度大大提高，但是該算法需要進行大量迭代才能達到預期效果。共軛梯度法在系數矩陣達到正定對稱時才能使用，在簡單流型上應用時，它能縮短成像時間，加快收斂速度，提高穩定性，但是在復雜流型上應用時，成像效果不好。每種方法都有自己的利弊，不斷改善算法才可以得到更好的圖像重建的效果。

本文在研究眾多算法后，提出了Broyden族校正算法，它是擬牛頓算法的一種，把它應用到電容層析成像上能夠得到較理想的效果。該算法的使用使得圖像的精度有所提高，穩定性也得到了增強。在實驗時，本文利用了許多算法來對比，從實驗結果看，Broyden族算法能夠得到理想的重建效果，在成像的質量方面，其比共軛梯度法、LBP、最數下降法及Landweber好，給ECT圖像重建方面帶來了一種有效的新方法。

1 電容層析成像系統基本原理

ECT系統主要由數據采集系統、電容傳感器及成像計算機三部分構成。它依據材料不同其介電常數也不同，混合物中的等價介電常數會在介質分布的濃度改變后而發生變化，最后測量的電容值也會發生變化。所以，想要對介質在管道內的空間分布情況進行重建，需要電容的測量值。

本文分析對象為經典的12 電極的電容傳感器系統。通常，一個N電極板構成的傳感器可以得到的電容值總數M為：

M=C2N=N·（N-1）/2（1）

測量過程：從12 個電極板中選擇任意一個極板當做起點，給12個電極板進行逆時針編號。若選擇極板1作為公共電極，其余的電極板編號是2，3，…，12 的做為檢測電極板。將固定電壓U加在源極板上，測量電容值1-2，1-3，…1-12，測量的前提是沒有被使用的電極在測量時都必須接地。依照以上流程實驗后把電極板2當做公共電極，其余的作為檢測電極，按照以上的方法繼續檢測2-3，2-4，…，2-12 極板之間的電容值。如上步驟，最后測量11-12極板之間的電容值，測量過程結束。最后總共得到66 組數據。

ECT系統的數學模型如下：

C=SG（2）

式中，C∈Rm為歸一化的電容向量，S∈Rm×n為靈敏度矩陣， G∈Rn是歸一化介質空間分布的圖像向量。能否依據電容值C來得出介電常數G的空間分布為ECT圖像重建的重點所在。

2 基于Broyden族校正的電容層析成像算法

3 仿真與實驗結果

為驗證算法的性能，采用12電極的系統，在MATLAB軟件上進行仿真實驗。實驗中，管道的截面被32×32得網格分成1024個像素，其中，有效的區域只有856個成像單元。實驗時需要先對極低位層流、低位層流、小半徑核心流和柱狀流進行預設置，然后采用本文提出的Broyden族算法重建圖像。并采用最速下降法、LBP算法、共軛梯度法及Landweber迭代法進行圖像重建，然后在重建圖像的質量上與Broyden族算法比對。

用迭代次數N代表重建速度，重建的速度隨著N值增大而減小，重建的時間增長。因為LBP算法采用單步處理，所以N=0。N的值可以從數值仿真實驗中獲得。典型的方法為滿足下式的迭代誤差：

比對圖2的結果能看出，在接近原流型方面， CG及LBP算法不及Landweber 、SD算法及本文的Broyden算法。在極低位層流及低位層流上，Broyden族算法非常接近原始流型，而且成像質量高，邊界區域沒有模糊的現象。

上述幾種算法在進行圖像重建時，其誤差比較如表1所示，本文Broyden族算法具有最小的成像誤差。再加上圖2的結果能看出，在層流方面，CG算法及LBP算法的誤差最大;在小半徑核心流方面，SD（最速下降法）的誤差最大;在方形流方面，LBP算法成像的誤差最大，CG算法及本文Broyden族算法成像的誤差較小。

圖3比較了Landweber、 SD、CG及本文Broyden族算法的2范數參量誤差。依據比較得知，在極低位層流和層流方面，本文Broyden族算法在第七步之前得到了最小的2范數，第七步之后其2范數逐漸增高，極低位層流中其值仍然比Landweber和CG算法小;而在小半徑的核心流方面，CG算法和Broyden族算法都達到了較小的2范數參量值，但是CG法的參量值產生了跳躍，顯現了不穩定性。在方形流方面，Broyden族算法在第六步之前已經達到最小的2范數值，其后它的值再逐漸發散。表2是4種算法在迭代前20步后的2范數殘量值，表2表明，Broyden族算法的2范數殘量值相對較小。

表3表明，對于迭代步數，Broyden族算法明顯小于Landweber法，同樣小于SD算法，但是比CG法略大。通過上面的比對能看出，從成像的質量、速度及精度上看，使用Broyden族算法進行圖像重建，優于LBP、CG、SD及Landweber算法。

4 結 論

本文提出了Broyden族校正算法，它是擬牛頓算法的一種，通過研究ECT反問題地軟場效應及病態性，推導得到了Broyden族算法的校正表達式，而且對Broyden族算法的收斂性進行了研究。該算法具有成像速度快、程序簡單、成像精度高的優點，二次終止條件在迭代過程中能夠得到滿足。從上面的實驗結果能夠得到如下結論，利用Broyden族算法來重建圖像，能夠獲得非常好的效果，在成像質量方面，優于Landweber、SD、CG及LBP算法，給ECT圖像重建方面帶來了一種有效的新方法。

參 考 文 獻：

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（編輯：王 萍）