一種穩健自適應波束形成算法

沈肖雅，葛俊祥，王 奇

(1.南京信息工程大學 江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室， 南京 210044；2.南京信息工程大學， 南京 210044)

0 引 言

自適應波束形成又稱為空域自適應濾波，是陣列信號處理的重要內容，它在雷達、通信、射電天文以及醫學影像等領域有著廣泛應用[1-4]。傳統自適應波束形成在理想情況下能夠獲得良好性能，但當陣列模型存在失配導致導向矢量無法精確獲得時，波束形成器性能下降，尤其是訓練數據中包含期望信號時，期望信號有可能被當成干擾，從而出現信號自消現象[5]。同時，若波束形成器在干擾方向形成的零陷極窄，這造成干擾必須完全對準零陷位置才能被抑制，然而實際中可能出現干擾移動，天線接收平臺的振動等情況，導致干擾偏離零陷位置，嚴重情況下，常規方法可能完全失效[6]。

目前，針對陣列模型失配提出的穩健算法主要為：對角加載算法、特征空間算法、不確定集約束算法以及協方差矩陣重構算法。對角加載波束形成算法[7](Diagnoal Loading，DL)是在協方差矩陣對角元素上添一個加載因子，從而抑制權向量中的噪聲，但最優加載因子的不易確定[8-9]。文獻[10]采用投影波束形成方法是對特征空間算法的進一步改善，其將失配的導向矢量向信號加干擾子空間進行投影，將投影分量作為修正后的導向矢量，從而提高了導向矢量失配的魯棒性。以上兩類算法是對采樣協方差矩陣進行了改進，而采用不確定集約束的穩健波束形成方法[11-12]可看成是對導向矢量的改進，如最典型的穩健Capon波束形成[13](Robust Capon Beamformer，RCB)算法，但由于仍沒有將期望信號剔除，在高信噪比和導向矢量失配角度較大[14]時，算法性能下降。為了解決協方差矩陣中包含期望信號的問題，文獻[15]通過Capon空間譜估計，對除去期望信號的協方差矩陣重構，因此能夠降低期望信號失配對算法的影響，文獻[15-18]是基于協方差矩陣重構的一些不同的波束形成算法。以上是對陣列模型存在失配提出的一些方法，而針對干擾位置擾動的問題通常采用零陷加寬的方法，從而實現對擾動干擾的抑制。Mailloux[19]和 Zatman[20]都對零陷加寬問題進行了研究，且各自獨立提出了解決方法。Gershman[21]提出了在干擾方向施加導數約束來加寬干擾零陷的方法，但是該方法運算量大，零陷加寬不明顯。李榮峰[22]從干擾位置變化的角度出發，實現了干擾在正態分布特性時的零陷展寬，而當干擾模型為均勻分布時與 Zatman的方法等同。王金博[23]采用了基于最小均方誤差準則對權值進行二次約束得到新的權值，進而實現了零陷加寬。

綜上可知，如何提高系統的抗失配和抗運動干擾的能力是亟需解決的問題，而本文針對以上問題，采用重構協方差矩陣和二次約束的方法來提高算法的穩健性。

1 問題描述

1.1 陣列信號模型

假設入射信號均為相互獨立的遠場窄帶信號，接收端是一個M元均勻線列陣，陣元間距d為半波長，設定一個期望信號從θ0方向入射和P個方向為θj，j=1，2，…，p的干擾信號，且M>P+1，則陣列接收信號可表示為：

X(k)=AS(k)+n(k)=

xs(k)+xi(k)+n(k)

(1)

其中，A=[a(θ0),a(θ1),…,a(θp)]T為M×(P+1)的陣列流型矩陣，S(k)為信號復包絡向量，a(θ0)為期望信號的導向矢量，a(θj)為干擾信號的導向矢量，n(k)為復高斯白噪聲且與入射信號互不相關。

定義符號‖H為矩陣共軛轉置，陣列天線的接收信號協方差矩陣為：

R=E[x(k)x(k)H]=Rs+Ri+n=

(2)

根據最大化輸出信干噪比(MSINR)準則，即：

(3)

標準Capon波束形成[1]問題可以表示成如下最優化問題：

minwHRi+nw

(4a)

s.t.wHa(θ0)=1

(4b)

由此可得最優權值為：

(5)

(6)

1.2 零陷展寬技術

Mailloux[19]和Zatman[20]分別提出了一種針對移動強干擾的零陷展寬方法。雖然兩種方法本質上是相同的，但Zatman方法中的噪聲項沒有受到影響，因此該方法優于Mailloux的方法。Guerci[24]提出的Mailloux-Zatman方法是對采樣協方差矩陣加權實現，得到的增強協方差矩陣可表示為：

RMZ=R·TMZ

(7)

其中，符號·表示Hadamard乘積，TMZ為一般實正定矩陣，而且它的第mn個元素為：

(8)

其中，Δ為零陷寬度。此方法由于采用多個虛擬干擾源代替原本的單個干擾，因為每個虛擬干擾源的功率較小，將導致零陷深度變淺，旁瓣升高。

2 本文提出的算法

2.1 干擾加噪聲協方差矩陣重構

(9)

(10)

2.2 期望導向矢量估計

為了提高算法抗導向矢量失配誤差的魯棒性，采用了基于MUSIC譜算法[25]來獲取信號的入射方向，由于信號與噪聲相互獨立，數據協方差矩陣可以分解為相互正交的信號子空間和噪聲子空間，則采樣協方差矩陣的子空間形式如下：

(11)

aH(θ)UN=0

(12)

所以，MUSIC算法的譜估計公式為：

(13)

由此利用MUSIC譜估計法重構期望信號協方差矩陣：

(14)

(15)

在實際應用中，對于一維導向矢量有下式成立：

aH(θ)a(θ)=M

(16)

那么估計的期望導向矢量為：

(17)

可得重構后新的權值公式：

(18)

2.3 基于二次約束的零陷展寬

本文采用了對輸出權值與最優權值之差平方最小的二次約束和對干擾輸出功率進行參數約束的方法，實現了干擾零陷加寬并且寬度可調。

要使wnew盡可能的接近最優權值W，對自適應權值二次約束，可得約束方程如下：

minf(W)=‖W-wnew‖2

(19a)

(19b)

其中，ε為大于0的約束參數。對于式 (19)的最優化問題，可以利用Lagrange乘數法進行求解，可得：

(20)

其中，λ為Lagrange乘數，文獻[26]中對λ進行了限制，即要求λ≥0。其實對于上面的約束最優化問題，λ可以取任意實數，即λ∈R，在此沒有對其進行限制。

對式(20)關于W求導：

(21)

令式(21)等于零，可以得到W的解為：

(22)

2.4 最優Lagrange乘數的求解

(23)

(24)

(25)

(26)

為了便于分析，令

(27)

(28)

進行簡化，可得：

(29)

(30)

此處的算法步驟總結如下：

Step3 確定最優λ，代入式(22)得到最優權值W。

3 仿真結果及分析

實驗一：約束參數ε改變時，分別采用正負拉格朗日乘數的本文算法分析

圖1 不同參數下的正負加載波束圖

從圖1(a)可以看出，當約束參數ε較大時，采用正負加載的本文算法都能很好的實現導向失配校準和零陷加寬，隨著約束參數的變小如圖1(b)、圖1(c)，零陷深度加深，但圖1(c)正負加載下的算法性能都有所下降，主瓣變寬，旁瓣升高，隨著約束參數越小精度越高，拉格朗日乘數極大，本文算法性能下降。綜上可知，本文算法還是很好的實現了抗運動干擾同時提高了抗系統誤差的魯棒性。

實驗二：存在指向誤差時不同算法的波束圖分析

圖2 不同算法的歸一化波束圖

從圖2(a)可以看出，RCB算法雖然針對導向矢量失配問題進行了不確定集約束，但當角度失配較大時，主瓣指向產生了偏差，甚至在期望信號的真實入射方向附近產生了零陷；文獻[23]算法是對零陷展寬的算法，可以看出其在干擾方向實現了加寬，但是對導向矢量失配的情況無法得到解決，旁瓣升高，性能急劇下降；文獻[15]算法可看出在角度失配下，主瓣仍能對準期望信號的真實方向，具有著抗失配的穩健性，但在干擾位置形成的零陷非常陡峭，對運動干擾不能很好抑制；本文算法由于采取了二次約束的零陷展寬和干擾加噪聲協方差矩陣重構及導向矢量估計，因此校正了主瓣指向，同時干擾方向實現了零陷展寬且可調，也可以看出相比文獻[23]算法零陷深度加深。圖2(a)、2(b)、2(c)分別是失配角度為6°，7°和8°時的波形圖，從中可以看出當失配角度大于7°時，本文算法也出現了較大失配。

實驗三：不同輸入SNR下的輸出SINR分析

圖3 輸出SINR隨輸入SNR的變化情況

從圖3可以看出，由于文獻[23]王金博的算法無法解決期望信號導向矢量失配問題，因此性能遠遠偏離了理論值，并會隨著輸入SNR的增大惡化加劇。RCB算法雖然對導向矢量失配采用了不確定集約束，性能有所改善，但由于采樣協方差矩陣仍然包含期望信號分量，造成失配角度較大時，性能下降，可以看出高信噪比下，逐漸惡化。文獻[15]算法由于重構干擾加噪聲協方差矩陣，實現了期望指向不偏移，增強了算法的穩健性。本文算法由于從根本上解決了期望信號和擾動干擾對算法的影響，期望導向矢量失配在一定的范圍內時算法可保持它的穩健性，輸出SINR與理論情況相差很小。

實驗四：少快拍數下的輸出SINR分析

圖4 輸出SINR隨快拍數的變化情況

由圖4可知，本文算法在快拍數約為30時就能達到收斂，且其輸出SINR是最接近最優理論值的。相比較本文算法，文獻[15]達到收斂所需的快拍數也較小，但它的輸出 SINR與理論值相差將近3dB。文獻[23]由于大角度失配的原因，性能惡化，相較于文獻[23]而RCB算法有所改善。綜上可得，本文算法不僅最快達到收斂，而且輸出SINR也是最接近最優輸出值，其性能最佳。

實驗五：隨失配角度變化的輸出SINR分析

快拍數為N=50，輸入SNR=10 dB，干噪比均為30 dB。圖5為期望信號的失配角度在[-8:1:8]之間變化時，幾種方法的輸出SINR變化曲線對比圖。

圖5 輸出SINR隨失配角度的變化情況

由圖5可知，當期望信號導向矢量角度偏離較大時，本文算法依然與最優的輸出SINR接近，但失配角度大于7度時，主瓣方向也不能完全對準實際期望方向。而文獻[15]協方差矩陣重構法雖然抗失配角度也較大，但輸出SINR要略低于本文算法。RCB算法受到協方差矩陣中的期望信號分量的影響和文獻[23]由于沒有針對導向矢量失配做出改進，輸出SINR均不同程度的偏離了最優理論值。

4 結 語

近十幾年來，國內外學者提出了一些改善自適應波束穩健性的方法，也使得穩健自適應波束形成為了當前陣列處理的研究熱點。這其中基于協方差矩陣重構的算法能夠改善一般導向矢量失配的穩健性，而本文也是采用了這種方法解決導向矢量失配問題同時對干擾矩陣構造寬零陷，再對自適應權值進行二次約束和對干擾輸出功率約束實現了零陷加寬。仿真結果表明了本文算法的正確性和有效性，最終提高了算法的抗陣列模型失配和抗運動干擾的能力。