有界變化時滯和聯合連通拓撲條件下的分布式無人機編隊飛行控制策略

李小民， 毛瓊， 甘勤濤， 杜占龍

(1.石家莊鐵道大學 電氣與電子工程學院，河北 石家莊 050043；2.陸軍工程大學石家莊校區 無人機工程系，河北 石家莊 050003；3.63850部隊總體研究所，吉林 白城 137001)

0 引言

近年來，無人機編隊協同控制在執行戰場目標偵查、多目標攻擊、跟蹤監視、實施電磁干擾和低空突防等方面以其執行效率高、效果好以及靈活性和魯棒性強等特點，逐漸成為當前無人機領域的研究熱點之一。相應的研究方法有領航跟隨法、虛擬結構法以及基于行為的方法，這些方法各有優勢，但分別存在誤差積累、結構不靈活、魯棒性差以及難以用數學方法分析群體行為等問題[1-2]。近幾年發展起來的一致性方法是一種靈活性好、魯棒性強的分布式編隊控制方法，它強調智能體通過獲取鄰居智能體的狀態信息來控制自身的狀態，從而實現對整體行為的控制，使編隊趨于期望狀態。眾多學者對一致性理論展開了研究，研究對象的系統模型從1階和2階積分系統[3-5]到高階系統[6-7]、從線性[8-9]到非線性[10-11]、從連續系統到離散系統[12-13]等。由于通信網絡的拓撲變化和時滯現象對編隊控制有著重要影響，很多文獻對此進行了研究，但大多數文獻均假設通信拓撲固定[14-17]。文獻[18-20]雖然同時考慮了時滯和網絡拓撲的動態變化，但是分別針對慢變時滯、線性時滯和定常時滯，對時滯的考慮比較理想。由于受網絡帶寬、傳輸速率的限制以及傳輸可靠性的影響，網絡通信中時滯的非線性、快變以及跳變現象時常發生，成為制約多無人機協同控制效果的重要因素；且隨著多無人機的運動，其位置的變化會引起編隊通信拓撲的動態改變，因此研究通信拓撲切換和復雜時滯變化情況下的編隊控制問題更具有較強的現實意義。

雖然由多無人機組成的網絡通信時滯變化復雜，但它們一般在有界區間內變化。因此，本文針對多無人機在網絡時滯有界和通信拓撲聯合連通情況下的編隊控制問題展開研究，通過設計基于一致性理論的編隊控制策略，采用Lyapunov穩定理論將該策略下的編隊飛行控制問題轉化為系統穩定性問題加以分析，從而得到實現編隊飛行的充分條件，即當系統滿足某些線性矩陣不等式條件時，該控制策略能指導無人機編隊以期望的目標隊形和速度穩定飛行。

1 無人機編隊系統動力學建模

考慮由N架無人機組成的編隊在三維空間的協同編隊飛行控制問題。對編隊中第i架無人機進行動力學建模得到：

(1)

(2)

ui(t)與vdi、φdi、χdi之間的關系為

(3)

無人機的性能約束為對狀態量Xi以及vdi、φdi、χdi的限定，具體可參考文獻[21]中的方法進行處理。

2 圖論基礎知識

1)Z<0；

引理2[23]對于任意矩陣W∈Rn×n，0≤τm≤τ1(t)≤τ2(t)≤τM以及向量值函數ω(s)，以下積分不等式成立：

3 控制策略設計與穩定性證明

3.1 基于一致性理論的控制策略設計

對于由N個成員構成的無人機編隊，其每個成員在任意時刻需要根據鄰居無人機的狀態信息來控制和更新自己的當前運動狀態。若用無向圖描述編隊內部各架無人機之間的通信拓撲關系，則由于系統內部的無人機成員在與鄰近無人機進行無線通信交換彼此的狀態信息(位置、速度)時，受通信帶寬、傳播速率、通信距離的限制以及外界干擾和環境的影響，其時滯會發生復雜變化，通信拓撲會隨著無人機的運動不斷切換，在此引進一個分段連續的常值切換函數l(t):[0,∞)|→p={1,2,…,Λ}，簡記為l，其中Λ為所有可能的無向通信拓撲總數。

由(2)式可得第i架無人機的動態方程為

(4)

式中：ζi(t)∈R3表示第i架無人機的速度；控制輸入量ui(t)設計為

(5)

式中：ζd(t)∈R3表示編隊的期望運動速度(根據vdi、φdi和χdi進行解算)；k1、k2、k3為各個分量的控制權重，且k1>0、k2>0、k3>0;τ(t)>0代表t時刻第j架無人機向第i架無人機傳遞信息時的網絡時滯，意味著第i架無人機在t時刻接收到的第j架無人機的狀態信息為ξj(t-τ(t))和ζj(t-τ(t))。

多架無人機要形成一定的隊形，需要個體在運動時相互之間形成并保持某種相對幾何位置關系。為方便描述，設定目標隊形中心為編隊中心，如圖1所示。

圖1 無人機編隊平面圖Fig.1 Plane graph of UAV formation

在圖1中，目標編隊隊形為楔形，Or為其編隊中心，O代表笛卡爾坐標系的原點，第i架無人機、第j架無人機和編隊中心Or在笛卡爾坐標系中的位置分別為ξi(t)、ξj(t)和ξr(t)，第i架無人機、第j架無人機與Or的距離分別為ri和rj，二者之間的期望位置差值矢量rji=rj-ri，因此rij=-rji.

若第i架無人機在控制量ui(t)作用下其狀態[ξi(t)-ξj(t)]→rij且ζi(t)→ζj(t)→ζd(t)，則意味著無人機編隊形成期望的目標隊形，并以期望的運動速度保持飛行。

(6)

(7)

3.2 系統穩定性分析

(8)

(9)

(10)

在定理1中，ΞI為對稱矩陣，

(11)

式中：*表示ΞI矩陣的對稱部分。

令δ=(τh-τl)/2，τa=(τh+τl)/2，則ΞI的其他項表達式如下：

(12)

對(12)式求導，得

(13)

由牛頓- 萊布尼茲公式，

(14)

可將(10)式轉化為

(15)

利用引理2，得

(16)

又由于

(17)

式中：-1≤(τa-τ(t))/δ≤1，則

(18)

(16)式和(18)式代入(13)式，得

(19)

再將(15)式代入(19)式并化簡為

(20)

下面討論對于編隊內部的所有個體，該恒定值是否為rij. 先假設一個簡單情況，編隊內部有N-1個個體之間達成了期望的幾何位置關系，僅有個體g偏離了期望位置，由于嚴格受目標編隊隊形幾何關系的約束，導致個體g與其他N-1個個體之間的距離恒定值不等于rgk(k∈(1,2,…,N-1))。根據前面的推導過程可知，個體g在每個重復切換通信拓撲的時間序列內未與其他N-1個個體中的任何一個構成連通關系，這與定理1中的通信拓撲集合聯合連通的假設條件是矛盾的，因此該恒定值只能為rgk. 同理，假設個體i與j之間的位置差矢量最終收斂至r且r≠rij，意味著個體i在每個重復切換通信拓撲的時間序列[tk,tk+1)內，未與個體j以及和個體j有連通關系的所有其他個體中的任何一個體構成連通關系；進一步，與個體i有連通關系的任何一個體也未與個體j以及和個體j有連通關系的所有其他個體中的任何一個構成連通關系，即與個體i有連通關系的個體部分和與個體j有連通關系的個體部分不連通，這與定理1中的通信拓撲集合聯合連通的假設條件是矛盾的。充分性證明完畢。

4 仿真分析

表1 無人機平臺的主要性能參數

表2 無人機編隊成員的初始狀態

4.1 快變時滯條件下的編隊控制實現

圖2 無人機編隊的通信拓撲圖Fig.2 Communication topology of UAV formation

圖2為5架無人機之間的通信拓撲圖，圖2(a)和圖2(b)均不連通，但其聯合圖連通。5架無人機的通信拓撲在各個時間子區間按著(G1，G2)的順序重復切換，每個拓撲圖的駐留時間為2 s，每條邊權重為1.

圖3 目標編隊隊形Fig.3 UAV formation

圖4 隨時間變化的時滯曲線Fig.4 Time delay curve over time

無人機編隊成員在三維空間的飛行軌跡、各機的速度、航跡方位角和航跡傾角、各機之間的距離以及控制量隨時間變化情況分別如圖5～圖10所示。

圖5 無人機編隊在三維空間的軌跡Fig.5 Flight paths of UAV formation in three-dimensional space

圖6 編隊成員的速度隨時間變化曲線Fig.6 Speed-time curves of formation members

圖7 航跡方位角隨時間變化曲線Fig.7 Flight-path azimuth angle versus time

從圖5可知，雖然各架無人機的初始狀態不相同，但在控制策略(5)式作用下逐漸靠攏和形成目標楔隊形。本文中航跡方位角的定義為飛行速度矢量在地面上的投影與地面坐標軸ogxg軸之間的夾角，以速度向地面的投影在ogxg軸之右時為正；航跡傾角定義為飛行速度矢量與地平面之間的夾角。各機速度(見圖6)、航跡方向角(見圖7)和航跡傾角(見圖8)在圖10所示的控制量作用下隨著時間的推移逐漸與期望值達成一致，且各機控制量隨著目標的達成逐漸趨于0，系統進入穩定狀態，即以目標楔隊形保持編隊飛行。圖9進一步表明：各機之間的距離逐漸趨于恒定值，且該恒定值與圖3所示目標隊形中各成員之間的距離值一致。該實驗由于引入了速度、加速度約束，控制量需要在有界區間內作用更持久才能使各機狀態與期望值達成一致，它們與時滯一樣，不僅延緩了一致性的形成速度，而且使狀態量出現了小范圍波動；此外，拓撲的切換會誘發控制量的振蕩行為，且切換越頻繁，帶來的高頻振蕩分量越多。

圖8 航跡傾角隨時間變化曲線Fig.8 Flight-path slant angle versus time

圖9 無人機之間的距離隨時間變化曲線Fig.9 Distance among UAVs versus time

圖10 編隊成員的控制量隨時間變化曲線Fig.10 Control curves of formation members

4.2 跳變時滯條件下的編隊控制實現

5架飛行器的通信拓撲如圖11所示，它們各自均不連通，但其聯合圖連通。各個通信拓撲圖的駐留時間為1.5 s，且在各個時間子區間按著(G1、G2、G3、G4)的順序重復切換，每條邊權重為1.

目標隊形為圖12所示的梯形。5架無人機性能參數和初始狀態見表1和表2. 編隊成員的期望速度、期望航跡方位角和期望航跡傾角與4.1節相同。

時滯函數τ(t)(隨機矩形脈沖)隨時間變化的規律見圖13. 由于它在有界區間(0≤τ(t)≤2.5)內變化，滿足定理1的使用條件，得到一組可行的控制參數k1=0.2，k2=0.6和k3=0.1，使多無人機在控制策略(5)式作用下實現了期望的編隊飛行。

無人機編隊成員在三維空間的飛行軌跡、各機的速度、航跡方位角和航跡傾角，各機之間的距離以及他們的控制量隨時間變化情況如圖14～圖19所示。

圖11 無人機編隊的通信拓撲Fig.11 Communication topology of UAV formation

圖12 目標編隊梯形Fig.12 Trapezoidal formation

圖13 時滯隨時間變化曲線Fig.13 Time delay versus time

圖14 無人機編隊在三維空間的軌跡Fig.14 Flight path of UAV formation in three-dimensional space

圖15 編隊成員的速度隨時間變化曲線Fig.15 Formation members’ speed versus time

圖16 航跡方位角隨時間變化曲線Fig.16 Flight-path azimuth angle versus time

圖17 航跡傾角隨時間變化曲線Fig.17 Flight-path slant angle versus time

圖18 無人機之間的距離隨時間變化曲線Fig.18 Distance among UAVs versus time

圖19 無人機編隊成員的控制量隨時間變化曲線Fig.19 Control curves of formation members

由圖14～圖19可知，雖然網絡時滯處于隨機跳變狀態，但由于其變化有界，編隊內部各個成員仍可采用定理1中的方法設計控制策略，并在圖19所示的控制量作用下逐漸從初始位置收斂至期望的梯形隊形，目標編隊形成，并以期望的狀態保持飛行，其他結論與4.1節相同。

5 結論

本文針對網絡時滯在有界區間變化和通信拓撲動態切換環境下的無人機編隊控制問題，在已有控制策略基礎上研究了其在復雜環境中控制有效的充分條件。該條件僅需利用時滯變化的上界與下界，就可通過矩陣不等式求解相關控制參數，使得復雜條件下的編隊控制成為可行，且具有較大的適用性。該條件僅需對時間子區間內固定通信拓撲圖中的連通部分進行計算，相當于把高維數矩陣的求解問題轉化為若干個低維數矩陣的求解問題，大幅度減小了計算量，提高了實時性。在將某些物理量的約束(如飛行速度、加速度有界等)引入后，該策略仍然有效，并且可實現任意形狀(對稱或非對稱)的編隊構型。