突然擴散水躍方程的改進與比較

(1.西安理工大學 省部共建西北旱區生態水利國家重點實驗室， 西安 710048；2.嘉興學院 建筑工程學院, 浙江 嘉興 314001； 3.上海大學 建筑系, 上海 200444)

1 研究背景

泄水建筑物下游的消能防沖是泄水建筑物水力設計中的重要問題[1-3]。由于建壩區域的地質、地形條件及水力條件不同，可以布置成不同的消能形式。水躍消能作為傳統的消能形式被廣泛采用[4-8]。水躍分為棱柱體明渠的水躍和空間水躍，水平渠底漸擴明渠段中的水躍[8-13]和水平渠底突然擴大明渠段的水躍(以下簡稱“突然擴散水躍”)[14-17]是適合擴散河槽的2種不同的空間水躍。

由于空間水躍流動復雜[18-21]，空間水躍引起了相關研究者予以關注。而水平渠底突然擴散水躍的研究較少。關于水平渠底突然擴散水躍水力設計中的重要參數共軛水深比的計算，一類是依賴于試驗資料建立的經驗公式，這類公式由于受試驗資料范圍的限制，都有相應的應用范圍，使用中也因此受到限制；另一類是借助于動量守恒原理建立的水平渠底突然擴散水躍方程(共軛水深方程)。根據共軛水深方程進行求解獲得共軛水深比η(η=h2/h1，h1，h2分別為躍前、躍后斷面水深)。后者力學概念清楚，但在推導過程中要引入一些假定，例如，必須假定回流平均水深。因此，根據回流平均水深假設的不同，就可得到不同的水平渠底突然擴散水躍方程。

基于上述研究背景，本文研究突然擴散水躍方程的特性。在回流區平均水深作為代表水深的假設下，根據動量守恒原理推導突然擴散水躍的一般方程。在改進了回流區平均水深具體表達式的基礎上，得到突然擴散水躍的新方程，并給出有關參數的確定方法。并將已有的突然擴散水躍方程求得的共軛水深比與試驗結果進行比較。

圖1 突然擴散水躍Fig.1 Hydraulic jump in abruptly expanding channel

2 突然擴散水躍方程

圖1是水平渠底突然擴散水躍的流動示意圖。圖中：h1，h2分別為躍前、躍后斷面水深；h3為回流區平均水深；b，B分別為上游、下游渠槽寬度；v1為躍前斷面的平均流速；v2為躍后斷面的平均流速；P1為躍前斷面的動水總壓力；P2為躍后斷面的動水總壓力；P3為水躍始端擴散斷面上的動水總壓力。

對于圖1所示的流動，忽略明渠槽底壁面的摩擦阻力，在突然擴散水躍的流動方向對圖1的躍前與躍后兩控制斷面應用動量守恒原理，有

(1)

式中:Q為流量;γ為水的重度；g為重力加速度；α01為躍前斷面的動量修正系數；α02為躍后斷面的動量修正系數。

考慮躍前斷面上的動量修正系數與躍后斷面上的動量修正系數均為1.0，有

α01=α02=1.0 。

(2)

由連續性方程，有

(3)

假定躍前與躍后兩斷面上的水流為漸變流,水壓力按靜水壓力分布，躍前斷面的動水總壓力為

(4)

躍后斷面的動水總壓力為

(5)

始端擴散區壁面壓強依賴于回流平均水深，而回流水深沿始端擴散區壁面是變化的，一般假定用回流平均水深作為代表，這時，水躍始端擴散斷面上的動水總壓力為

(6)

將式(2)至式(6)代入式(1)，得

(7)

(8)

式中h3為回流區平均水深。式(8)即為突然擴散水躍的共軛水深的一般方程。

3 突然擴散水躍方程的改進

3.1 已有的突然擴散水躍方程

回流區平均水深確定以后，代入式(8)就可以得到突然擴散水躍的共軛水深方程，然后求解突然擴散水躍的共軛水深方程就可以得到共軛水深比。對于回流區平均水深，研究者通常作出了一些假設，從而得到了相應的突然擴散水躍的共軛水深方程。 文獻[14]假定回流區平均水深h3=h1，則有

(9)

文獻[18]假定回流區平均水深h3=0.5(h1+h2)，則有

βη(η-1)(3βη+β+η+3)-

(11)

3.2 突然擴散水躍方程的改進

αβη(β-1)(1+η2)=0 。

(12)

根據文獻[16]和文獻[18]關于回流區平均水深h3、躍前水深h1、躍后水深h2的試驗資料，對系數α的變化規律進行了分析。系數α可以表示為

α=-0.066 9β2+0.484 6β-0.329 。

(13)

方程(12)的顯式解為

4 不同突然擴散水躍方程求得的共軛水深比與試驗結果的比較

將不同突然擴散水躍方程求得的共軛水深比與試驗結果進行比較，以檢驗方程精度。利用式(9)—式(12)對文獻[16]和文獻[18]中90組試驗資料進行了計算，共軛水深比的計算結果與試驗結果的比較如圖2所示。圖2形象地給出了不同方程的計算結果與試驗數據的差別。不同方程的計算結果與試驗結果的有關參數的比較見表1—表3。

圖2 不同方程共軛水深比的計算結果與試驗結果的比較Fig.2 Conjugate depth ratio calculated by differentequations and experimental result

方程平均相對誤差/%最大相對誤差/%方程平均相對誤差/%最大相對誤差/%式(9)11.80640.841式(11)6.33132.420式(10)6.76129.206式(12)5.48528.210

(1)由圖2可知，β=1.2時，式(9)—式(12)的計算結果接近。β=1.5時，當Fr1較小情況下，式(9)—式(12)的計算結果接近，當Fr1較大情況下，式(9)、式(11)的計算結果偏離式(10)、式(12)的計算結果。β=2.0時式(10)與式(12)的計算結果接近。β=3.0時式(11)與式(12)的計算結果接近，式(9)與式(10)的計算結果明顯偏離。β=5.0時式(10)與式(12)的計算結果接近，式(9)與式(11)的計算結果明顯偏離。

(2)由表1可以看出，對于在90組試驗資料中關于不同方程共軛水深比的計算結果與試驗結果的誤差，式(9)的平均相對誤差和最大相對誤差最大，式(10)的平均相對誤差次之，改進后的式(12)的平均相對誤差和最大相對誤差最小。

表2 不同突擴比時不同方程共軛水深比的計算結果與試驗結果的相對誤差Table 2 Errors between conjugate depth ratios calculated by different equations and experimental result inthe presence of varying abruptly expanding ratio

表3 不同相對誤差范圍的試驗組次分布Table 3 Test groups in different error ranges

(3)由表2可以看出，不同突擴比時不同方程共軛水深比的計算結果與試驗數據的比較說明，式(9)—式(12)都在β=3.0時平均相對誤差和最大相對誤差最大，式(9)—式(12)都在β=1.2時平均相對誤差和最大相對誤差最小。各個方程的相對誤差變化規律基本相同。說明β=3.0時流動比較復雜。

(4)由表3可以看出，在90組試驗資料中，共軛水深比的計算結果與試驗結果的相對誤差<5%的試驗組次，式(9)有25次，組次最少；式(12)有57次，組次最多。相對誤差>30%的試驗組次，式(9)有5次，組次最多；式(10)和式(12)沒有相對誤差>30%的試驗數據出現。式(12)與式(10)的比較說明，相對誤差<5%的試驗組次，由式(10)的41組次增加到式(12)的57組次，改進后的方程共軛水深比的計算結果與試驗結果的相對誤差明顯減小。

(5)綜上分析，改進后的式(12)在不同的突擴比情況下，共軛水深比的計算結果與試驗結果的平均相對誤差最小，計算精度最高。建議對于實際的工程計算問題可以采用式(12)進行。

(6)式(9)—式(12)在β=1.0時都簡化成矩形明渠二元水躍的共軛水深方程。

5 結 論

本文研究了突然擴散水躍方程的特性,并將其與試驗結果進行了比較，可以得出以下結論。

(1)在回流區平均水深作為代表水深的假設下，根據動量守恒原理推導了突然擴散水躍的一般方程。

(2)在改進了回流區平均水深具體表達式的基礎上，得到了突然擴散水躍的新方程，并給出了有關參數的確定方法。

(3)將已有的突然擴散水躍方程求得的共軛水深比與試驗結果進行了比較，在90組試驗資料中，式(9)的平均相對誤差和最大相對誤差最大，改進后的式(12)的平均相對誤差和最大相對誤差最小。式(9)—式(12)都在β=3.0時平均相對誤差和最大相對誤差最大，都在β=1.2時平均相對誤差和最大相對誤差最小。改進后的式(12)在不同的突擴比情況下平均相對誤差都最小，計算精度最高。

(4)在90組試驗資料中，共軛水深比的計算結果與試驗結果的相對誤差<5%的試驗組次，式(9)有25次，組次最少；式(12)有57次，組次最多。改進后的方程共軛水深比的計算結果與試驗結果的相對誤差明顯減小。

(5)式(9)—式(12)的比較表明，改進后的式(12)共軛水深比的計算結果與試驗結果的平均相對誤差和最大相對誤差最小，計算精度最高，且有顯式解，計算方便。因此，建議用改進后的式(12)進行突然擴散水躍共軛水深的水力設計。