谷一
進入高三以來,老師一直要求我們多做題、做好題、多思考、多聯想,能夠通過解一道題,聯想到多種方法和類似的題,有助于開拓我們的思維.
前幾天老師布置我們做一道關于重心的題,題目是這樣的:
如圖1,若點G為△ABC的重心,且AG⊥BG,則sin C的最大值為____.
立即向老師匯報我的做法,老師很贊賞.卻又提出一個問題:從形的角度看,還有其他想法嗎?
引例的幾何解法:
如圖5,過A,B兩點作⊙M(當然可以作出無數個圓),若使得⊙M與x軸正半軸相切,則切點即為所求點C(可由平面幾何知識證明:∠ACB>∠ADB)!此時,由切割線定理可以得到:OC2=OA·OB,即x=√ab時取“=”!
從引例我得到啟發:本題不過是把引例中的x軸正半軸換成了⊙D而已,只需找出動⊙M與⊙D的切點即可!
如圖6,過A,B兩點作⊙M,逐步增加其半徑,直至與⊙D內切,顯然切點為AB中垂線與⊙D的交點Ci此時∠ACB取得最大值.(在⊙D上任選一異于點C的點N,連結AN交⊙D于點K,則∠ACB=∠AKB>∠ANB,即可證明)
看了我的完整解答,老師笑了:“聯想是一種非常有效的解題方式,它不僅能夠幫助我們突破思維中的局限瓶頸,拓展思維,還可以提高思維靈活性與想象能力.”
至此,我從幾個不同角度探究了本題的一些解法.這些,都是聯想得來的,在以后的數學解題中,我們應仔細觀察題設條件中的細微之處,發掘題目的隱含條件,大膽聯想,從而找到解題的突破口,使得數學問題快速得解.