跳頻序列集的時頻二維部分漢明相關理論界

許成謙, 李 鑫

(1. 燕山大學 信息科學與工程學院, 河北 秦皇島 066004; 2. 燕山大學 河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室, 河北 秦皇島 066004)

0 引言

跳頻多址通信技術廣泛應用在現代通信系統中[1]。跳頻擴頻系統的重要問題是在可供跳頻的載頻上的跳頻序列具有好的漢明相關性。 相對于傳統的周期漢明相關性，跳頻序列的部分漢明相關性更具有一般性。對于跳頻序列只含有時延的一維部分漢明相關性理論界的研究取得了很多成果[2-4]。當通信終端高速移動時，多普勒現象會導致頻移，這樣考慮跳頻序列既有時延又有頻移的二維漢明相關性具有重要的意義。目前對于跳頻序列的二維漢明相關性的研究還比較少。文獻[5]給出了無碰撞區跳頻序列時頻二維周期漢明相關的理論界。文獻[6]給出了低碰撞區跳頻序列時頻二維周期漢明相關的理論界。 文獻[7]構造出了滿足時頻二維周期漢明相關理論界低碰撞區跳頻序列集。 文獻[8-9]依據理論界對幾類跳頻序列集的時頻二維周期漢明相關值進行了分析。

本文著重研究跳頻序列和序列集時頻二維部分漢明相關理論界，給出了跳頻序列時頻二維部分漢明自相關、互相關的概念，證明了跳頻序列集時頻二維部分漢明自相關、互相關所滿足的理論界。

1 相關概念

設F是頻隙集合，周期為N的序列x=(x0,x1,…,xN-1)，xi∈F，i=0,1,…,N-1，稱為F上的跳頻序列[10]。F上的不同跳頻序列組成的集合稱為跳頻序列集。

設Zq為q階加法整數群。 對于Zq上任意兩個周期為N的跳頻序列,x=(x0,x1,…,xN-1),y=(y0,y1,…,yN-1)，0≤τ≤N-1,ω∈Zq,稱

(1)

為跳頻序列x和y的時頻二維周期漢明互相關函數。其中，當xi=yi時，h(xi,yi)=1，當xi≠yi時，h(xi,yi)=0。τ表示相對時延，ω表示頻移,且i+τ≡(i+τ)modN，i=0,1,…,N-1。當x和y相等時，Hxy(τ,ω)被稱為時頻二維周期漢明自相關函數，記為Hxx(τ,ω)。

定義1 設x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…，yN-1)為Zq上兩個周期為N的跳頻序列，若對于0≤τ,t

(2)

則稱Hxy(τ,ω;t|L)為跳頻序列x和y起點為t、相關窗長度為L時頻二維部分漢明互相關函數。當x和y相等時，Hxy(τ,ω;t|L)為跳頻序列x和y的時頻二維部分漢明自相關函數。 若t=0,L=N時，時頻二維部分漢明相關函數退化為時頻二維周期漢明互相關函數，這時Hxy(τ,ω;t|L)記為Hxy(τ,ω)。

本文中，用

表示跳頻序列集S的最大時頻二維部分漢明自相關。 用

表示跳頻序列集S的最大時頻二維部分漢明互相關。當t=0,L=N時，Pa(S)和Pc(S)分別退化為跳頻序列集S的最大時頻二維周期漢明自相關和最大時頻二維周期漢明互相關，分別記為Ha(S)和Hc(S)。 在不引起混淆的情況下記Pa(S)=Pa,Pc(S)=Pc。

引理1 設F為q階加法群頻率集合。S是由F上M個周期為N跳頻序列組成的集合，則跳頻序列集總的時頻二維周期漢明相關值

證明在文獻[6]的引理6中，取Z1=N-1,Z2=q-1即可以得到結論。證畢。

2 時頻二維部分漢明相關性的理論界

給定一個跳頻序列集S，對于任意窗長度L，0

引理2 設S是頻隙數為q，序列長度為N的M個跳頻序列組成的序列集S，Pa和Pc分別為跳頻序列集S的最大時頻二維部分漢明自相關和最大時頻二維部分漢明互相關，對于任意整數L，0

P(L)≤ML+M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc。

證明對于x,y∈S，由定義1知，

因此

ML+M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc，證畢。

引理3[11]對于任意正整數τ，τ=0,1,…,N-1,有

推論1 對于任意正整數t,τ,L,且t,τ=0,1,…,N-1,L=1,2,…,N,有

證明設

因為跳頻序列是周期為N的序列,所以bN+τ=bτ,bN+τ+1=bτ+1,…,bN+τ+L-2=bτ+L-2。 這樣有

又因為

證明對于任意i=1,2,…,M,τ=0,1,…,L-1,ω=0,1,…,q-1,t=0,1,…,N-1,L=1,2,…,N,因為

所以

由文獻[11]中引理3的證明可知

所以

證畢。

令函數

m(bk+τ+ω,fi)，

(3)

證明令

uk=m(bk,fi),vk=m(b(k)+ω,fi),

其中,k=t,t+1,…,t+L-1,0≤t≤N-1,則由式(3)得

引理5 設頻隙集合F={f0,f1,…,fq-1}，S是由F上M個周期為N的跳頻序列組成的集合，x∈S,y∈S，對于任意正整數t，L,0≤t≤N-1,1≤L≤N,則P(L)≥M2NL。

證明由推論3知

由推論1知

再應用引理4得

定理1 設頻隙集合F={f0,f1,…,fq-1}，S是由F上M個周期為N的跳頻序列組成的集合，Pa是最大時頻二維部分漢明自相關，Pc是最大時頻二維最大部分漢明互相關，則對于任意正整數t，L，0≤t≤N-1,1≤L≤N,有

(Nq-1)Pa+(M-1)NqPc≥MNL-L。

證明由引理2和引理5可得

M2NL≤P(L)≤ML+

M(Nq-1)Pa+M(M-1)NqPc,

則(Nq-1)Pa+(M-1)NqPc≥MNL-L，證畢。

3 平均時頻二維部分漢明相關理論界

設S是由Zq上M個周期為N的跳頻序列組成的集合，相關窗長度為L，起點為t，1≤L≤N,0≤t≤N-1,用

表示跳頻序列集S的總的時頻二維部分漢明自相關函數。用

表示跳頻序列集S的總的時頻二維部分漢明互相關函數。用

表示跳頻序列集S的平均時頻二維部分漢明自相關函數。用

表示跳頻序列集S的平均時頻二維部分漢明互相關函數。

定理2設S是由Zq上M個周期為N的跳頻序列組成的集合，相關窗長度為L，起點為t，1≤L≤N,0≤t≤N-1,則有

(4)

證明

Ra(S;L)+2Rc(S;L)=

由引理1知

則

Ra(S;L)+2Rc(S;L)≥N2M2L-MNL，

又因為

所以

使得定理2中不等式(4)成立的跳頻序列集S稱為最優平均時頻二維部分漢明相關性跳頻序列集。

4 低碰撞區跳頻序列集的平均時頻二維部分漢明相關性的理論界

用Hxy(τ,ω；t|L)替換文獻[6]定義2中的H(xy)(l,v)得到的區間[0,LHt]×[0,LHf]、[0,LAHt]×[0,LAHf]、[0,LCHt]×[0,LCHf]分別為跳頻序列集S的時頻二維部分漢明相關低碰撞區、時頻二維部分漢明自相關低碰撞區、時頻二維部分漢明互相關低碰撞區。 對于任意正整數Z1,Z2，0≤Z1≤LHt，0≤Z2≤LHf,用

表示低碰撞區跳頻序列集S的時頻二維總部分漢明自相關函數。 用

表示低碰撞區跳頻序列集S的時頻二維總部分漢明互相關函數。 用

表示低碰撞區跳頻序列集S的平均時頻二維部分漢明自相關函數。 用

表示低碰撞區跳頻序列集S的平均時頻二維部分漢明互相關函數。

(5)

證明對于0≤Z1≤LHt，0

由文獻[6]中引理6可知

即

所以

整理可以得出結論中的不等式，證畢。

推論3在定理3條件下，有

(6)

5 結論

將跳頻序列的一維部分漢明相關函數擴展到時頻二維部分漢明相關函數，在提出跳頻序列的時頻二維部分漢明自相關、時頻二維部分漢明互相關、平均時頻二維部分漢明自相關、平均時頻二維部分漢明互相關等概念基礎上，證明了跳頻序列集時頻二維部分漢明相關、平均時頻二維部分漢明相關滿足的理論界，證明了低碰撞區跳頻序列集平均時頻二維部分漢明相關滿足的理論界。