五點二重有理逼近細分算法

朱 洪，王 娟，李寶萍

（安徽三聯學院基礎部，安徽合肥230601）

近年來，在計算機輔助幾何設計或工業造型等領域，細分算法因具有處理簡單、易于實現等優點而得到了廣泛的應用，也基于此越來越多的專家和學者對其開展了廣泛的研究，如Hassan等給出了C2連續的四點細分插值算法[1]，Siddiqi等提出了一種具有C2連續的五點逼近細分算法[2]，Tan等提出動態的三點二重逼近細分法[3]。根據不同的初始控制參數運用細分算法，可產生很多靈活的C3連續曲線。Akram等討論了動態的插值四點細分法的保形性[4]；Siddiqi等分析了C2連續的六點三重插值算法，并對其保凸性進行了具體的研究[5]；Luo等基于逼近細分法去構造插值細分法[6]；而檀結慶等則是從插值細分中給出逼近細分算法，并生成C2連續的極限曲線[7]；Pan等把逼近插值兩種細分算法相互結合，從而產生C2連續的細分曲線[8]；王燕等分別給出了一類保凸的細分法以及含有兩個形狀控制參數的五點逼近細分算法[9-10]；劉秀平等通過建立細分算法有關的矩陣，給出了插值細分曲線中有理參數點的求值[11]。將細分和樣條這兩種理論相融合也是曲線曲面造型中研究的重要工作，駱巖林等討論了有理穩定細分方法，產生的曲線包括經常用的有理B-樣條曲線[12]；莊興龍給出含有一個參數的五點二重逼近細分算法，并對該算法的連續性進行了分析[13]?；谝陨涎芯?，將有理B-樣條曲線與逼近細分算法相結合，提出一種新的五點二重有理逼近細分算法，并在理論上證明該算法的一致收斂性和連續性，最后通過具體算例驗證該細分算法的可行性及靈活性。

1 預備知識

定理1[1]若二重細分法S一致收斂，則其掩模滿足定理2[1]設二重細分法S的掩模滿足定理1，則存在一個二重細分法S1，滿足其中。同理，記Sn（n階差分算法）的掩模為相應的生成多項式是

定理3[14]若二重細分法S的掩模和的掩模滿足而且存在正整數L有成立，則由二重細分法S生成的曲線是Cn連續的。特別是取時

2 五點二重有理逼近細分算法和連續性分析

根據定理2，S1的生成多項式為

則有

由定理3可知，五點二重有理逼近細分法一致收斂。

根據定理2，S2的生成多項式為

則有

由定理3知，五點二重有理逼近細分法C1連續。

證明 根據定理2，S3的生成多項式為

則有

根據定理3知，五點二重有理逼近細分法C2連續。又根據定理2，S4的生成多項式為

則有

根據定理3知，五點二重有理逼近細分法C3連續。

證明 根據定理2，S5和S6的生成多項式分別為

則有

根據定理3知，五點二重有理逼近細分法C5連續。

根據定理3知，五點二重有理逼近細分法C7連續。

3 數值算例

根據連續性分析知，對于同一初始控制多邊形，圖1所示是參數ω=[-3/5,-7/20,0,1/30]的極限曲線變化動態圖，它們分別為C1、C3、C5、C7連續。從圖中可以看出，當參數從小到大變化時，極限曲線體現出越來越高的光滑度，而且比較貼近初始控制多邊形，因此，這種有理逼近細分算法克服了傳統逼近細分本身對初始控制多邊形保持較弱的缺點。

當參數ω=-1/10時，對于同一控制多邊形，細分算法（1）不同細分次數所生成的極限曲線如圖2所示。在相同初始控制多邊形下，當參數分別取時，極限曲線都保持著C3連續，但是隨著參數取值的增大，極限曲線越來越靠攏初始控制多邊形，如圖3所示。比較細分算法（1）與文獻[9]、[13]的算法，發現與文獻[9]相比，在相同的連續性下，細分算法（1）的極限曲線更加接近控制多邊形；與文獻[13]相比，在相同的連續性下，細分算法（1）的參數取值范圍較大，因此，對極限曲線的調控更加靈活，如圖4所示。

圖1 極限曲線（虛線，初始控制多邊形；實線，極限曲線）

圖2 同一控制多邊形的細分動態圖

圖3 極限曲線動態圖ω=[-7/20,-1/4,-3/20,-1/10]

圖4 算法對比（虛線：初始控制多邊形；實線：極限曲線）

4 結束語

結合有理B樣條曲線在工業造型設計中的應用，本文提出了五點二重有理逼近細分算法，使得生成的極限曲線除了保持較高的連續性以外，還能非常地接近初始控制多邊形。未來工作將對該算法的保形性和多項式再生以及逼近階等性質進行研究，從而更好地用于工業造型設計。