負泊松比可變弧角曲邊內凹蜂窩結構的力學性能

沈建邦 肖俊華

燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室, 秦皇島, 066004

0 引言

負泊松比材料和結構受到軸向壓縮時會發生橫向收縮，或受到軸向拉伸時會發生橫向膨脹，EVANS等[1]將這一類具有負泊松比效應的材料和結構命名為auxetics(意為拉伸膨脹)，因此負泊松比材料又被稱為拉脹材料。國內外學者已對負泊松比材料和結構進行了廣泛和深入的研究，研究發現，負泊松比材料和結構壓痕阻力大[2]、抗沖擊性能好[3]、吸聲性能良好[4],且具有同向彎曲性能[5]和抗裂紋擴展性[6]等優良性能，被廣泛應用于汽車、航空、船舶等工業領域。典型的負泊松比材料和結構包括泡沫聚合物、蜂窩結構、聚丙烯纖維及某些晶體結構等[7]。本文所研究的負泊松比蜂窩結構不但具有質量小、比強度高、結構簡單和可設計性強等傳統蜂窩結構的優良性能[8]，還具有其他獨特的力學性能，近年來已成為一個新興的研究熱點。

LAKES[9]在實驗室制造出了第一個人工負泊松比材料。CHOI等[10]對材料負泊松比效應的產生機理、微觀結構形成方法和結構受外力作用時的變形情況進行了系統的研究。NKANSAH等[11]發現了聚四氯乙烯具有負泊松比特性。LAKES等[12]采用對傳統三維結構進行轉變的方法，指出了三維內凹單元的變形行為。YANG等[13]在微極彈性理論的基礎上，對一種二維三角蜂窩結構的幾何參數與泊松比之間的關系進行了研究。WAN等[14]基于大撓度理論對負泊松比內凹蜂窩結構的力學性能進行了研究。盧子興等[15]基于旋轉機制建立了一種具有負泊松比效應的、由部分內凹及部分規則六邊形組成的二維多胞材料力學模型。GASPAR[7]基于平均線應變假設和一階非均勻性對新型非常規負泊松比顆粒狀材料進行了研究。顏芳芳等[16]將柔性蜂窩結構應用于無人機外翼，探討了蜂窩結構各項參數的改變對蜂窩結構力學性能的影響，進而對無人機外翼的性能進行了優化。SUN等[17]提出了一種具有負泊松比子結構的多功能分層蜂窩結構，基于歐拉梁理論推導出了結構的彈性模量。郭磊[18]基于旋轉剛性單元模型建立了新型多尺寸剛性矩形單元組合模型。魯超等[19]利用柔性懸臂梁模型，給出了蜂窩壁板大變形條件下面內等效彈性模量的理論計算公式。金愛兵等[20]從微觀結構角度分析了巖體特殊的負泊松比效應，研究了具有負泊松比效應的晶體材料。LI等[21]設計了一種新型負泊松比空心骨架胞元結構，采用有限元法與實驗方法對結構進行了研究。蔣偉等[22]改進了傳統蜂窩材料的結構設計, 提出了一種環形負泊松比結構, 運用能量法推導出了環形蜂窩芯等效彈性模量公式，并采用有限元法對環形蜂窩芯結構進行了力學性能仿真。LU等[23]設計了一種在內凹蜂窩結構中增加一個窄肋的新型蜂窩結構。FU等[24]依據梁理論推導出了一種新型負泊松比手性三維材料的等效彈性模量和泊松比的解析解。

本文基于環形蜂窩結構[22]提出了一種具有負泊松比效應的可變弧角曲邊內凹蜂窩結構，該結構的曲邊內凹程度可以改變，當曲邊弧角為180°時即為環形蜂窩結構。利用能量法推導出了結構的等效彈性模量和等效泊松比的解析表達式，并與已有理論解和有限元結果進行了比較；討論了等效彈性模量和等效泊松比與結構幾何參數之間的關系。

1 結構建模

圖1為本文所提出的曲邊內凹蜂窩結構示意圖，其構思源于環形蜂窩結構[22]，所提結構的曲邊弧角θ可以改變。由圖1可知，胞元結構在面內呈中心對稱，豎直壁板長度為2h，兩豎直壁板間寬度為2l，曲邊圓弧半徑為r，彎曲壁板為圓的部分圓弧，其對應的曲邊弧角為θ，連接部分長度為m，壁板厚度為t，結構垂直于所在平面的厚度為d，當弧角θ取180°時，l=r。胞元受到橫向或縱向載荷作用時，結構會產生變形。當作用載荷較小時，壁板發生彈性變形，結構的彈性模量和泊松比等力學性能由胞元的參數確定；當作用載荷較大時，壁板發生塑性變形，此時結構的力學性能隨載荷大小變化。本文采用解析方法研究胞元內各幾何參數對結構宏觀等效力學性能的影響。

圖1 曲邊內凹蜂窩胞元結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of honeycomb cell structure with curved concave sides

2 變形分析

2.1 Y軸方向受載

根據文獻[22]的思路，本文對曲邊內凹蜂窩模型進行受力分析(圖2)。令胞元結構在上下胞元連接點處作用圖2a所示的豎直方向的對稱載荷FS，使得胞元內部各壁板產生拉伸、剪切和彎曲變形。本文研究的結構為梁架結構，結構中的拉伸應變能和剪切應變能相對于彎曲應變能很小，因此采用能量法求解結構各方向的位移變形時，只考慮結構的彎曲應變[22]。因不考慮拉伸應變能，故將胞元間的連接桿視為剛性桿，桿兩端的位移相等，可直接研究胞元主體。對稱載荷直接作用在E、F處，胞元結構為封閉梁結構。該力學問題為超靜定問題，且封閉梁結構關于中心對稱，因此可取結構的1/4部分進行研究，如圖2b所示，自由端受豎直載荷FS/2和未知彎矩M0的作用。

(a)整體胞元結構受載示意圖 (b)1/4結構的內力示意圖

(c)只作用F/2載荷時1/4結構 (d)只作用單位彎矩時1/4結構

(e)只作用水平單位力時1/4結構圖2 Y軸方向受載時的受力分析Fig.2 Force analysis under Y-axis load

因彎矩M0未知，故將其在下式中記作MR1，則自由端H處截面的轉角變形協調條件滿足：

δ11MR1+δ1F=0

(1)

式中,δ1F為僅作用載荷FN=FS/2時H所在截面的轉角，如圖2c所示；δ11為在H處作用單位彎矩時H所在截面的轉角,如圖2d所示。

(2)

(3)

Im=dt3/12

式中,Em為材料彈性模量;Im為截面對中性軸的慣性矩。

由式(1)可得

(4)

由式(4)可得

(5)

運用卡氏定理可求出在Y軸方向作用對稱載荷FS時，胞元結構在Y軸方向的位移變形ΔYY，即為結構應變能對Y軸方向作用力FS求偏導，其表達式如下:

(6)

(7)

2.2 X軸方向受載

如圖3所示，令結構只受X方向的水平對稱載荷FS作用，取其1/4結構研究，可分別求得在X軸和Y軸方向的位移變形，其表達式分別如下：

圖3 X軸方向受力時結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of structure under X-axis load

(8)

(9)

3 等效彈性模量與等效泊松比

依據Y軸受力時的位移變形公式(式(6)和式(7))，可求得Y軸方向的等效彈性模量和等效泊松比分別為

(10)

(11)

式中,εYY、εYX分別為Y方向受力時Y方向和X方向的應變；σY為Y方向應力。

同理可求得X軸方向的彈性模量和等效泊松比分別為

(12)

(13)

式中，εXX、εXY分別為X方向受力時X方向和Y方向的應變；σX為X方向應力。

4 結果分析與討論

4.1 本文解析解與已有理論解及有限元結果比較

本文所提出的可變弧角曲邊內凹蜂窩結構(圖1)，在弧角θ=180°時將退化為環形蜂窩結構[22]。有限元計算模型采用5×5陣列的周期胞元結構，如圖4所示，材料選取較為常見的鋁合金，彈性模量Em=71 GPa，密度ρ=2 770 kg/m3，泊松比ν=0.33。算例中厚度t取定值1 mm。設置位移約束條件如下：①約束與X軸平行的結構對稱中心線Y方向的位移,②約束與Y軸平行的對稱中心線X方向的位移,③約束整個結構Z方向的位移。分別作用X軸方向對稱載荷與Y軸方向對稱載荷，求得結構位移變形后，計算等效彈性模量。

圖4 有限元計算模型Fig.4 Finite element calculation model

選取與文獻[22]相同的幾何參數，圖5給出了環形蜂窩結構時的Y軸方向等效彈性模量EY的本文解析解、文獻[22]理論解以及有限元結果的比較曲線圖。從圖5中可以看出，本文解析解、文獻[22]理論解和有限元結果三者完全吻合，驗證了本文理論推導和解析結果的正確性,同時也表明了本文在采用能量法求解時忽略拉伸應變能和剪切應變能這一假設的合理性。

圖5 環形蜂窩結構時Y軸方向等效彈性模量與曲邊圓弧半徑的關系曲線Fig.5 The relationship between Y-axis equivalent elastic modulus and curved arc radius in circular honeycomb structure

4.2 弧角θ對等效彈性模量和等效泊松比的影響

當弧角θ取為任意角度時，尚無其他理論解答可以進行對比。為校驗本文理論推導和解析結果的有效性，在研究弧角變化對結構等效彈性模量和等效泊松比的影響時，同時給出了本文解析解和有限元結果。

(a)Y軸方向等效彈性模量

(b)X軸方向等效彈性模量圖6 等效彈性模量隨弧角的變化Fig.6 Variations of the equivalent elastic modulus with arc angles

(a)Y向受載時等效泊松比

(b)X向受載時等效泊松比圖7 等效泊松比隨弧角的變化Fig.7 Variations of the equivalent Poisson’s ratio with arc angles

4.3 結構各參數對等效泊松比的影響

利用所得理論公式研究結構中幾何參數對等效泊松比的影響規律。值得注意的是，不同弧角下的h和l中某一參數固定時，另一參數取值范圍有所限制，因此在各圖中不同曲線的橫坐標起止值不同。

(a)X向受載時等效泊松比

(b)Y向受載時等效泊松比圖8 等效泊松比隨豎直壁板半長的變化Fig.8 Variations of the equivalent Poisson’s ratio with half-length of vertical wall

(a)X向受載時等效泊松比

(b)Y向受載時等效泊松比圖9 等效泊松比隨兩豎直壁板間半寬的變化Fig.9 Variations of the equivalent Poisson’s ratio with half-width between two vertical walls

(a)X向受載時等效泊松比

(b)Y向受載時等效泊松比圖10 等效泊松比隨連接部分長度的變化Fig.10 Variations of the equivalent Poisson’s ratio with connected past lengths

由上述討論可知，改變結構參數時，結構的等效泊松比既能取正值也能取負值，不同方向的等效泊松比隨結構幾何參數的改變有較大差異。

5 結論