多星博弈攔截Nash和Pareto策略研究*

徐東宇 王淳寶 趙 碩 葉 東

1.哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱150001 2.中國空間技術研究院，北京100094 3.航天東方紅衛星有限公司，北京100094

隨著科技的發展，未來戰場態勢必將越來越復雜，而衛星作為空間力量的重要組成部分，在提供戰場信息時具有傳送信息量大、不受地形限制等優點[1]，為了奪取空間信息主動權，對敵方衛星實施攔截打擊有著重要意義。

針對攔截問題，文獻[2]基于滑模面進行了導彈的制導與控制一體化設計，仿真表明了采用所設計的控制方法能夠滿足攔截要求。馮[3]分析了視線角和視線角速度對動能攔截器末制導的影響，通過劃分參數域，給出了攔截域和突防域的分布，分析了參數對其影響。賴[4]考慮目標進行程序機動時的攔截策略，基于動態面和擴張狀態觀測器對制導與控制進行了設計，仿真分析了目標在進行正弦機動時，采用相應的控制策略能夠實現對目標的精確攔截。李[5]分別研究了攔截衛星的中制導和末制導方法，基于Lambert軌道轉移設計了中制導策略以接近衛星，完成交班后進入末制導過程，采用滑?？刂撇呗詫崿F精確攔截。雖然上述文獻對目標攔截問題均進行了研究，但并未考慮目標的機動性，且僅考慮單個攔截器。而隨著科技的發展，目標可以進行自主決策，采取相應的策略以應對不同的戰場態勢，此時攔截策略的設計需要考慮目標的最優機動性，傳統的單邊攔截策略已不再適用，此時為了實現可靠攔截，通常需要多顆攔截器，因此研究多攔截器的合作攔截策略有著重要的意義。

針對博弈攔截問題，學者們已經進行了充分的研究。文獻[6]中作者以小車模擬導彈攔截態勢，基于深度確定性策略梯度算法設計了追逃策略，該方法能夠實現對目標的有效攔截，具有較強的自適應性。Horie[7]等基于飛機三維動力學模型，通過微分對策理論將優化攔截問題轉化為兩點邊值問題，通過仿真得出，最優飛行軌跡分為偏離垂直平面以及垂直面內運動2個階段。當攔截器距離目標較近時，攔截過程進入末端攔截，針對航天器末端攔截問題，Prussing[8-9]等應用主矢量理論分別研究了多脈沖逃逸策略以及攔截策略。文獻[10]考慮航天器攔截目標后返回原軌道的情況，通過在目標函數中引入一個參數k對路徑進行約束。Gutman S[11]在雙積分動力學模型的基礎上，以終端相對距離為指標建立了攔截器與目標的控制策略，分別給出了在極坐標、球坐標下的策略形式。文獻[12-13]在給出攔截器與目標控制策略的基礎上，建立了關于攔截剩余時間的一元四次方程，以求解終端攔截時間，并討論了方程的分叉現象。文獻[14]考慮攔截過程中視線角測量存在噪聲的情況，通過狀態觀測器對其進行估計，再將其應用于控制策略。對于多星合作博弈問題，LIU[15]考慮2枚導彈攔截同一目標，在簡化的導彈動力學模型基礎上，通過Nash均衡集設計最優加速度方向，即最優制導率。文獻[16-17]中均以平面雙積分系統為模型，通過可達集設計合作攔截時的最優策略。文獻[18]中假設攔截器與目標速度不變，基于阿波羅尼圓設計初始速度方向角以實現最優攔截。

對于航天器末端攔截問題，雖然已經存在較多的研究，但大多局限于雙星博弈或簡化模型的多星博弈，與實際情況相差較大。針對多星博弈攔截問題進行研究，分別推導了各攔截器非合作的Nash反饋策略，以及合作的Pareto反饋策略。

文章安排如下：1)建立末端攔截動力學模型；2)以終端零控脫靶量為指標推導了各攔截器非合作態勢的Nash均衡解；3)推導了各攔截器以合作方式態勢進行攔截的Pareto均衡解；4)將博弈策略應用于多星博弈攔截，并進行了仿真分析。

1 末端攔截動力學模型

末端攔截過程中，攔截器與目標距離較近，因此在攔截器附近建立參考衛星，如圖1，其中O為地心；O1為參考衛星；P為攔截器。設參考衛星運行在圓軌道，則在軌道坐標系下，攔截器相對參考衛星的動力學方程可簡化為CW方程

(1)

式中：x,y和z為攔截器相對參考衛星的位置；ω為參考衛星的軌道角速度；ux,uy,uz分別為攔截器的控制輸入。

圖1 攔截器與參考衛星

(2)

由線性系統理論可得狀態轉移矩陣為

(3)

其中，子矩陣分別為[19]

設末端攔截段存在N個攔截器P1,…,PN與目標，其動力學均滿足CW方程，即

(4)

分別定義攔截器P1,…,PN與目標的相對狀態

XPiE=XPi-XEi=1,…,N

對其求導并將式(4)代入，可得相對狀態方程

(5)

在多星攔截過程中，攔截器與目標圍繞攔截終端距離展開爭奪，因此僅需考慮星間的位置矢量[20]。分別定義攔截器P1, …, 攔截器PN與目標的零控脫靶量，對系統進行降維

ZPiE(t)=DΦ(tfi,t)XPiE其中，i=1,…,N

(6)

對式(6)求導，并結合可得

(7)

式中：BPi=DΦ(tfi,t)B=Φ12(tfi,t)；CEi=-DΦ(tfi,t)C=-Φ12(tfi,t)。

對于多星博弈問題，根據各航天器是否合作攔截，將其分為Nash均衡策略和Pareto均衡策略。

2Nash博弈策略設計

(8)

對于航天器攔截問題，要求在有限時間內使目標進入某一攔截器的攔截范圍，因此各攔截器的指標函數定義為其與目標的終端零控脫靶量范數。

根據Nash均衡定義，分別定義攔截器Pi(i=1,…,N)和目標的指標函數如下

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中：ki(i=1,…,N)代表了目標對各攔截器的博弈程度：

若ki>kj(j={1,…,N}i), 則目標主要與攔截器Pi進行博弈，即主要躲避Pi；

若ki

若ki=kj(j={1,…,N}i), 則目標進行無差博弈，即同等程度躲避攔截器Pi和Pj。

3Pareto博弈策略設計

通過Nash反饋策略，各航天器雖然可以達到均衡態，但由于并非合作關系，攔截系統可能并未達到最優狀態，因此對于多星博弈問題，設各攔截器采取合作策略，使系統達到Pareto均衡。

(14)

對于Pareto均衡，攔截器的優化指標為式(9)的凸組合，即

(15)

(16)

其中，ki(i=1,…,N)定義與第2節相同

(17)

(18)

類似地，目標的控制策略UE仍為

(19)

通過比較Nash反饋策略式(12-13)和Pareto反饋策略式(18-19)可知，攔截器無論采取合作或非合作攔截方式，其博弈策略均相同，即各攔截器采取非合作方式，即可達到合作攔截的目的。

4 仿真結果及分析

由于合作與非合作策略相同，因此只對合作態勢下的多星博弈攔截問題進行仿真。

考慮2顆攔截器進行仿真，初始條件如下：假設攔截器P1和P2及目標均在地球同步軌道附近運動，則將參考衛星選為GEO軌道上與其相近的衛星，軌道角速度為ω=7.2722×10-5rad/s。攔截器P1初始位置為[-2;0;1]km，初始速度為[0;-0.005;0.005]km/s；攔截器P2的初始位置為[1;1;0]km，初始速度為[0.01;0;0.005]km/s；目標的初始位置為[0;0;0]km，初始速度為[0;0.005;0]km/s。設攔截器P1的推力幅值為ρP1=0.686m/s2，攔截器P2的推力幅值為ρP2=3/2ρP1m/s2，目標的推力幅值為ρE=1/2ρP1m/s2。此外，設攔截器的攔截半徑l=0.01km。

1) 合作博弈態勢。設終端攔截時間tf=100s，且目標的綜合權重為k1=0.5,k2=0.5。

圖 2給出了各航天器的運動軌跡，圖3繪制了博弈過程中各攔截器與目標之間相對距離的變化情況?？梢钥闯?，在100s時，攔截器P1和P2與目標的相對距離均達到了0，滿足攔截要求，即實現了對目標的攔截。

圖2 多星博弈的三維運動軌跡

圖3 多星博弈的相對距離變化

2)目標綜合權重對攔截的影響。設終端攔截時間tf=100s，目標綜合權重為k1=0.8,k2=0.2，此時目標主要躲避攔截器P1。

圖4和5分別給出了三星的運動軌跡，以及相對距離的變化情況?？梢钥闯?，由于目標主要對推力幅值較大的攔截器P1進行躲避，導致在100s的終端時間條件下，攔截任務失敗，此時只能通過延長攔截時間實現對目標的攔截。

圖4 多星博弈的三維運動軌跡

圖5 多星博弈的相對距離變化

5 結論

針對多星博弈末端攔截問題，分別考慮了多攔截器非合作與合作態勢下的攔截策略，基于Nash均衡建立了非合作博弈策略，基于Pareto均衡建立了合作博弈策略。通過比較，2種態勢下各攔截器策略相同。最后，仿真驗證了采用提出的博弈策略，攔截器可以實現對目標的攔截，且不同的綜合權重將導致不同的攔截結果。