一種灰色SVR珩磨尺寸組合預測模型

高遠，寧會峰，程金祥

(1.蘭州理工大學機電工程學院,甘肅蘭州730050；2.中原內配集團股份有限公司,河南焦作454750)

0 引言

珩磨是一種精加工方法，對其尺寸序列進行預測并進行自適應補償具有重要意義[1]。傳統預測方法如指數平滑法(Exponential smoothing,ES)、自回歸積分滑動平均模型(Autoregressive integrated moving average model, ARIMA)存在非線性處理能力差，預測誤差大的缺點[2，3]。智能預測方法如人工神經網絡 (Artificial neural network,ANN)，存在建模樣本多、耗時長、小樣本泛化能力差等缺點[4]。

GM(1,1) 灰色預測模型以小樣本、貧信息的不確定系統為建模對象，建模方便，應用廣泛[5，6]。但是GM(1,1) 采用近似替代法進行參數估計和預測方程求解，在一定程度上影響了其預測精度。SVR 是一種建立在統計學習理論基礎上的小樣本機器學習方法，具有很強的非線性系統處理能力，廣泛應用于各個領域[7，8]。但是SVR 模型參數的選擇對其預測精度的影響很大，一般采用群智能算法進行優化[9]。

本文提出了結合GM (1,1) 和SVR 優點的GSVR 組合預測模型。首先，利用累積法改進的GM(1,1)(Accumulation GM(1,1),AGM(1,1))模型進行等維遞補預測，得到等維遞補AGM(1,1) 模型(Equal -dimensional complement AGM (1,1),ECAGM(1,1))；其次，利用灰狼優化算法(grey wolf optimizer,GWO)對SVR 參數進行優化，得到灰狼優化支持向量回歸機 (Support vector regression with grey-wolf optimization algorithm,SVRGWO)并對ECAGM(1,1)模型殘差進行預測；最后，利用SVRGWO 殘差預測值對ECAGM(1,1)模型預測值進行修正，得到灰色支持向量回歸機模型(Grey support vector regression,GSVR)，并將其應用于柱塞套內圓珩磨尺寸的預測。

1 ECAGM(1,1)模型

1.1 GM(1,1)模型

設原始非負時間序列：x（0）（k），k＝1，2，L，n,其一階累加生成序列為:

令x（1）（i）在[i-1，i]區間上的背景值序列為:

得GM(1,1)模型的基本方程：

其中，a 為發展系數，b 為灰作用量。

GM(1,1)模型對應的白化微分方程為：

對GM (1,1) 模型參數進行最小二乘法估計得：

取初值為x（0）（1），得GM(1,1)的白化響應預測值：

1.2 AGM(1,1)模型

累積法直接基于樣本數據估計參數，屬于線性無偏最小方差估計，利用累積法對參數a、b 進行估計可消除最小二乘假設所產生的估計誤差。對式(3)兩邊實施1 至2 階累積和得：

則模型參數估計值為：

GM(1,1)模型預測公式由其白化方程而不是基本方程得來，存在結構性誤差，經推導可得AGM(1,1)模型的基本預測公式[10]：

1.3 ECAGM(1,1)模型

為了使AGM(1,1)模型能及時捕捉數據的變化趨勢，將最新預測數據實時補充到建模數據中，進行動態等維遞補預測，具體步驟如下：

(1) 確定AGM(1,1)建模維數m，利用第1 至m 個原始數據進行AGM(1,1)建模并預測第m+1個數據，得其預測值（m+1）。

(3)重復步驟(2)，直至完成要求的所有預測。

2 SVRGWO 模型

2.1 SVR 模型

SVR 的基本思想是基于結構風險最小化的原則，通過非線性映射φ（x）將輸入空間的非線性原始樣本數據映射到高維特征空間中進行線性回歸估計，其回歸方程為：

引入ε——不敏感度損失函數來定義擬合精度：

從而得經驗風險方程：

考慮到擬合誤差，引入松弛因子ξi≥0、ξ*i≥0，并引入懲罰因子C＞0 懲罰擬合誤差，標準ε-SVR 可表示為：

引入核函數k（xi，xj）＝〈φ（xi），φ（xj）〉，采用對偶原理求解式(14)，得式(11)中的參數向量w：

其中，βi、為Lagrange 常數。

從而得SVR 回歸方程：

核函數用低維空間的直接運算代替高維空間的內積運算，決定著SVR 的性能，本文選取徑向基核函數，其表達式如下：

其中σ 為徑向帶寬。

2.2 GWO 算法

GWO 算法是一種基于迭代模式的群智能優化算法[11]，該算法從已知數量的具有隨機位置的灰狼開始求解問題。假設d 維搜索空間中包含N個個體，第i 個個體的位置Xi為：

包圍獵物過程建模如下所示：

t 表示當前迭代次數，Xp表示獵物位置，X 表示某個灰狼位置，A 和C 表示系數向量，計算公式是：

其中a 的分量在迭代過程中從2 線性減少到0，而r1、r2表示取值范圍為[0,1]的隨機向量。

假設α、β 和γ 分別為目前為止獲得的前三個最佳個體，并強制其他個體ω 根據最佳個體的位置更新其位置?；依堑尼鳙C過程建模如下：

2.3 SVRGWO 實施步驟

利用GWO 優化算法對SVR 的參數（C，ε，σ）進行優化，并用SVR 模型進行預測，具體步驟如下：

(1)初始化運行參數。

確定種群規模N，設置最大迭代次數tmax或適應度誤差限eps 和搜索范圍。

(2)適應度評價。

以負平均絕對百分比誤差值作為種群中每個個體的適應度值fiti（t）：

式中，yi與fi分別表示實際值與預測值，n 為預測數目。

(3)最優更新。

根據適應度值大小，確定前三個最佳個體的歷史最優位置Xα,Xβ和Xγ。

(4)個體位置更新。

利用式(23)更新個體位置，得X(t+1)。

(5)重復步驟(2)～(4)。

(6)判斷是否滿足停止條件。若達到最大迭代次數或要求精度，輸出全局最優解Xbest；否則，返回步驟(2)。

3 GSVR 組合預測模型

將ECAGM(1,1)模型與SVRGWO 模型相結合，用SVRGWO 模型對ECAGM(1,1)模型的預測殘差進行修正，得到GSVR 模型，具體步驟如下：

(1)ECAGM(1,1)模型預測

利用ECAGM(1,1)模型，得預測序列x（0）（i），i＝1，2，L，n。

(2)計算殘差序列

(3)SVRGWO 模型預測殘差序列

以e（0）（i），i＝1，2，L，l 為SVRGWO 建模數據，劃分訓練集和驗證集，利用SVRGWO 模型預測殘差（i），i＝l+1，l+2，L，n

(4)殘差修正

4 實例驗證

4.1 珩磨尺寸數據

以文獻[12]中的柱塞套內徑珩磨尺寸原始數據為實測值進行建模與預測，對GM(1,1)、AGM(1,1)、ECAGM(1,1)和GSVR 模型的預測性能進行比較。實際值如表1所示。確定GM(1,1)建模維數m＝15。將原始數據劃分為兩部分，前20 組數據用于建模與擬合，后4 組數據用于測試，即l＝20。

表1 原始數據

4.2 珩磨尺寸預報

4.2.1 ECAGM(1,1)珩磨尺寸預報

利用累積法求得灰色模型參數a＝0.057, b＝24.2878。對實測數據進行預測，得ECAGM(1,1)預測序列（1）～（20）和（21）～（24），分別如表2和表3所示。

表2 ECAGM(1,1)預測值（1-20）

表3 預測值（21-24）

4.2.2 SVRGWO 殘差預測

根據上述方法，計算得到ECAGM(1,1)模型預測殘差序列劃分ECAGM(1,1)模型殘差序列e（0）（1）～e（0）（16）為訓練集，e（0）（17）～e（0）（20）為驗證集，利用GWO算法求得SVR 最優參數 （Cbest，εbest，σbest）＝（20.587，0.0015，0.0375），并在最優參數下訓練建立SVRGWO 模型，殘差預測序列（20）～（24），如表4所示。

表4 殘差預測值

4.2.3 GSVR 組合預測

4.3 預測結果分析

為比較GSVR 模型的預測性能，在同等條件下利用表1數據進行GM(1,1)和AGM(1,1)預測，預測值如表3所示。為評價GM(1,1)、AGM(1,1)、ECAGM(1,1)和GSVR 模型的預測精度，對其預測結果進行均方根誤差 (Root mean square error,RMSE) 和平均絕對百分比誤差 (Mean absolute percentage error, MAPE) 統計分析，RMSE 和MAPE 值如表5所示。將GSVR 模型預測值、RMSE 和MAPE 值分別與GM (1,1)、AGM(1,1)、ECAGM (1,1) 三種預測模型的預測值、RMSE 和MAPE 值進行比較，圖1為四種方法的預測曲線對比圖。

由圖1可以看出，與GM(1,1)、AGM(1,1)和ECAGM(1,1)三種模型相比，GSVR 模型與原始數據最接近。

由表5可以看出，與GM(1,1)、AGM(1,1)和ECAGM(1,1)三種模型相比，GSVR 模型的RMSE和MAPE 值最小，其值為0.2826 和4.73%，RMSE 值分別降低了76.61%、73.76%和58.73%，MAPE 值分別降低了76.87%、74.05%和58.73%。圖1和表5表明，GSVR 模型對珩磨尺寸的預測精度明顯優于GM(1,1)、AGM(1,1)和ECAGM(1,1)模型。

表5 預測結果統計分析

圖1 預測曲線對比

5 結論

通過對灰色GM(1,1)模型進行改進并與SVR模型進行組合，以珩磨尺寸預測進行實例驗證，得出以下結論：

(1)ECAGM(1,1)模型充分利用了最新數據信息，提高了GM(1,1)模型的預測精度。

(2)SVRPSO 模型能夠有效地預測ECAGM(1,1)模型的殘差。

(3)GSVR 組合預測模型修正了ECAGM(1,1)模型的預測殘差，提高了預測精度，具有工程應用價值。