改進的車輛振動響應均方根值計算公式及其工程應用*

于曰偉，趙雷雷，周長城

（山東理工大學交通與車輛工程學院，淄博 255000）

前言

在眾多分析方法中，解析法因其可以直觀地展現出量與量之間的對應關系，同時可使設計人員快速有效地對工程選擇做出合理的判斷，因此，在車輛工程研究領域受到了研究者的青睞［1-2］，開展了大量研究。其中，在車輛振動響應解析求解方面，很多文獻基于1/4車輛模型，以白噪聲路面譜作為車輛系統的路面輸入模型，推導得到了車身垂直振動加速度、懸架動撓度和車輪動載荷均方根值計算公式，并將其成功應用于諸多工程實踐中［3-11］。然而以1/ω2的形式出現的白噪聲路面譜與實際路面相比，在低頻部分存在高估現象，致使計算得到的高速行駛狀態下的車輛振動響應結果與實際偏差較大。

針對以上問題，在前人工作基礎上，用更加貼近于路面實際的以1/（ω2+ω02）形式出現的濾波白噪聲路面譜作為車輛系統的路面輸入模型，對車輛振動響應均方根值的計算公式進行重新推導。作為現有眾多研究的延伸和補充，該研究將能更為完善地為車輛行駛振動響應的估計、路面等級的預測和車輛初始設計時懸架系統阻尼比的估算提供有效的技術保障。

1 1/4車輛模型

1.1 車輛行駛振動模型

為簡化模型建立，同時便于結果分析，利于工程應用，在車輛振動響應解析求解中，通常將整個車輛懸架系統簡化為單輪線性2自由度系統模型［1-2］進行研究，如圖 1所示。

圖1 車輛行駛振動模型

圖中：m2，m1分別為單輪簧上、簧下質量；K2，Kt分別為懸架和輪胎剛度；C2為懸架阻尼；z1，z2分別為車輪和車身的垂直位移；q為路面不平度輸入。

根據牛頓第二定律，可得圖1所示模型的振動微分方程為

為使所討論的物理量具有推廣價值，引入以下輔助變量：

式中：rk為剛度比；rm為質量比；ω2為車身固有圓頻率；ξ2為懸架系統阻尼比。

因此，式（1）可變換為

將式（2）進行傅氏變換，并通過相應數學推演，可分別求得車身垂直振動加速度·z·、懸架動撓度f和車輪動載荷Fd相對路面位移輸入q的頻率響應函數為

式中：j為虛數單位；ω為路面不平度激擾圓頻率。

1.2 隨機路面輸入模型

國際標準化組織推薦采用路面功率譜密度來描述路面不平度的統計特性，通常在車輛振動響應理論分析中，普遍采用以圓頻率ω表示的白噪聲路面譜［2］：

式中：n0為參考空間頻率，n0=0.1 m-1；Gq（n0）為參考空間頻率n0下的路面功率譜密度，即路面不平度系數；v為車輛行駛速度。

由式（6）可知，當ω趨向于0時，路面輸入振幅將趨向于無窮大，而實際路面并非如此。因此，為更真實地反映路面譜在低頻范圍內的不平度情況，通常在式（6）所示的白噪聲路面譜中引入一個下截止頻率ω0，這樣當頻率低于ω0時，可以使路面譜密度幅值保持恒定，由此，可將路面輸入模型表述為濾波白噪聲路面譜形式［12］，即

式中 ω0=2πvn00，n00為空間下截止頻率，n00=0.011 m-1。

例如，根據式（6）和式（7），所得到的車輛行駛速度v=72 km/h時的路面功率譜曲線如圖2所示。由圖2可以看出：在雙對數坐標下，白噪聲路面譜是一條斜率為-2∶1的直線，而濾波白噪聲路面譜則近似于由斜率分別為-2∶1和0∶1兩段折線組成，兩者之間圓滑過渡；與濾波白噪聲路面譜相比，白噪聲路面譜在低頻部分對路面不平度存在高估現象。

圖2 雙對數坐標下的路面功率譜密度曲線

2 車輛振動響應均方根值的解析求解

盡管利用動力學仿真分析軟件能很好地模擬車輛的實際行駛狀態，但對現象的深入理解仍然需依賴簡單的數學模型，且在工程實踐中，為便于對車輛行駛振動響應進行估計、對路面等級進行預測和在車輛設計初始階段對懸架系統阻尼比進行估算，通常需將車輛的振動響應用簡單的公式加以描述。本文中以更加貼近于路面實際的濾波白噪聲路面譜作為車輛系統的路面輸入模型，對基于1/4車輛模型的車輛振動響應均方根值的計算公式進行推導。

2.1 傳統振動響應均方根值計算公式

根據式（6）所示的白噪聲路面譜，可知目前常用的傳統車身垂直振動加速度、懸架動撓度和車輪動載荷響應均方根植計算公式［8-9］分別為

2.2 改進的振動響應均方根值計算公式

上已述及，式（7）所示的濾波白噪聲路面譜更加接近于實際路面，因此被廣泛應用于車輛動力學仿真分析［13］，但模型的復雜性致使目前一直尚未給出該激勵模型下的車輛振動響應均方根值計算公式。下面運用隨機振動理論和復變函數積分求解方法，對該路面譜下的車輛振動響應進行求解。

根據車輛隨機振動理論，可知在路面隨機激勵Gq（ω）作用下，某一線性系統的響應均方值為

式中：x表示系統響應量；H（jω）x～q為系統的頻率響應函數。

對于線性系統，由于其幅頻特性存在以下關系：

因此，根據式（3）～式（5），可將其幅頻特性表示為以下形式：

式中 M（jω），D（jω）分別為式（3）～式（5）的分子項和分母項。

此外，式（7）可以改寫為下列形式：

因此，將式（13）和式（14）代入式（11），利用復變函數積分求解方法［14］，可分別求解得到濾波白噪聲路面譜模型下的車輛車身垂直振動加速度、懸架動撓度和車輪動載荷響應均方根值計算公式，即

其中：

2.3 不同解析計算公式對車身振動加速度響應譜的影響及其試驗驗證

為對所建立的濾波白噪聲路面譜作用下的車輛振動響應均方根值計算公式的正確性進行驗證，以某轎車為分析實例，對其進行了實車行駛平順性試驗，如圖3所示。所得到的不同解析計算公式下的車身振動加速度響應譜及其與試驗測試值的對比結果見圖4。試驗時利用加速度傳感器測量獲得駕駛員座椅地板處的車身垂直振動加速度，采樣頻率為500 Hz，采樣時間為100 s，車輛處于滿載狀態，路面等級為 B級，試驗車速為40～100 km·h-1。已知該轎車的1/4車輛參數為：質量比rm=12.1，剛度比 rk=8.2，車身固有圓頻率 ω2=6.3 rad·s-1，懸架阻尼比 ξ2=0.20，輪胎剛度 Kt=139 000 N·m-1。由于不同車速下的車身加速度響應變化規律一致，圖4中僅給出了40，60，80和100 km·h-1時的對比結果。

圖3 實車行駛平順性試驗

由圖4可見：在0.1～2 Hz范圍內，利用傳統計算公式得到的車身振動加速度響應譜顯著大于試驗測試結果，利用改進計算公式得到的計算結果比較接近于試驗測試結果；在2～100 Hz范圍內，兩種計算方法所得到的車身振動加速度響應譜與試驗測試結果均具有較好的一致性?？芍?，改進計算公式較之傳統計算公式更加精確。表1給出了利用兩種振動響應均方根值計算公式和實車試驗得到的該試驗車輛的車身垂直振動加速度均方根值計算結果。

圖4 車身垂直振動加速度功率譜密度對比結果

由表1可以看出，兩種不同計算公式所得到的車身垂直振動加速度均方根值在低速情況下相近，在高速情況下相差較大。此外，利用傳統計算公式所得到的車身垂直振動加速度均方根值與試驗測試結果的最大偏差為9.67%，而改進公式下的最大偏差僅為8.84%。結果表明，與傳統計算公式相比，改進的車輛振動響應均方根值計算公式更能有效反映車輛的實際振動特征。

表1 車身垂直振動加速度均方根值計算結果

3 兩種均方根值計算公式的對比分析

為有效分析傳統車輛振動響應均方根值計算公式及改進的計算公式之間的差異，從而更為完善地為車輛行駛振動響應的估計、路面等級的預測和車輛初始設計時懸架系統阻尼比的估算提供有效的技術保障，以上述第2.3節中所示的某轎車為例，對兩種不同計算公式下的車輛振動響應求解結果進行對比分析。

圖5給出了根據兩種不同計算公式所得到的車身垂直振動加速度均方根值、懸架動撓度均方根值和車輪動載荷均方根值隨車速變化的曲線。

由圖5可見，在一定路面工況下，兩種計算公式下的車身垂直振動加速度均方根值及車輪動載荷均方根值均隨著車速的增大逐漸增大。路況越差，兩種計算公式之間的差異越大，但在低速情況下，兩種計算公式所得到的分析結果基本一致。此外，在一定路面工況下，傳統計算公式下的懸架動撓度均方根值隨著車速的增大逐漸增大，而改進公式下的懸架動撓度值逐漸趨于穩定，且路況越差，兩種計算公式之間的差異越大，但兩者在低速情況下的響應情況基本一致。

綜上分析可知，當車輛高速行駛時，根據傳統計算公式得到的車輛振動響應均方根值大于改進計算公式，且路況越差，兩者之間的差異越大，即傳統車輛振動響應均方根值計算公式對車輛行駛姿態存在高估現象。

圖5 不同計算公式下的車輛振動響應均方根值變化曲線

4 工程應用

改進的車輛振動響應均方根值計算公式，作為傳統計算公式的延伸和補充，在車輛系統動力學及其相關問題研究領域中，具有廣闊的應用前景。應用該計算公式，既可對車輛行駛振動響應進行估計，也可對路面等級進行預測，同時還能在車輛設計初始階段對懸架系統阻尼比進行估算。

4.1 車輛行駛振動響應的估計

利用改進的車輛振動響應計算公式，可實現對車輛垂直振動特性的快速估計，同時，有助于技術人員在車輛振動測試數據采集過程中對測量結果的正確性進行判斷。例如，上述2.3節中所示的轎車以車速72 km·h-1分別在A，B，C和D級路面上行駛，所得到的車輛行駛振動響應估計結果如表2所示。

表2 車輛行駛振動響應估計結果

4.2 路面等級的預測

上述分析可知，利用所建立的車輛振動響應均方根值計算公式可得到不同路面與車速條件下的車輛振動響應均方根值。由此可知，若已知車輛振動響應情況及車輛行駛速度，則可反求得到此時車輛所行駛的路面等級?；诖?，考慮到實際工程應用的實用性和便捷性，下面介紹一種以車身垂直振動加速度信號作為判斷依據的路面等級預測方法。

根據式（15），可得基于車身垂直振動加速度均方根值的路面等級預測公式為

由此，根據式（18），利用根據實測車身垂直振動加速度信號處理得到的均方根值及獲取的車輛行駛速度，即可得到車輛當前的路面行駛等級。其中，路面等級劃分情況［15］如表3所示。

表3 路面不平度分級標準

例如，第2.3節中所示的轎車，若其行駛速度為85 km·h-1，車身垂直振動加速度均方根值為0.50 m·s-2，則根據式（18）可知，Gq（n0）=74.04×10-6m3，由此根據表3可知，該車輛的當前行駛路面等級為B級。需要說明的是，為了防止測量得到的加速度信號出現信號混疊現象，在對信號進行處理前，須先進行低通濾波處理。

4.3 懸架系統阻尼比的估算

懸架系統阻尼對車輛的乘坐舒適性和行駛安全性均具有十分重要的影響［2，16］。因此在設計懸架系統阻尼比時通常需要綜合考慮車身振動加速度、懸架動撓度和車輪動載荷3個性能指標，從而使車輛性能與懸架系統參數達到最佳匹配。根據建立的車輛振動響應均方根值計算公式繪制得到的上述第2.3節中所示轎車在不同頻率、阻尼參數下的車輛振動響應均方根值變化曲線，如圖6所示。其中，車速v=80 km·h-1，頻率f2與圓頻率ω2的關系為f2=ω2/（2π）。

由圖6可以看出，在一定固有頻率f2條件下，阻尼比值ξ2過小，將導致懸架動撓度過大，不利于車輛運行。隨著阻尼比ξ2的增大，懸架動撓度逐漸減小，而車身垂直振動加速度和車輪動載荷先減小后增大，即兩者分別存在最小極值點。當采用試驗車輛實際頻率值即 f2=0.8～1.2 Hz時，在（0.20～0.40）范圍內選取阻尼比值ξ2，可使車身垂直振動加速度、懸架動撓度、車輪動載荷三者同時達到低值的折中效果。由此可知，在車輛設計初始階段可根據設計者對車輛性能的傾向，利用所建立的車輛振動響應均方根值計算公式選擇合適的懸架系統阻尼比值。

此外，由于分別存在使車身垂直振動加速度和車輪動載荷均方根值最小的阻尼比值，因此，為使所建立的車輛振動響應均方根值計算公式對懸架系統阻尼比的初始設計更具工程指導意義，可分別令式（15）和式（17）關于阻尼比 ξ2的偏導數等于零，從而求解得到其關于ξ2的正實數根，進而可得到阻尼比值的可行性設計區間［ξl，ξu］，其中，下限 ξl和上限ξu分別為利用式（15）和式（17）求解得到的車身垂直振動加速度均方根值和車輪動載荷均方根值取最小值時的懸架系統的最佳阻尼比。以上述第2.3節中所示的轎車為例，所得到的該車輛在80 km·h-1設計速度下的懸架系統阻尼比可行性設計區間為ξ2∈［0.177，0.372］。其中，不同頻率下的阻尼比可行性設計區間隨車速變化的曲線如圖7所示。由圖可見，在一定固有頻率f2下，阻尼比可行性設計區間的上、下限均隨著車輛行駛速度的增加而減小，因此，在選取阻尼比設計值時，應綜合考慮車輛設計速度的影響。

圖6 不同頻率、阻尼參數下的車輛振動響應均方根值變化曲線

5 結論

圖7 不同頻率下的阻尼比可行性設計區間隨車速變化的曲線

以更加貼近于路面實際的濾波白噪聲路面譜作為車輛系統的路面輸入模型，運用隨機振動理論及復變函數積分求解方法，推導得到了1/4車輛的車身垂直振動加速度、懸架動撓度和車輪動載荷均方根值計算公式，并利用實車試驗，對公式的正確性進行了驗證。其次，將推導得到的計算公式與傳統白噪聲路面譜輸入模型下的計算公式進行對比分析。結果表明，所建立的計算公式能更加真實地反映車輛的實際振動情況，而傳統計算模型對高速運行狀態下的車輛姿態存在高估現象。最后，對所建立的計算公式的工程應用前景進行了詳細介紹，即可有效應用于車輛行駛振動響應的估計、路面等級的預測和車輛初始設計時懸架系統阻尼比的估算中。

盡管本文所建立的車輛振動響應均方根值計算公式是基于1/4車輛簡化模型得到的，但可方便設計人員定性了解車輛垂向動力學特性與結構參數之間的關系，從而快速有效地對工程實踐做出合理的判斷和選擇，同時，還可大大簡化在設計初期由于眾多參數未知而帶來的諸多分析求解的不便。