微分中值命題一般證法的改進

張萸 李德新

【摘要】本文給出證明微分中值命題時構造輔助多項式的一般公式，構造“等值多項式”并加以應用.

【關鍵詞】等值多項式法;微分中值問題

【基金項目】福建農林大學本科教學改革研究項目（111418150），福建農林大學公共數學教學團隊建設（111416037），福建農林大學高等數學教學團隊建設（111416007）.武漢紡織大學研究生教育教學項目（編號201901004、201901008）.

一、引言

古典的微分中值定理通常包括Rolle中值定理、Lagrange中值定理、柯西中值定理和泰勒定理等.它們在理論上和實際應用中都極為重要，而相關命題的證明技巧性極強，因此，成了一個熱門的課題[1].在證明過程中，如何巧妙地構造輔助函數，應用哪個中值定理，常常困擾我們.文[2]中提出構造輔助多項式方法，可以將所有問題歸結于Rolle中值定理證明，并給出了低階的多項式系數.文[3]中，雖然提出了一般通式，但是局限在區間端點處.本文中提出一個更加簡單的形式，利用構造的“等值多項式”，來解決f（n）（ξ）=k（常數）這一類復雜的證明.

二、等值多項式的構造

定義1任給定義在[a，b]的函數f（x），存在n階多項式.

Pn（x）=cnxn+…+c1x+c0.

若Pn（x）與f（x）的n+1個數值相等，其中，該數值可以是函數值或任意非n階的導數值，我們稱其為等值多項式.

引理1若存在等值多項式

P（x）=∑mi=0f（i）（x0）i?。▁-x0）i+∑n-1i=m+1cii?。▁-x0）i+kn?。▁-x0）n，則P（n）（ξ）=k.

證明P（n）（x）=kn！·n！=k，故P（n）（ξ）=k.

引理2若多項式P（x）與f（x）存在n+1個函數等值點，則至少存在n+1-k個k階導數的等值點（其中，k=0，…，n-1）.

證明設F（x）=P（x）-f（x），不妨設n+1個函數等值點為x0i（i=0，1，…，n）.

在（x00，x01）上，F（x）滿足羅爾中值定理，故x10∈（x00，x01），使得F′（x10）=0….

同理，在（x0，n-1，x0，n）上，x1，n-1∈（x0，n-1，x0，n），使得F′（x1，n-1）=0.

于是，得到n個一階導數的等值點x1i（i=0，1，…，n-1）.

在（x1i，x1，i+1）上，利用羅爾中值定理，可以得到類似的n-1個2階導數的等值點x2i（其中，i=0，1，…，n-2）.

依次類推，反復利用羅爾中值定理，可以得到n+1-k個k階導數的等值點xk，i（其中，i=0，1，…，n-k）.

引理3若多項式P（x）與f（x）至少存在n+1-k個k階導數的等值點，且F（x）=P（x）-f（x），則至少存在一個點ξ，使得F（n）（ξ）=0.

證明由引理2，當k=n-1時，則至少存在2個n-1階導數的等值點xn-1，i（其中，i=0，1），即F（n-1）（xn-1，0）=F（n-1）（xn-1，1）.

在（xn-1，0，xn-1，1）上，F（n-1）（x）滿足羅爾中值定理，故ξ∈（xn-1，0，xn-1，1），使得F（n）（ξ）=0.

定理1任給定義在[a，b]的函數f（x），存在等值多項式P（x）.

P（x）=∑mi=0f（i）（x0）i?。▁-x0）i+∑n-1i=m+1cii?。▁-x0）i+kn?。▁-x0）n，

則至少存在一個點ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）=k.

證明1）由引理1，得P（n）（ξ）=k.

2）設輔助函數為F（x）=P（x）-f（x）.

分別考慮兩種等值點的情況：

?。┐嬖趎+1個函數的等值點，由引理3，得至少存在一個點ξ，使得F（n）（ξ）=0，即f（n）（ξ）=P（n）（ξ）=k.

ⅱ）存在s個函數的等值點和t個k階導數的等值點.其中，s+t=n+1，s≥2，t≥2，k≥1.

根據引理3，只要存在n+1-k個k階導數的等值點，則F（n）（ξ）=0.

若s≤k，n+1-s≥n+1-k，條件中已經存在有t個（即n+1-s個）k階導數的等值點.證明顯然成立.

若s>k，由s個函數的等值點，根據引理2，至少得到s-k個k階導數的等值點.

而s-k+t=n+1-k，所以至少存在n+1-k個k階導數的等值點，由引理3得證.

三、等值多項式的應用

證明f（n）（ξ）=k的命題，只需要構造等值多項式.設P（x）=cnxn+…+c1x+c0，利用n+1個等值條件，求出n+1個待定系數即可.

但是，由于k=P（n）（ξ）=n！·cn只與P（x）最高次項系數有關，與P（x）的表達形式無關.因此，實際應用中，可以根據題目特點設定P（x）的特殊形式，以便盡快求出n+1個待定系數ci（i=0，1，2，…，n）.

給出以下較快找出P（x）的方法.

（一）題中只出現若干已知的函數值f（xi），無任何已知的導數值

選出一個簡單點、中間點為x0，結合cn=kn！，可設（冪級數形式）

P（x）=f（x0）+∑n-1i=1cii?。▁-x0）i+kn?。▁-x0）n.

就有P（x0）=f（x0），P（n）（x0）=f（n）（x0），再結合其他等值條件求出n-1個待定系數ci（i=1，2，…，n-1）.

理論上，若還有n-1個不同點處的函數等值f（xi）（i=1，2，…，n-1），使得P（xi）=f（xi），則有n-1個線性方程

P（xi）=f（x0）+∑n-1i=1cii?。▁i-x0）i+kn?。▁i-x0）n，

根據范得蒙行列式，該方程組有解且有唯一解.

例1設f（x）∈C[a，b]，在（a，b）二階可導，c∈（a，b），則ξ∈（a，b），使

f″（ξ）=2b-af（b）-f（c）b-c-f（c）-f（a）c-a.

法1（插值法）過三點（a，f（a）），（c，f（c）），（b，f（b））的二次拉格朗日插值多項式是

P（x）=（x-c）（x-b）（a-c）（a-b）f（a）+（x-a）（x-b）（c-a）（c-b）f（c）+（x-c）（x-a）（b-c）（b-a）f（b），

其中二次項系數為：

A=1（a-c）（a-b）f（a）+1（c-a）（c-b）f（c）+1（b-c）（b-a）f（b）.

該方法不論計算還是記憶，都是有難度的.

法2（冪級數形式）由P（c）=f（c），可設

P（x）=f（c）+c1（x-c）+c22（x-c）2.

再由P（a）=f（a），P（b）=f（b），

得f（c）+c1（a-c）+c22（a-c）2=f（a），f（c）+c1（b-c）+c22（b-c）2=f（b），

解得：c2=2b-af（b）-f（c）b-c-f（c）-f（a）c-a.

該方法需要求解2個待定系數，且求解相對較難.

法3選中間點x0=c，

結合k=2b-af（b）-f（c）b-c-f（c）-f（a）c-a，

可設P（x）=f（c）+c1（x-c）+k2（x-c）2.

再由P（a）=f（a），可知c1存在（無須具體求出）.

令F（x）=f（x）-P（x），則F（a）=F（c）=F（b）=0，由定理1得證.

（二）題中出現已知的最高階導數值f（m）（x0）.

選高階點為x0，結合k值，可設

P（x）=∑mi=0f（i）（x0）i?。▁-x0）i+∑n-1i=m+1cii?。▁-x0）i+kn?。▁-x0）n，

就有P（i）（x0）=f（i）（x0）（i=0，1，…，m），再結合其他等值條件求出n-1-m個待定系數ci（i=m+1，m+2，…，n-1）.

特別地，若題目中出現最高階導數f（n-1）（x0），則可直接構造（無未知的待定系數）

Pn（x）=∑n-1i=0f（i）（x0）i?。▁-x0）i+kn?。▁-x0）n，

就有P（i）（x0）=f（i）（x0）（i=0，1，…，n-1）.

例2設f（x）在[-1，1]上具有三階連續導數，且f（-1）=0，f（1）=1，f′（0）=0，求證：ξ∈（-1，1），使得f（ξ）=3.

證明選高階點（也是簡單點中間點）x0=0，結合k=3，可設

P（x）=f（0）+f′（0）x+c22x2+36x3=f（0）+c22x2+12x3.

再由P（-1）=f（-1）=0或P（1）=f（1）=1，

得c2=2-2f（0），于是

P（x）=f（0）+12-f（0）x2+12x3.

令F（x）=f（x）-P（x），則存在三個等值條件F（-1）=F（0）=F（1）=F′（0）=0，由定理1得證.

例3（泰勒公式）設f（x）在含a點的某開區間內有直到n+1階的導數，求證：對區間內任何一點b，存在ξ（介于a和b之間）使得

f（b）=f（a）+∑ni=1f（i）（a）i?。╞-a）i+f（n+1）（ξ）（n+1）?。╞-a）n+1.

證明構造P（x）=f（a）+∑ni=1f（i）（a）i?。▁-a）i+k（n+1）?。▁-a）n+1，

其中

k=（n+1）！·f（b）-f（a）+∑ni=1f（i）（a）i?。╞-a）i（b-a）n+1，

令F（x）=f（x）-P（x），則F（a）=F（b）=F′（a）=F″（a）=…=F（n）（a）=0.

再由定理1，存在ξ∈（a，b），使得

f（n+1）（ξ）=（n+1）！·f（b）-f（a）+∑ni=1f（i）（a）i?。╞-a）i（b-a）n+1

泰勒定理得證.

該方法利用輔助函數F（x），將所有微分中值定理的命題統一利用羅爾定理證明，無須利用拉氏定理或泰勒公式.而該方法可以證明泰勒公式，使得中值定理的證明體系更加明晰，即羅爾定理證明一切.

若構造的多項式不能同時滿足題中出現的n+1個等值條件，就意味著，不能利用這些數值點作為羅爾定理區間的端點.在這種情況下，要從題目中尋找其他的（未出現）的端點，如利用零點定理、介值定理、拉氏定理、積分中值定理的中值點，以及極值或最值點作為羅爾定理的區間端點.

【參考文獻】

[1]匡繼昌.高階微分中值定理[J].北京教育學院學報，2014（3）：1-5.

[2]林鴻釗，李德新.證明微分中值命題的一般輔助多項式法[J].高等數學研究，2012（5）：13-15.

[3]林鴻釗，李德新.泰勒公式的一種新證法[J].高等數學研究，2013（5）：15-16.