孤子內波環境下三維聲傳播建模*

張澤眾 駱文于? 龐哲 周益清

1) (中國科學院聲學研究所,聲場聲信息國家重點實驗室,北京 100190)

2) (中國科學院大學,北京 100049)

提出了一種適用于存在孤子內波水平變化波導的高效三維水下聲場計算模型.該模型忽略反向散射,一般情況下由于孤子內波的反向散射非常弱,所以該模型能夠提供精確的三維聲場結果.同時,相對于雙向三維耦合簡正波模型,該模型在計算效率上能夠至少提高一個數量級.除了孤子內波環境之外,本模型還適用于存在小尺度海脊等反向散射比較弱的一般水平變化波導環境.本文用該模型計算由KdV方程得到的孤子內波問題,并用雙向三維耦合簡正波模型作為標準模型來驗證本模型的計算精度.計算結果表明本模型在反向散射比較弱的波導環境中具有非常高的計算精度.

1 引 言

作為一種中尺度海洋現象,內波對水下聲傳播具有顯著影響.因此,在過去的幾十年中人們對內波問題做了大量研究[1-15].

王寧等[1]通過分析2005年黃海實驗結果,研究了內波和潮汐引起的寬帶正常模態振幅波動和深度的相關性.馬樹青等[2]研究了淺海孤子內波對水下聲傳播和聲源定位的影響,并且發現當孤子內波通過接收陣列時傳播損失會產生5 dB左右的波動.1995年淺海隨機介質實驗(SWARM)通過研究孤子內波存在時聲信號的變化對淺海寬帶聲信號進行了分析,發現其時間波動在深度上是同步的,并依賴于水體的變化,且利用水平折射對該現象進行了解釋[3].2006年淺海實驗(SWARM'06)對孤子內波存在下低頻聲場的波動進行了研究,發現在孤子內波通過期間,水平折射效應對聲場造成了很大的影響[4].Lin等[5]研究了截斷內波導管末端的聲輻射效應.Colosi[6]使用耦合簡正波方程模擬了孤子內波存在時接收器位置的聲波強度,Yang[7]利用該方程建立了模式耦合矩陣.

人們對孤子內波環境下三維聲傳播建模也進行了大量研究,針對孤子內波環境開發出了很多聲傳播模型.考慮到計算效率,大多數模型基于拋物方程理論[8-10].針對孤子內波問題,本文提出一種基于耦合簡正波理論的高效三維耦合簡正波模型.

Ferla等[11]開發的C-SNAP模型是計算水平變化環境中聲場的二維耦合簡正波模型.因為它基于步進式算法,所以在計算效率方面該模型并不遜于現有的拋物方程模型.C-SNAP模型使用阻抗匹配邊界條件以保持比較高的精度.本文提出的三維模型利用C-SNAP計算相應的二維線源解,然后利用傅里葉變換技術得到三維聲場解.我們利用駱文于等[12,13]開發的雙向耦合簡正波二維模型DGMCM2D以及三維模型DGMCM3D[14]作為標準模型來驗證本模型的計算精度并比較計算效率.

本文結構如下：第2節介紹三維單向耦合簡正波模型的理論基礎.第3節首先利用本模型計算孤子內波環境下的聲場數值解,并與雙向耦合簡正波模型DGMCM3D得到的結果進行對比; 其次數值仿真同時存在孤子內波和海脊時的聲場,以表明本模型具有處理一般弱反向散射特征水平變化波導問題的能力.第4節給出總結和結論.

2 理 論

下面首先簡要回顧二維單向耦合簡正波模型C-SNAP,并分別給出二維點源問題和線源問題的解; 然后介紹如何利用傅里葉變換方法將該二維模型擴展為三維模型; 最后簡單介紹本文采用的孤子內波模型.

2.1 C-SNAP模型

C-SNAP模型是由Ferla等[15]提出的,它是一個二維單向傳播耦合簡正波模型.如圖1所示,對于水平變化波導問題,我們將波導中水平變化區域在距離上分為若干段,每一段均視為水平不變的波導環境.

圖1 水平變化波導(紅色虛線)的階梯近似Fig.1.Stair step approximation of a sloping bottom (red dashed line).

首先考慮柱坐標系下的二維點源問題.取時間因子 exp(iωt) ,第j段(Sj)內的聲場可以表示為：

其中 Mj為第j段簡正波號數,rj-1和 rj分別為第j段的左邊界和右邊界是0階第二類Hankel函數分別是第j段中第m號簡正波的水平波數和本征函數.在第一段(S1)中,設定 rj-1=r1,則第一段的模式系數為

其中 zs表示聲源深度.

C-SNAP模型利用Collins和Westwood[16]提出的阻抗匹配邊界條件以取得更高的精度.考慮第j個豎直邊界(Sj和 Sj+1之間的邊界),注意到在 Sj+1段的左邊界上約化Hankel函數的值為1,因此在邊界 r=rj上有如下邊界條件：

對(3)式兩側均施加如下運算：

并利用簡正波本征函數的正交歸一性質,可以得到Sj+1中模式系數的表達式：

將(1)式代入(5)式可得

由(6)式可知,只需要前一段隨深度變化的聲壓和本段的本征函數就可以得到本段的模式系數.

下面考慮直角坐標系中的二維線源問題.將第j段(Sj)中的聲場表示為

第一段中的模式系數為

類似于點源問題,可以得到如下所示的第j個豎直邊界上的阻抗匹配邊界條件：

對（9）式兩側均施加(4)式中的運算,并利用簡正波本征函數的正交歸一性質,可以得到 Sj+1段的模式系數：

以上即為C-SNAP模型的理論基礎,由此可以看出,C-SANP是一個利用阻抗匹配邊界條件的二維單向傳播耦合簡正波模型.當反向散射可以忽略時,C-SNAP模型可以快速得到比較精確的聲場近似解.

2.2 三維單向耦合簡正波模型

笛卡爾坐標系下三維亥姆霍茲方程為[17]：

點源坐標為 (xs,0,zs).本文使用如下傅里葉變換對

對(11)式兩側同時施加運算

可得

二維線源的亥姆霍茲方程為[17,14]

通過比較(15)式和(16)式,發現這兩個方程形式相同,只不過(15)式中左側第三項的因子為因而(16)式中對應的因子為 k2.對于不同的 ky值,可以用二維模型得到對應的二維線源解這樣,可以先計算一系列然后經過反傅里葉變換就可以得到三維聲場解p(x,y,z).

由上可知,為了得到三維聲壓 p(x,y,z) ,需要對 ky進行積分.為了避免數值溢出問題,我們利用圍線積分來代替實軸上的積分[18,19]，積分路徑如下所示(參見圖2)：

在該積分路徑上,(13)式變為

其中 δ=1/(6Δs) ,Δs=(kmax-kmin)/(Ns-1),ε=3Δs/(2πloge),Ns表示總積分采樣點數.

圖2 反傅里葉變換的積分圍線(圓圈代表簡正波的本征值,即水平波數)Fig.2.Complex integration contour for evaluation of the wavenumber integral.The dots indicate horizontal wavenumbers of the normal modes.

由于本文提出的三維模型是對二維模型利用傅里葉變換技術擴展得到的,因此該三維模型的精度和計算效率是由二維模型決定的.由后面給出的數值算例結果可以看出,對于孤子內波問題,相對于DGMCM2D模型,C-SNAP模型能夠提供比較精確的數值解,然而在計算效率上C-SNAP則至少提高了一個數量級.一般情況下由于孤子內波的反向散射可以忽略不計,本文提出的三維模型能夠快速提供比較精確的孤子內波問題的三維聲場結果.

2.3 孤子內波模型

假設孤子內波的波陣面為平面,海面為理想邊界條件,海底為半液態介質,如果滿足淺海條件,則單個孤子內波KdV方程的雙曲正割剖面解為[2]

其中 Δ 代表波包寬度,A0為孤子內波的幅度,x0=vt為孤子內波波包的位置,v是孤子內波的傳播速度.

3 數值模擬

下面首先考慮平海底條件下存在孤子內波的情況,以驗證本文提出的三維模型的計算精度與效率; 然后考慮同時存在內波和海脊,且海脊高度相對較小的情況.在下面的數值計算中,利用雙向耦合簡正波模型DGMCM2D和DGMCM3D提供二維和三維聲場的標準解.

3.1 聲速剖面

考慮淺海負溫躍層的波導環境,聲速剖面表達式為

其中 ξ=-5(m/s)/m 為溫躍層的聲速梯度,c1=1500 m/s,c2=1400 m/s,z1=20m ,z2=40m ,H=100m.海底聲速,密度和吸收系數分別為2000 m/s,2.0 g/cm3和0.1 dB/λ.

圖3給出了用于數值模擬的波導環境.圖3(a)為無孤子內波時的淺海負溫躍層的聲速剖面; 圖3(b)給出了存在孤子內波時的聲速剖面,孤子內波波包在距聲源4 km處,其中 A0=20m ,Δ=100m ,x0=4km; 圖3(c)為同時存在孤子內波和海脊時的波導環境,海脊在距聲源6 km處.聲源和接收器的深度分別為10 m和70 m,聲源頻率為25 Hz.

3.2 孤子內波問題的二維聲場結果

圖4給出在無孤子內波和存在孤子內波時DGMCM2D和C-SANP得到的兩組二維聲場計算結果,其中雙向耦合簡正波模型DGMCM2D被用作標準模型.從該圖可以看出：

1)兩組結果存在較大差異,表明孤子內波的存在對聲傳播有顯著影響;

圖3 二維聲速剖面示意圖 (a)無孤子內波的聲速剖面;(b)孤子內波位于4 km處的聲速剖面; (c)孤子內波位于4 km處,海脊位于6 km處的聲速剖面Fig.3.Sound speed fields considered in this paper：(a) The background sound speed field; (b) in the presence of an internal wave soliton,centered at range 4 km from the source;(c) in the presence of both an internal wave soliton centered at 4 km and a cosine-bell shaped bottom ridge centered at 6 km from the source.

2)兩組結果在4 km (孤子內波位置)之前基本重合,表明孤子內波產生的反向散射可以忽略不計;

3)在每組結果中,C-SNAP與DGMCM2D的結果基本一致,表明對于該問題,C-SNAP的結果具有非常高的計算精度.

此外,對于該問題,DGMCM2D和C-SNAP的運行時間分別為94.7 s和5.3 s,可見C-SNAP在計算效率上比DGMCM2D至少提高了一個數量級.因此,本文提出的三維模型更適于計算內波問題的三維聲場.

圖4 孤子內波環境下DGMCM2D和C-SNAP在70 m深度傳播損失曲線 藍色實線和紅色虛線分別表示無孤子內波時DGMCM2D和C-SNAP的計算結果,綠色和枚紅色虛線分別表示孤子內波波包在4 km時DGMCM2D和CSNAP的計算結果,黑色虛線表示孤子內波波包位置Fig.4.Transmission loss results for the internal solitary wave problem computed by DGMCM2D and C-SNAP.The blue solid line and red dashed line are the results by DGMCM2D and C-SNAP for the case without internal waves,respectively,and the green and magenta dashed lines are the results by DGMCM2D and C-SNAP for the case with a soliton located at range 4 km,respectively.The black dashed line indicates the center of the soliton.

3.3 孤子內波問題的三維聲場結果

此處三維雙向耦合簡正波模型DGMCM3D被用作標準模型.圖5分別給出DGMCM3D和本文提出的三維模型在70 m深度水平面上的三維聲場計算結果.圖6給出縱向距離 y=0km ,深度z=70m的隨距離x的傳播損失曲線.從圖5和圖6可以看出本文提出的三維模型的結果與DGMCM3D的結果非常一致,表明本文提出的三維模型對內波問題具有非常高的計算精度.此外,DGMCM3D和C-SNAP3D的計算時間分別為1616.2 min和94.45 min.此外,圖5中在內波以遠的區域發現除了與距離有關的干涉現象,還存在明顯的與角度有關的干涉現象.

3.4 同時存在孤子內波和海脊時的三維聲場結果

為了驗證本模型適用于反向散射很弱的一般水平變化波導問題,考慮孤子內波和海脊同時存在的情況.圖7是三維海底地形圖,海脊在距聲源處,截面形狀為寬度100 m,高度10 m的余弦函數,海底深度可以表示為：

選擇高度較小的海脊來保證反向散射可以忽略.圖8給出DGMCM2D模型和C-SNAP模型在70 m深度的隨距離變化傳播損失曲線,可以看出兩組計算結果基本一致,表明海脊高度為10 m時反向散射可以忽略不計.對于存在海底起伏的情況,如下因素會綜合影響反向散射強度：斜坡角度、斜坡高度、斜坡海底聲阻抗與海水聲阻抗的比值等.文獻[20]對這個問題進行了比較詳盡的討論.

圖9分別給出DGMCM3D模型和本文提出的三維模型得到的三維聲場計算結果,可以看出兩者非常一致,表明本文提出的三維模型也適用于反向散射可以忽略的一般水平變化波導問題.此外,DGMCM3D和C-SNAP3D的計算時間分別為4778.8 min和324.3 min.

圖5 70 m深度水平面上的三維傳播損失結果 (a) DGMCM3D的結果; (b)本文提出的三維模型的結果,黑色虛線代表孤子內波波包的位置Fig.5.Three-dimensional transmission loss results in the horizontal plane at depth 70 m computed by (a) DGMCM3D and (b) the present 3D model.The center location of the internal wave is indicated by dashed black lines.

圖6 縱向距離 y=0km ,深度z=70 m,隨距離傳播的損失曲線,藍色實線和紅色虛線分別為DGMCM3D和本文提出的三維模型的結果Fig.6.Transmission loss lines versus range along the crossrange y=0km at depth z=70 m computed by DGMCM3D (the blue,solid curve) and the present 3D model(the red,dashed curve).

圖7 海底存在海脊的水平變化波導示意圖Fig.7.Geometry of a range-dependent waveguide with a bottom ridge.

圖8 孤子內波和海脊同時存在時深度70 m處的二維傳播損失結果,其中藍色實線為DGMCM2D結果,紅色虛線為C-SNAP結果Fig.8.Two-dimensional transmission loss results at a depth of 70 m for the problem involving a solitary internal wave as well as a bottom ridge by DGMCM2D (the blue,solid curve) and C-SNAP (the red,dashed curve).

圖9 同時存在孤子內波和海脊時深度70 m水平平面上的三維傳播損失 (a) DGMCM3D結果; (b)本文提出的三維模型的結果.黑色和紅色虛線分別表示孤子內波波包和海脊中心的位置Fig.9.Three-dimensional transmission loss results in the horizontal plane at depth of 70 m in the presence of a solitary internal wave as well as a bottom ridge computed by(a) DGMCM3D and (b) the present 3D model.The center locations of the internal wave and the ridge are indicated by dashed black and red lines,respectively.

4 結 論

作為一種二維單向耦合簡正波模型,C-SNAP在處理二維水平變化波導問題時具有非常高的計算效率.本文將其擴展為一個高效的三維耦合簡正波模型,對孤子內波等反向散射非常弱的問題,該模型能夠提供高效精確的三維聲場結果.

本文數值模擬了存在孤子內波時的三維聲場.由于一般情況下孤子內波產生的反向散射可以忽略不計,本模型三維結果與DGMCM3D的結果非常一致,然而本三維模型在計算效率上比DGMCM3D至少提高了一個數量級.此外,從本文考慮的數值算例結果我們發現由于孤子內波的影響,在孤子內波后方區域可能會出現依賴于角度的相干干涉.最后,在孤子內波和海脊同時存在的條件下驗證了當反向散射可以忽略時,本文提出的三維模型也適用于一般的水平變化波導問題.