不確定條件下應急資源分配區間規劃模型研究*

王飛躍,郭換換,裴甲坤,楊宸宇,裴重偉

(中南大學 防災科學與安全技術研究所，湖南 長沙 410075)

0 引言

我國化工企業的持續發展，在促進經濟增長的同時，也帶來新的安全生產問題。據統計僅2018年，我國發生?；肥鹿蔬_1 902起，造成522人死亡。為減輕此類突發事故的影響，政府和研究人員對突發事件應急資源的分配給予了很大關注[1]。目前對資源分配的研究常聚焦于單一約束條件如時間約束[2]、成本約束[3]、地震傷亡數量約束[4]等，單一約束條件具有一定的局限性和片面性。為解決這種局限性，一些新學科理論的引入和交叉，如聚類分析[5]、系統動力學[6]、灰色理論[7]已被證明是近年來提高應急資源配置準確性的有效途徑。

突發事件具有較強的隨機性和不確定性，災害信息和情景的不確定性是目前研究突發事件不確定性應急資源分配的主要考慮因素。近年來，相關學者基于上述不確定性進行了探索和研究。如Ghaffari等[8]分析了自然災害情景下應急資源配置及路徑規劃問題；門紅等[9]以儲罐火災物資儲備體系為背景，建立了多情景事故下的企業應急物資實物儲備場所和企業選址的協調優化模型；Mete等[10]通過獲取特定時期潛在的災難信息，研究了醫療用品的存儲和分配問題；李丹等[11]建立了1個同時考慮公平和效率的多目標混合整數規劃模型；Huang等[12]以突發事件重要交通樞紐覆蓋率為目的，在運輸成本及服務可達性不確定情況下，分別建立了確定性規劃(MODP)、隨機規劃及魯棒規劃模型，討論了消防站中多種救災車輛類型的資源配置問題；詹沙磊等[13]基于需求量及災區路徑連通的隨機性，建立了多場景、多物資、多需求點的以公平性、成本及配送效率為目標的隨機規劃模型。

綜上研究成果，目前考慮不確定性的應急資源配置問題的分析方法有很多，但存在問題有：1)隨機規劃中，收集足夠多的歷史數據來計算不確定參數的概率分布函數或模擬不同的災害情景以評估這些參數的工作量巨大；2)以往多目標規劃求解，多集中于利用權重系數進行求解，然而利用權重求解具有一定的主觀性；3)以往利用區間理論對于化工園區具有多個潛在災害點的化工事故應急物資分配的研究基本屬于空白區。

基于區間數理論的資源分配區間規劃模型[14-16]為評估參數的不確定性提供了有效的方法。當樣本數量稀少時，區間值可以更好地反映參數值的不確定性，減少對數據信息的需求量；利用區間理論，并基于分層序列算法進行多目標區間規劃的求解，有效的避免了權重法在轉換多目標時的主觀性。因此，為有效分配應急資源，降低化工園區事故的危害性，本文建立了多應急點和多潛在事故點的應急資源優化配置的多目標區間規劃模型(以下簡稱MOIP模型)。

1 應急資源分配模型

1.1 影響因素分析

本文考慮的不確定因素主要有2個：①應急資源需求的不確定性，其不確定性主要取決于以下現象：突發事件是隨機的，災區的人口密度和災情演變隨時間而變化；由于事件的混亂狀態，突發事件中收集的信息通常是在沒有專業的決策支持工具和足夠驗證時間的情況下獲得，信息的分散在災區是一種很普遍的現象。②應急資源運輸時間的不確定性，在特定的規劃期間，很難立即確定具體的應急資源到達時間，因為運輸時間受不斷變化的因素的影響，如道路等級、損壞或擁堵、車輛故障率和區域天氣狀況等。一般情況下，只有在確定災區信息后，決策者才能期望制定準確的應急資源分配計劃，以便快速應對緊急情況。

1.2 建模的基本假設條件

在建模前，首先明確以下基本假設條件：

①應急設施一旦建立，較長時間不會變動；

②所有應急需求點均可被應急服務點覆蓋；

③運輸應急物資的工具具有相同的承載能力；

④每個應急點處應急設施的應急能力及其儲存能力有限制。

1.3 多目標規劃模型的建立

1.3.1 MODP模型

1)目標函數

①時效性目標函數。定義救援時間效率為最小化應急物資總運輸時間，目標函數表示為：

(1)

式中：tij為應急物資從i到j的運輸時間，min；yij為0～1變量，表示當應急點i為需求點j提供應急物資時，取值為1，否則為0。

②需求滿意率目標函數。需求滿意率為需求點實獲應急物資量與需求點初始需求量之間的比值：

(2)

式中：xij為應急點i為應急需求點j提供的應急物資的數量；bj為應急需求點j處的應急物資需求量。

③經濟效率目標函數。建模使用的物資總成本包括應急設施的建設成本和應急物資的運輸成本：

(3)

式中：dij為應急物資從節點i到節點j的運輸距離，km；u為應急點i到需求點j應急物資的單位運輸費用；ck為在應急點處建立第k種容量類型應急設施的費用；zik為0～1的變量，當在應急點i處建立第k種類型應急設施時取值為1，否則為0。

2)約束條件

①應急設施容量限制。若需求點的應急物資需求量超過應急點的物資容量，則該應急點不再為此需求點提供服務。

(4)

(5)

式中：sk為第k種類型的應急設施的容量。

②需求點覆蓋率約束。為確保每個應急需求點處的需求均被滿足，定義應急點為應急需求點提供的應急物資應盡量大于等于需求量，且在確保需求點覆蓋率的同時，保證供給量在設施容量范圍之內。

(6)

(7)

為避免資源的浪費，定義每個應急點可同時向多個事故點提供應急資源。

(8)

(9)

每個應急點處至多建立1種類型的應急設施。

(10)

定義建模中使用非負和0～1的整數變量。

(11)

1.3.2 MOIP模型

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

AX≤B

(7)-(11)

為方便計算，引入Ishibuchi[17]和Molai[18]研究中提到的區間規劃的計算方法，將MOIP模型目標函數和約束條件按照定義的方法進行轉化。

定義：參數線性規劃

s.t.AX≤B

上式目標函數的解稱為原區間規劃的α水平解，且α∈[0,1]為目標函數的優化水平，z2和z1分別是區間值的上下界。由定義，目標函數式(12)轉化為：

(18)

tij2和tij1分別是物資運輸時間值的上下界。參數α是目標函數中時間值的優化水平。

MOIP模型中，需求滿意率定義為實際物資的需求量與需求區間值最大閾值的比值，此舉是為了在保守情況下保證最大化的應急資源需求滿意率。

(19)

(20)

(21)

(22)

綜上描述，轉化后的MOIP模型如下：

AX≤B

(7)-(11)

1.4 多目標優化模型的求解思想

本節采用分層序列法計算所建立的多目標區間規劃模型，具體求解過程如下：

1)應急救援的主要目的是保護人身安全。應急資源到達災區的時間直接影響應急救援的效率和應急設施的服務質量。因此，本文將建模的時效性作為首要目標，需求滿意率為次重要目標，最后在滿足這2個目標的同時實現成本最小化的目標。

2)利用分層序列法，基于計算機語言編程計算時效性目標函數值。

3)為了在最小化總運輸時間的基礎上實現應急資源的最大需求滿足率，將步驟2)中得到的最小化運輸時間目標函數的值作為求解需求滿意率目標函數的約束條件，計算得到需求滿意率的值。

4)將步驟2)和3)得到的目標函數的解分別視為成本效率目標函數模型的約束條件。計算成本函數模型，得到最終的應急資源分配方案。

2 案例分析

本文以湖南省某化工園區為研究對象，由于湖南地區降雨頻繁，時常伴有雷雨天氣。因此，在該園區部分企業遭遇雷雨天氣襲擊的背景條件下，展開對該園區應急資源配置的探討。已知園區內有9家已全面投產的企業，且企業內多儲存一些易燃易爆的危險化學品。本文以這9家企業為潛在事故發生地，分別編號B1～B9。根據該園區資料顯示，目前在9家企業周圍已規劃3處應急點A1，A2和A3作為企業應急物資的主要需求來源地，且每一處應急點處的應急設施的應急能力不同，其應急能力有2種：s1和s2，容量分別為100，150，其建設成本分別為c1=1 000和c2=2 000。其他已知的建模參數：應急出救點和需求點之間的單位距離運輸成本u=2.3；應急物資和運輸時間的優化水平α=1/3，β=1/2；位置分布示意如圖1所示，運輸距離根據谷歌地圖實測距離確定，見表1。

圖1 園區分布示意Fig.1 Schematic diagram of park distribution

表1 運輸距離Table 1 Distance of transportation km

2.1 應急物資需求和物資調度時間分析

一般情況下，醫療救助物資與事故人員傷亡之間可以形成定量的關系。因此，本文對湖南省該化工園區化工事故應急物資的需求預測采用需求結構鏈法。根據園區內各?；菲髽I的員工數量和各廠區周圍暴露的人口密度，充分考慮各企業工作區域的規劃面積，參考《?；窇本仍镔Y配備要求》，預測得到該化工園區部分?；菲髽I發生事故后的人員救助物資(以消耗類的醫療資源為例)見表2。

另外，對于應急出救點到達應急需求點之間物資調度時間的預測，在谷歌地圖實測距離下，以路段設計的自由流速度和綜合考慮各路段阻抗影響的條件下行駛速度為基礎，計算各路段之間的行駛時間，從而得到各路段之間的物資調度時間(表2)，需要注意的是在考慮不同路段等級影響因素情況下得到的物資調度時間并非與路程是正比關系，即當路程越長時，行駛時間未必越久。

表2 應急物資運輸時間及需求區間值Table 2 Interval values of transportation time and demand of emergency material

2.2 模型的求解

1)MOIP模型的求解

基于分層序列法的求解思想，建立第1個目標函數模型如式(23)所示：

(23)

AX≤B

(7)-(9)

由表2數據，利用計算機編程得到以下結果：

obj1=23.01,y11=y12=y23=y24=y25=y36=y37=y38=y39=1

將應急物資運輸時間目標函數優解值作為約束條件帶入需求滿足率目標函數模型得式(24)：

(24)

AX≤B

(7)-(10)

將表2顯示數據帶入模型，計算得到：

obj2=91.75%,z11=z21=z31=1

x11=27.5,x12=23,x23=18.5,x24=13.5,x25=21.5,

x36=17,x37=14.5,x38=26.5,x39=32.5

為得到同時滿足時間效率、需求滿足率及成本效率的優化解，分別將時效性、需求滿足率目標函數值視為成本效率模型的約束條件，模型見式(25)：

(25)

AX≤B

(7)-(11)

計算模型得到：

obj3=3 144.693,z11=z21=z31=1

y11=y12=y23=y24=y25=y36=y37=y38=y39=1

圖2 MOIP模型分配方案Fig.2 Allocation scheme of MOIP model

2)MODP模型的求解

本文計算多目標確定規劃模型時，分2種情況進行討論：①使用運輸時間和需求量區間值的最大閾值進行計算(以下簡稱maxmaxMODP模型)，是為了計算在最大容忍救援時間下滿足最大需求時和最小化救援成本的相對優化物資分配方案；②使用運輸時間區間值和需求量區間值的最小閾值進行計算(以下簡稱minminMODP模型)，是為了計算在最理想救援時間內，使需求滿足率最大化和救援成本最小化的物資分配方案。

計算maxmaxMODP模型時，基于分層序列法，同上MOIP模型的計算步驟，利用計算機編程得到maxmaxMODP模型的值：

obj1=33,obj2=100%,obj3=4 144.693

y11=y12=y15=y23=y24=y29=y36=y37=y38=1,z11=z21=z32=1

x11=29,x12=25,x15=24,x23=20,x24=15,x29=34,x36=19,x37=18,x38=28

計算minminMODP模型時，基于分層序列法，同上MOIP模型的計算步驟，利用計算機編程得到minminMODP模型的值：

obj1=18,obj2=100%,obj3=3 140.415

y11=y12=y15=y23=y24=y27=y36=y38=y39=1,z11=z21=z31=1

x11=26,x12=21,x15=19,x23=17,x24=12,x27=11,x36=19,x38=25,x39=31

綜上，maxmaxMODP和minminMODP模型應急點所覆蓋的應急需求點區域范圍分別見圖3和圖4。

圖3 maxmaxMODP模型分配方案Fig.3 Allocation scheme of maxmaxMODP model

圖4 minminMODP模型分配方案Fig.4 Allocation scheme of minminMODP model

2.3 MOIP模型優化參數變化影響分析

在2.2節MOIP模型求解中，只選取應急物資和運輸時間的優化水平α=1/3，β=1/2進行計算，驗證了MOIP模型配置方案的合理性。為了考慮不同優化水平下MOIP模型資源配置方案的變化及其影響規律。在選取α和β時，分別以α=1/3和β=1/4(降低物資需求約束的優化水平)，α=1/2(增大運輸時間約束的優化水平)和β=1/2為代表進行計算，其計算結果為：

①以α=1/3和β=1/4為優化參數的計算結果

obj1=23.01,obj2=87.62%,obj3=3 141.243

y11=y12=y23=y24=y25=y27=y36=y38=y39=1,z11=z21=z31=1

x11=26.75,x12=22,x23=17.75,x24=12.75,x25=20.25,x27=12.75,x36=16,x38=25.75,x29=31.75

②以α=1/2和β=1/2為優化參數的計算結果

obj1=25.5,obj2=96.69%,obj3=3 144.693

y11=y12=y13=y24=y25=y27=y36=y38=y39=1,z11=z21=z31=1

x11=28.4,x12=24.2,x13=20,x24=15,x25=24,

x27=18.2,x36=19,x38=27.4,x29=34

由以上不同參數計算結果可知，當保持時間約束的優化水平不變時，降低物資需求約束的優化水平，經濟成本提高了0.11%，需求滿意率降低了4.5%；當保持物資需求約束的優化水平不變時，增加時間約束的優化水平，此時資源配置時間容忍范圍增加了10.8%，需求滿足率增加了5.4%。這是因為當降低物資需求量約束水平時，在相同的時間內，決策者可能考慮以更少的經濟成本為災區配送物資，而當增大可容忍的物資運輸時間范圍時，應急需求點能在較長的時間內接收到更多的應急物資，從而增大了災區應急物資的需求滿意率。由此看見，MOIP模型在不同參數變化得出的結果具有較好的魯棒性。

2.4 結果分析

一般對于確定性規劃模型來講，一旦應急點需求確定，則所有應急需求點的需求均能被應急點所覆蓋，而這是不太符合實際的。因此，本節只針對區間規劃和確定性規劃模型中的應急資源分配方案的合理性、時效性和經濟性進行比較分析。

由2.2節模型3種求解結果(分別為使用最小和最大閾值的MODP模型和MOIP模型的計算結果，以下簡稱minminMODP，maxmaxMODP和MOIP的計算結果)可知，maxmaxMODP模型較MOIP模型而言，其時效性和經濟性分別降低了約44%和3.15%，而minminMODP模型較MOIP模型而言，其時效性和經濟性僅分別提高了28%和0.14%。且從2.3節對MOIP模型參數變動下的計算結果可知，在需求和運輸時間不確定的情況下，變化應急物資和運輸時間的優化水平α和β的值，MOIP模型的計算結果均更偏向于理想的物資分配方案。而且，在實際的工程背景下，決策者更傾向于選擇離災區距離更近，所用服務時間更短，經濟效益更高的應急點為應急需求點提供應急服務。

3 結論

1)本文提出了1個同時考慮經濟效率，時間效率和需求滿意率3個目標的多目標區間優化模型。在該模型中，使用了區間值表征應急物資需求和運輸時間的不確定性。在計算多目標區間規劃模型時，引入區間理論并基于分層序列法將區間規劃模型轉化為標準的多目標規劃模型。此外，與大多數僅考慮單一應急點向多個需求點服務的傳統資源配置模型相比，本文提出的區間規劃模型允許多個應急點同時向多個應急需求點提供服務，且不同的應急點處建立的應急設施具有不同的應急能力。

2)為了驗證所提出的區間規劃模型的有效性，本文將其與確定性規劃模型相比，并對區間規劃模型中的參數進行變動求解。結果表明，區間規劃模型的資源分配方案更加符合理想情況下的物資分配方案，為參數不確定條件下的應急資源的優化配置提供了指導。

3)值得注意的是，本文提出的區間規劃方法并非旨在取代確定性規劃方法，而是作為當參數不確定時確定性規劃模型方法的補充。另外，本文對區間規劃模型的討論是面向化工園區整體應急資源配置下進行的，但這種區間規劃方法可以擴展到其他資源分配應用方面，如垃圾處理中心和車輛配送中心的選址問題。且每種建模方法都有不同的目標函數側重點，不同的目標函數在不同的條件下可以用來更好地管理應急資源配置系統。