網絡化控制系統的非脆弱H∞控制

張 磊,王思明

(蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院,蘭州 730070)E-mail:403797195@qq.com

1 引 言

網絡化控制系統NCSs(networked control systems)是一種在各個節點(傳感器與控制器以及控制器與執行器)之間使用網絡進行數據傳輸的閉環反饋的控制系統[1].將通信網絡引入控制回路中會產生新的問題.由于網絡帶寬的限制,資源競爭等現象,網絡時滯現象在數據傳輸是無法避免的,網絡時滯會使系統的控制性能變低,嚴重的會導致系統失穩[2].通信網絡因其傳輸鏈路的不穩定,易受到干擾以及發生數據擁塞現象,會導致在傳輸過程中產生數據丟失[3,4].

在該類系統中,存在一些限制,其中最主要的是實際物理環境的限制,如測量儀器分辨率、有限字長以及數模轉換[5].上述限制會使控制器存在參數攝動,會使閉環系統性能下降,更甚者會使系統無法穩定.非脆弱控制[6]就是設計控制器針對自身參數攝動引起系統性能下降問題的不敏感或者非脆弱.近些年來,網絡化非脆弱控制問題得到了國內外許多的關注.文獻[7]將馬爾可夫跳變引入網絡化控制,同時將采樣周期等于網絡時滯,且時延服從馬爾可夫鏈,最后設計了具有非脆弱的保性能控制器.文獻[8,9]設計了的非脆弱保性能控制器和非脆弱H∞保性能控制器.其網絡化線性控制系統具有少于一個采樣周期的網絡誘導延時.文獻[10]針對網絡化線性系統中具有丟包和時延的問題,應用時滯系統方法,進行非脆弱的保性能控制器.文獻[11]在文獻[10]的基礎上設計了其容錯控制器.文獻[12]針對網絡化線性系統,設計了具有量化和區間時滯的非脆弱H∞控制器.文獻[13]針對時滯網絡化非線性系統,設計了非脆弱保性能控制問題和非脆弱保性能H∞控制問題,其系統為具有長時延網絡化Lipschitz非線性系統的.文獻[14]采用Lyapunov函數方法研究了網絡化切換的模糊時滯系統,并研究了其非脆弱狀態反饋控制問題.本文考慮網絡誘導時延、數據丟包以及控制器參數攝動等問題對系統的影響,設計了能使系統穩定的非脆弱控制器,使得被控系統能滿足H∞的性能指標.

2 問題描述

將被控系統考慮為線性離散時不變系統,如式(1)所示:

(1)

式中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm,w(k)∈Rp,z(k)∈Rq分別為系統狀態、控制輸入、外部擾動輸入和被調輸出;A,B1,B2,C,D為合適維數的矩陣[15].

由于網絡化控制系統中通信網絡自身特性,丟包現象在系統中時有發生,使用馬爾可夫鏈來描述丟包過程.用下列矩陣來描述狀態轉移概率矩陣:

當σ(k)=0時,表示數據未丟包;σ(k)=1時,表示數據丟包[18].

當σ(k)=0時,數據在網絡上傳輸時將會不可避免地產生網絡誘導時延,定義時延為d(k),則控制器端的狀態為式(2)和式(3)所示:

x(k)=x(k-d(k))

(2)

0≤d(k)≤d2

(3)

d2為非負整數時滯d(k)的上限.

下式為非脆弱加性狀態反饋控制器:

u(k)=(K+ΔK)x(k-d(k))

(4)

其中K為增益矩陣;ΔK表示增益攝動矩陣,ΔK=HF(k)E;不確定矩陣F(k)FT(k)≤I.其中,H和E是具有特定維數的常數矩陣,F(k)是未知的實值時變矩陣[16].

于是,得到閉環離散控制系統式(5):

(5)

當σ(k)=1時,控制器接收不到網絡傳來的數據,此時采用前一時刻的值,即:

u(k)=u(k-1)=(K+ΔK)x((k-1)-d(k-1))

則網絡化控制系統可描述為式(6):

(6)

綜合式(5)和式(6),網絡控制系統可以描述為馬爾可夫跳變系統.如式(7)所示:

(7)

其中:Ad=B1(K+ΔK).

定義一個新的變量如式(8)所示:

y(k)=x(k+1)-x(k)

(8)

由式(6)和式(7)可得式(9):

y(k)=(A-I)x(k)+Adx((k-i)-d(k-i))+B2w(k)i=0,1

(9)

3 穩定性分析

定理1.對給定的常數d2,若存在適當維數的矩陣P>0,Q1>0,R1>0使得如下式(10)成立,那么滿足式(10)的系統在控制器作用下式(7)漸近穩定.

(10)

式中:

Γ=ATPA-P+Q1+(A-I)TΘ(A-I)-R1

Γ1=ATPAd+(A-I)TΘAd

Γ3=-Q1-R1

AT表示矩陣A的轉置矩陣,*表示矩陣中對稱位置元素的轉置矩陣.

引理1.[17](Jensen不等式)對給定的常數d>0,正定對稱矩陣R>0和函數x(k),y(k)k=(1,2,…),其中x(k),y(k)滿足y(k)=x(k+1)-x(k),可得如式(11)所示的不等式成立:

(11)

引理2.[18]給定具有適當維數的矩陣Q=QT,H,E,則

Q+HF(k)E+ETFT(k)HT<0

對所有滿足F(k)FT(k)≤I的F(k)都成立的充要條件是存在一個正數ε>0使得式(12)成立:

Q+ε-1HHT+εETE<0

(12)

式(12)等價于式(13):

(13)

引理3.[19]對于兩個矩陣Z∈Rn*m,G∈Rn*m,以及對稱矩陣P∈Rn*n,有-GTP-1G≤ZTPZ-GTZ-ZTG,當且僅當Z=P-1G時等號成立.

設w(k)=0,當i=0時式(9)可化為如式(14)所示:

y(k)=(A-I)x(k)+Adx(k-d(k))

(14)

證明:構造如下形式的Lyapunov-Krasovskii函數:

其中:

對以上三式求其前項差分ΔVi=Vi(k+1)-Vi(k),i=1,2,3,并結合引理2可知:

ΔV1(k)=xT(k+1)Px(k+1)-xT(k)Px(k)

=xT(k)(ATPA-P)x(k)+2xT(k)ATPAdx

ΔV2(k)=xT(k)Q1x(k)-xT(k-d2)Q1x(k-d2)

綜合式ΔV1,ΔV2,ΔV3,可得:

ΔV(k)=ΔV1+ΔV2+ΔV3

≤xT(k)[ATPA-P+Q1+(A-I)TΘ(A-I)]x(k)+

式中:

ζT(k)=[xT(k)xT(k-d(k))xT(k-d2)]

由矩陣不等式(10)可得如式(15)的矩陣不等式:

Φ<0

(15)

證明完畢,同理可以證明w(k)=0,i=1時系統漸進穩定.

定理2.對于給定的非負整數d2,若存在具有合適維數的矩陣P>0,Q1>0,R1>0和標量ε>0,使得如式(16)成立,則系統式(7)在有任意允許的參數不確定性的控制器的作用下漸進穩定.

(16)

其中:

M1=-P+Q1-R1

M2=-Q1-R1

M3=ATP

M4=d2(A-I)TR1

M5=(B1K)TP

M6=d2(B1K)TR1

證明:對于式(13),由Schur補定理容易得到系統漸近穩定條件,如式(17)所示:

(17)

將上面式子中的Ad用B1(K+HF(k)E)來代替,容易得到如(18)所示的式子:

(18)

其中:

Φ1=B1(K+HF(k)E)T

Φ2=d2B1(K+HF(k)E)T

式(18)可以表示成如下式(19)

(19)

其中:

X1=[0 0 0HTd2HT]T

Y1=[0E0 0 0]

由引理2可知,必然存在一個正數ε>0使得下面的式(20)成立:

(20)

由引理(3)可知,式(20)等價于式(21):

(21)

證明完畢.

同理可以證明w(k)=0,i=1時系統漸進穩定.

定義1.考慮如式(7)的離散時延系統,對于給定的正常數γ,如果系統具有以下性質:

1)系統可以達到漸近穩定.

2)在零初始條件x(k)=0下具有給定的H∞擾動抑制水平γ>0,則稱系統(7)具有H∞性能γ.有:

‖z‖2≤γ‖w‖2,?w∈L2[0,∞)

(22)

證明:在零初始條件下,系統式(7)具有給定的H∞擾動抑制水平γ.對于任意w(k)∈L2[0,∞)有:

V(k+1)-V(k)+zT(k)z(k)-γ2wT(k)w(k)<0

進一步可以得到:

由于閉環系統是漸進穩定的,所以有:

滿足所描述的H∞性能要求,進而可知:

其中:

此時ξ1(k)作為表征4個狀態變量的矩陣,即:

(23)

式中:

將式(23)中的Ad用B1(K+HF(k)E)來代替,可以表示成如式(24)所示.

(24)

其中:

X1=[0 0 0 0HTd2HTHT]T

Y1=[0E0 0 0 0 0]

由引理2可知,必然存在一個正數ε1>0使得下面的式子成立:

(25)

式(25)等價于:

(26)

同理可以證明i=1時系統不僅漸進穩定,而且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ.定義1得證.

4 仿真分析

為了驗證本方法的有效性,給出了仿真示例.考慮式(7)的網絡化控制系統,參數如下所示:

1)不存在擾動時,A的特征值為2,1,未達到穩定系統的狀態響應如圖1所示.

圖1 開環系統狀態響應Fig.1 Open loop system status response

在上述控制器的作用下,被控系統的閉環狀態響應如圖2所示.

圖2 有擾動時非脆弱控制器的閉環狀態響應Fig.2 Closed-loop state response of non-fragile controllers with disturbances

從圖2可以得到,考慮到控制器的擾動以及參數攝動的,本文設計的非脆弱控制器可以實現網絡化控制系統的穩定性,并且使網絡化控制系統滿足H∞性能指標,驗證了方法的可行性.

圖3 擾動w(k)隨機數列Fig.3 Disturbancew(k)random sequence

5 結 論

本文針對網絡控制系統中網絡時滯、丟包和控制器參數攝動等問題.分析網絡控制系統,使用李雅普諾夫穩定理論得到控制器的充分必要條件以及矩陣增益K.上述問題得到有效的解決,系統漸近穩定,滿足H∞性能指標γ.由仿真結果表明,設計的控制器能滿足系統H∞的性能指標,同時也可以使系統達到漸進穩定.