《信號與系統》課程“采樣定理”的課堂教學設計

張亞周 孫雪麗 鐘兆根

【摘 要】采樣定理是《信號與系統》課程的重點內容之一。并且由于其理論比較復雜且抽象難以理解，因此也是本課程課堂教學的一個難點。本文通過對采樣定理的理論解析，以“提出問題-分析問題-解決問題-深化理解”為主線，綜合采用多種教學方法進行課堂教學設計，取得較好的教學效果。

【關鍵詞】信號與系統;采樣定理;問題式教學法

【中圖分類號】G642.0?????? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）24-0010-01

一、引言

信號與系統課程是我校電子信息類各專業的一門重要專業基礎課，在專業課程體系中起著承前啟后的作用。采樣定理是該課程的重要知識點之一，并且在社會生產和日常生活中有著較為廣泛地應用。特別是隨著數字技術的發展，數字系統迅速得到普及。而我們通常遇到的信號大部分都是連續信號。采樣定理則幫助我們在連續時間信號與離散時間信號之間架起了一座橋梁?？梢哉f沒有采樣定理，就沒有數字技術的現代化。

在傳統的灌輸式課堂教學模式中，往往是由教員首先介紹采樣的概念，然后推導采樣信號的頻譜，最后給出結論。這樣的教學模式使得學員就像是被牽著鼻子走，激不起學習興趣和熱情，最終導致大部分學員只是單純機械地記住了結論，真正理解這個定理的學員卻很少，更談不上應用了。為了有效地增強學員對該采樣定理的理解，提高課堂教學質量，本文基于問題式教學法對采樣定理的課堂教學過程進行重新設計，以期讓學員在問題驅動下，充分發揮學習的主動性，積極思考和探索，從而更加深入、透徹地理解和掌握采樣定理的理論知識及應用技能。

二、課堂教學方法

本文提出在課堂教學中把教學內容問題化，遵循“提出問題—分析問題—解決問題—深化理解”的邏輯主線，以問題為導向，通過各問題相互承接，串起各部分教學內容，從而有助于學員循序漸進理解和掌握采樣定理的理論知識。

1.提出問題：為什么要進行采樣？

通過對這個問題的思考可以幫助學員們認識到采樣的重要性和必要性，并且思考采樣的目的和意義。在課堂教學過程中，筆者首先從學員熟悉的生活實例，比如手機、電腦、相機等常用設備入手，列舉數字設備給我們社會生產和生活帶來的巨大改變，來說明采樣的重要性。然后以一段視頻播放為例，讓學員注意觀察視頻中的每一幀畫面實際上都是一個離散的采樣值，而當這些畫面以不低于24幀/s的速度進行播放時，就構成了連續的圖像。這同時也表明了連續信號是可以用離散時間信號來進行表示的[1]。

那么如何才能把連續系統離散化呢？在授課過程中，以一個學員熟悉的波形（比如正弦波）為例，引導學員思考要畫出一個正弦波形，取多少點合適？離散點過于分散或緊密是否可行？為什么？從而引出問題：如何進行采樣？學員都有以點畫線的經驗，這樣做有助于學員較好地理解什么是采樣。

2.分析問題：采樣后信號在時域和頻域如何變化？

在課堂講授過程中，從時域和頻域兩個不同角度引出采樣過程中所遇到的問題，以幫助學員理解采樣帶來信號的實質變化：

頻域：（1）采樣后信號的頻譜是什么樣的？與原信號頻譜有何關系？

（2）在什么條件下，可以由采樣信號的頻譜恢復出原信號的頻譜？

時域：（1）采樣后的信號是否保留了原信號的全部信息？

（2）在什么條件下，可以無失真的恢復出原連續信號？

我們以理想采樣為例，從時域和頻域兩個不同的視角分別進行分析。假設原連續時間信號為f（t），其傅里葉變換為F（jω），采樣脈沖為p（t）=∑∞n=-∞δ（t-nTs），對應傅里葉變換P（jω）=ωs∑∞n=-∞δ（ω-nωs）。根據采樣的定義可得：fs（t）=f（t）p（t），為減少數學推導，這里不直接求fs（t）的傅里葉變換，而是借助于頻域卷積定理直接得出采樣后的信號頻譜

Fs=（jω）=12πF（jω）*P（jω）=1Ts∑∞n=-∞F[j（ω-nωs）]

這樣一來就避免了復雜的數學推導，并且據此可得出結論：理想采樣后信號的頻譜是原連續信號頻譜以為周期的周期延拓。

3.解決問題：采樣定理。

雖然現在結論已經有了，但是如果直接通過理論分析兩者之間的頻譜關系，仍然存在一定的難度，而且學員對這種純理論分析也感覺枯燥乏味。為此，筆者提出通過借助圖形演示這種較為直觀、形象的形式，來幫助學員理解頻譜變化的具體過程，從而避開了理論分析的難點[2]，并進一步引出本次授課的重要知識點——采樣定理。

首先，給出采樣前信號的頻譜，如圖1（a）所示。根據此前的結論

引導學員自己動手畫出采樣后信號的頻譜，如圖1（b）所示。

想要無失真的恢復出原信號，必須得到原連續信號的完整頻譜。結合上述圖形，讓學員思考：（1）要想得到原信號的完整頻譜ωs，采樣頻率該如何選擇？（2）對原信號的頻譜有何要求？（3）在滿足采樣定理的條件下，如何由采樣信號不失真的恢復連續信號，如何恢復？通過讓學員直接從圖形上分析它們之間的關系，可有效克服復雜的數學推導過程給學員造成的畏難情緒[3]。

至此，學員在教師的引導下，通過邏輯思維，利用已學過的知識和方法進行推導得出采樣定理的知識內容，達到了預設目標。

4.深化理解。

為了幫助學員深刻理解采樣定理，鑒于Matlab強大的計算能力和繪圖能力，通過將MATLAB仿真引入課堂教學，把采樣定理中比較抽象難懂的問題放在計算機界面上，直觀清楚地觀察信號的頻譜及其搬移情況，可以幫助學員對所學的理論知識有更清楚、深刻的認識，提高學員學習興趣并改善課堂教學的效果。

在授課過程中，我們以學員們熟悉的門函數為例進行仿真。首先，給出原信號的時域和頻域波形，然后進行采樣，給出采樣后的時域和頻域波形，如圖2（a）所示。在講解過程中可以隨時改變采樣頻率，讓學員觀察在不同采樣頻率下恢復出的信號及恢復信號與原信號之間的誤差，如圖2（b）所示。從而可有效的幫助學員理解采樣定理的內容。

此外，我們還以學員們比較熟悉的一段音樂作為原信號，不斷降低采樣頻率來收聽音樂效果，讓學員直觀感受不同采樣頻率下對信號的影響，從而有助于學員進一步加深對采樣概念的理解。

三、結語

采樣是數字信號處理的第一步，而采樣定理為連續時間信號與離散時間信號的相互轉換提供了理論依據[4]。作為《信號與系統》課堂教學的重要內容之一，如何加強學員對該部分理論知識的理解和掌握尤為關鍵。本文以“提出問題—分析問題—解決問題—深化理解”為主線，用問題串起全部教學內容。實踐表明，這種教員引導下的問題式教學法極大地改變了傳統“滿堂灌”的模式，將學員由被動接受變為主動地參與。無論是學員的學習積極性，還是實際課堂教學效果，均得到了較為明顯地提高。

參考文獻

[1]曹路，甘俊英，應自爐，等.問題式教學法在《信號與系統》課程教學中的應用——以采樣定理為例[J].湖北：長江大學學報（自科版），2015，12（25）：76-79.

[2]張玉珊，范海菊，楊育捷.基于“倒敘”的“采樣定理”教學研究[J].北京：計算機教育，2015，5（9）：45-48.

[3]王懷興.基于LabVIEW的采樣定理仿真研究[J].湖北：湖北第二師范學院學報，2012，2（29）：30-32.

[4]邢國泉.采樣定理的MATLAB實現[J].湖北：咸寧學院學報，2008，12（6）：39-47.

第一作者簡介：張亞周（1979—），女（漢族），山東省平度市人，海軍航空大學航空基礎學院教師，講師職稱，碩士。研究方向：電子與通信系統工程。